Кроме того существуют непрерывные нигде не дифференцируемые функции.
Рассмотрим случай непрерывной функции не дифференцируемой в одной точке
![$y=|x|$ $y=|x|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/18077011250e633f523b93a29c0595af82.png)
. Когда я начал составлять примеры, то пик в нуле меня смутил. Формула для приращения в нуле
![$\Delta y=sign({\Delta x}){\Delta x}$ $\Delta y=sign({\Delta x}){\Delta x}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/6/356bb67dbc0acb8e727f106c76c6791e82.png)
и производная в нуле равна нулю. Мне стало скучно, но потом я понял, что
![$y=sign({\Delta x})$ $y=sign({\Delta x})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/1/8e161a2857970a7f882f79abe00ef60082.png)
не непрерывна в каждом открытом интервале нуля и (как это и должно быть)
![$y=|x|$ $y=|x|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/18077011250e633f523b93a29c0595af82.png)
и по альтернативному определению не имеет производную в нуле . Поэтому я думаю, что всё срабатывает и в случае функции Вейерштрасса, но я этого пока не проверял.
Я имею в виду понятие односторонних производных и несовпадение их в заданой точке.
Это хороший вопрос. Но прежде чем его разбирать приглядимся к непрерывности в граничных точках области определения. Рассмотрим функцию
![$y=x$ $y=x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/8/b48140ea862958104c1c59de5605bc9b82.png)
на замкнутом интервале
![$[2, 3]$ $[2, 3]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/e/d6e6d245e643302605d26b1e0ab348fd82.png)
. А почему она непрерывна в точке
![${2}$ ${2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/2/612e41fb744d9b899e30ac13344c46d782.png)
? Ведь множество
![$[2, a)$ $[2, a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/8/e68b202432ac34fc1663fd022fd224b182.png)
не являются открытыми в топологии вещественных чисел. Но если спуститься на подпространство
![$[2, 3]$ $[2, 3]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/e/d6e6d245e643302605d26b1e0ab348fd82.png)
, то в индуцированной топологии подпространства
![$[2, 3]$ $[2, 3]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/e/d6e6d245e643302605d26b1e0ab348fd82.png)
множество
![$[2, a)$ $[2, a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/8/e68b202432ac34fc1663fd022fd224b182.png)
открыто и соответственно
![$y=x$ $y=x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/8/b48140ea862958104c1c59de5605bc9b82.png)
на множестве
![$[2, 3]$ $[2, 3]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/e/d6e6d245e643302605d26b1e0ab348fd82.png)
непрерывна в точке
![${2}$ ${2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/2/612e41fb744d9b899e30ac13344c46d782.png)
. Видимо, вопрос об односторонних производных решается с помощью рассмотрения функций в «подозрительных» точках на подходящем подпространстве.