Вот замкнутые множества устроены много сложнее (смотрите канторово множество
Дополнение к канторовому множеству (которое открыто) устроено не менее сложно:)))
Почему? Это всего лишь счетное объединение открытых интервалов.
Этот диалог навел меня на мысль подробно рассмотреть структуру канторова множества.
Начнём с определения.
Из единичного замкнутого интервала
![$C_0=[0, 1]$ $C_0=[0, 1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/3/3e391bc641d45a92d8e7188bd81dffb182.png)
удалим открытый интервал
![$(1/3, 2/3)$ $(1/3, 2/3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/7/ba7479d16473a03eb47ed6e15648251082.png)
. Оставшееся множество обозначим через
![$C_1$ $C_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/1/d81a84099e7856ffa4484e1572ceadff82.png)
. Множество
![$C_1=[0, 1/3] \cup [2/3, 1]$ $C_1=[0, 1/3] \cup [2/3, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/0/a00ef6acc23c18155ffa3ab5bd3d8bda82.png)
состоит из двух замкнутых интервалов; удалим теперь из каждого замкнутого интервала его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через
![$C_2$ $C_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/f/85f3e1190907b9a8e94ce25bec4ec43582.png)
. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх замкнутых интервалов, получаем
![$C_3$ $C_3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/9/d19cc08043728c4034ea85a9fd4e254f82.png)
. Дальше таким же образом получаем
![$C_4, C_5, C_6, ...$ $C_4, C_5, C_6, ...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/d/a2d84700a0fce582c3fc16982413401682.png)
. Обозначим через
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
пересечение всех
![$C_i$ $C_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/0/db0e77b2ab4f495dea1f5c5c0858828882.png)
. Множество
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
называется Канторовым множеством.
Это слегка изменённое определение из Википедии.
Канторово множество замкнуто и состоит только из граничных точек. Его открытое ядро пусто. А это значит, что канторово множество не содержит ни одного открытого интервала. Мощность канторова множества континуум. А это значит, что кроме граничных точек концов выкинутых открытых интервалов (назовём их точками первого рода) есть ещё какие-то граничных точки (назовём их точками второго рода).
Начнем с точек первого рода. Рассмотрим открытый интервал содержащий точку
![$1/3$ $1/3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/1/70118eb82d4643bd42647f21941136af82.png)
. Этот открытый интервал содержит множество
![$(1/3, b)$ $(1/3, b)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/f/e8f329f52ac5ba28246cb141abccfab282.png)
, принадлежащее дополнению канторова множества. Точка
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
находится между
![$1/3$ $1/3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/1/70118eb82d4643bd42647f21941136af82.png)
и
![$2/3$ $2/3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/b/84b2b4f0a7a791d1be9e0275d96b784b82.png)
.
![$1/3$ $1/3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/1/70118eb82d4643bd42647f21941136af82.png)
– граничная точка открытого интервала
![$(1/3, b)$ $(1/3, b)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/f/e8f329f52ac5ba28246cb141abccfab282.png)
. Очевидно и просто.
Самое интересное начинается с другой стороны от одной трети. Какой бы открытый интервал
![$(g, 1/3)$ $(g, 1/3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/0/530eaf9008172c9ebdf3b2128727d3ba82.png)
мы ни взяли в нем обязательно есть точки канторова множества. Но каждый открытый интервал
![$(g, 1/3)$ $(g, 1/3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/0/530eaf9008172c9ebdf3b2128727d3ba82.png)
содержит и точки дополнения канторова множества. Так как канторово множество замкнуто, то точки его дополнения – внешние точки для канторова множества. Но тогда, каждый открытый интервал вида
![$(g, 1/3)$ $(g, 1/3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/0/530eaf9008172c9ebdf3b2128727d3ba82.png)
содержит открытый интервал, принадлежащий дополнению. При этом
![$1/3$ $1/3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/1/70118eb82d4643bd42647f21941136af82.png)
не является граничной точкой этого открытого интервала. Открытые интервалы дополнения суть удалённые открытые интервалы такие как
![$(1/3, 2/3)$ $(1/3, 2/3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/7/ba7479d16473a03eb47ed6e15648251082.png)
и их подмножества.
Теперь посмотрим на точки второго рода. Рассмотрим открытый интервал содержащий точку второго рода. После разбора первого случая очевидно, что такой открытый интервал содержит точки канторова множества вперемешку с открытыми интервалами дополнения. И не содержит открытого интервала граничной точкой, которого являлась бы эта точка второго рода.
Очевидно, что канторово множество устроено много сложнее чем его открытое дополнение.