2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 24, 25, 26, 27, 28
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение27.08.2019, 08:21 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Уточнение.

