ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

Может ли матрица $B$ удовлетворяющая уравнению $B\vec{s_1}=\vec{s_2}$, где $\vec{s_1}=\left(\begin{array}{c} u\\v\\u+v \end{array}\right)$, а $\vec{s_2}=\left(\begin{array}{с} v^2-u^2\\2uv\\u^2+v^2 \end{array}\right)$ иметь какой-либо вид кроме

$B=\left( \begin{array}{rrc} -u&v&0\\ v&u&0\\ -v&-u&u+v \end{array}\right)$ или $B=\left( \begin{array}{ccc} \frac{v^2-u^2}{u}&0&0\\ 0&\frac{2uv}{v}&0\\ 0&0&\frac{v^2+u^2}{u+v} \end{array}\right)$ ?

В первом случае оказывается, что для степени $n=3$ компонент вектора $\vec s_n$ отвечающий сумме слагаемых должен занимать ту же позицию, что и компонент отвечающий первому слагаемому, а для более высоких степеней - вообще позицию с отрицательным номером.
Во втором случае, для степени $n=3$ и выше компоненты вектора $\vec s_n$ отвечающие сумме слагаемых и первому слагаемому должны занимать позиции с дробными номерами.

[venco]

Может. Общее решение:

$$B=\left( \begin{array}{rrc}a-m&b+n&-\frac{am+bn}{m+n}\\c+n&d+m&-\frac{cm+dn}{m+n}\\e-n&f-m&m+n-\frac{em+fn}{m+n}\end{array}\right)$$

[serval]

А как из этого общего решения получается мой второй случай?

[venco]

Подбором свободных переменных $a,b,c,d,e,f$.

[serval]

Теперь нужно потребовать:
1. Компоненты вектора $\vec s_3$ в уравнении $B\vec s_2=\vec s_3$ должны быть натуральными (не равными нулю),
2. Никакие два компонента вектора $\vec s_3$ не должны быть равны между собой,
и посмотреть на получившиеся условия.
Спасибо. Будет чем заняться.

[serval]

Не очень красиво. Пожалуй, нужно попробовать другой путь.
А можно ли выразить через степени $u$ и $v$ равенства
$w^3+x^3+y^3=z^3$
$t^4+w^4+x^4+y^4=z^4$
и так далее?

[serval]

Что-то я немного запутался, пожалуйста, помогите распутаться.

venco в сообщении #324690 писал(а):

Может. Общее решение:

$$B=\left( \begin{array}{rrc}a-m&b+n&-\frac{am+bn}{m+n}\\c+n&d+m&-\frac{cm+dn}{m+n}\\e-n&f-m&m+n-\frac{em+fn}{m+n}\end{array}\right)$$

serval в сообщении #324702 писал(а):

А как из этого общего решения получается мой второй случай?

venco в сообщении #324705 писал(а):

Подбором свободных переменных $a,b,c,d,e,f$.

Значит ли это, что:
1. Любую матрицу удовлетворяющую уравнению $B\vec {s_1}=\vec{s_2}$ можно привести к виду $B=\left (\begin{array}{ccc} -u&v&0\\ v&u&0\\ -v&-u&u+v \end{array}\right)$
2. Результаты полученные при оперировании этой матрицей будут верны для любой матрицы удовлетворяющей уравнению $B\vec {s_1}=\vec{s_2}$ ?

[serval]

Нашлась более красивая матрица

$B= \left (\begin{array}{lll} v-2u&2v-u&-v+u\\ 2v+u&v+2u&-v-u\\ v+2u&2v+u&-v-u \end{array}\right)$

Думаем дальше - можно ли ее представить каким-либо матричным произведением?
Если получится - будет следующий шаг.

[serval]

А что у меня получилось? Тензор 3-го ранга свернутый с вектором $(v,u)$? А какие индексы здесь ко- и какие конравариантные?

[serval]

Я дождался мысли настолько простой, что она может оказаться правильной.
Коротко, схема такова.
Имеется скалярное произведение равное нулю. При этом, известен явный (численный) вид одного из векторов для каждой конкретной степени и общий (аналитический) вид другого для соответствующей степени.
Из явного вида 1-го вектора легко найти нужное количество ортогональных ему векторов. Получив из них и 2-го вектора векторное произведение следует сравнить его с 1-м вектором.
Пристрелка на бумаге дает надежду. По возвращении домой немедленно проверю.

[serval]

Увы, хитрость не удалась. Придется таранить в лоб.

[Виктор Ширшов]

(Оффтоп)

serval в сообщении #336987 писал(а):

Увы, хитрость не удалась. Придется таранить в лоб

Когда начнём?

[serval]

Уже. Я, как всегда, перемудрил. Направление понятно и часть уже сделана. Но, как обычно, лень производить механическую работу - поэтому торможу.
Схема похожа на вышеприведенную.
Имеется скалярное произведение равное нулю. При этом, известен явный (численный) вид одного из векторов для каждой конкретной степени и общий (аналитический) вид другого для соответствующей степени.
Из явного вида 1-го вектора легко найти нужное количество ортогональных ему векторов. Нужно разложить по ним 2-й вектор и проанализировать полученное представление. Полезно начать со 2-й степени.

P.S. Кстати, общий вид 1-го вектора тоже известен. Это можно попытаться использовать. Конечно, если получится что-то внятное на младших степенях.

[serval]

Ну вот.
Если я ничего не напутал, то для выполнения равенства $a^3+b^3=c^3$ нужно чтобы приведенные ниже выражения одновременно имели натуральные значения

$\frac {1}{2}\,{\frac { \left( -a-b \right) \sqrt [3]{\sqrt {- \left( 3\,{a}^{2} +6\,ab+3\,{b}^{2}-144 \right) \left( a+b \right) ^{2}}-{a}^{3}+ \left( -3\,b+9 \right) {a}^{2}+ \left( 18\,b-12-3\,{b}^{2} \right) a- 12\,b+9\,{b}^{2}-{b}^{3}}+{a}^{2}+ \left( 2\,b-6 \right) a+ \left( 9\, {a}^{2}+18\,ab+9\,{b}^{2}-12\,a-12\,b-{a}^{3}-3\,{a}^{2}b-3\,a{b}^{2}- {b}^{3}+\sqrt {- \left( 3\,{a}^{2}+6\,ab+3\,{b}^{2}-144 \right) \left( a+b \right) ^{2}} \right) ^{2/3}+{b}^{2}-6\,b}{\sqrt [3]{ \sqrt {- \left( 3\,{a}^{2}+6\,ab+3\,{b}^{2}-144 \right) \left( a+b \right) ^{2}}-{a}^{3}+ \left( -3\,b+9 \right) {a}^{2}+ \left( 18\,b- 12-3\,{b}^{2} \right) a-12\,b+9\,{b}^{2}-{b}^{3}}}}$

$\frac {1}{12}\,{\frac {-\sqrt [3]{9\,{a}^{2}+18\,ab+9\,{b}^{2}-12\,a-12\,b-{a}^ {3}-3\,{a}^{2}b-3\,a{b}^{2}-{b}^{3}+\sqrt {- \left( 3\,{a}^{2}+6\,ab+3 \,{b}^{2}-144 \right) \left( a+b \right) ^{2}}}a-\sqrt [3]{9\,{a}^{2} +18\,ab+9\,{b}^{2}-12\,a-12\,b-{a}^{3}-3\,{a}^{2}b-3\,a{b}^{2}-{b}^{3} +\sqrt {- \left( 3\,{a}^{2}+6\,ab+3\,{b}^{2}-144 \right) \left( a+b \right) ^{2}}}b+{a}^{2}+2\,ab-6\,a+ \left( 9\,{a}^{2}+18\,ab+9\,{b}^{ 2}-12\,a-12\,b-{a}^{3}-3\,{a}^{2}b-3\,a{b}^{2}-{b}^{3}+\sqrt {- \left( 3\,{a}^{2}+6\,ab+3\,{b}^{2}-144 \right) \left( a+b \right) ^{ 2}} \right) ^{2/3}+{b}^{2}-6\,b}{\sqrt [3]{9\,{a}^{2}+18\,ab+9\,{b}^{2 }-12\,a-12\,b-{a}^{3}-3\,{a}^{2}b-3\,a{b}^{2}-{b}^{3}+\sqrt {- \left( 3\,{a}^{2}+6\,ab+3\,{b}^{2}-144 \right) \left( a+b \right) ^{2}}} \left( a+b \right) }}$

Как это проанализировать? Хорошо бы средствами Maple.

Для сравнения. Чтобы выполнялось равенство $a^2+b^2=c^2$ нужно чтобы натуральные значения имело выражение

$(a+b)\pm \sqrt{(a+b)^2-a\cdot b}-1$

[Nilenbert]

serval в сообщении #338418 писал(а):

Чтобы выполнялось равенство $a^2+b^2=c^2$ нужно чтобы натуральные значения имело выражение

$(a+b)\pm \sqrt{(a+b)^2-a\cdot b}-1$

Как это? Возьмём $a=3, b=4$. Ни одно из этих выражений целым не будет.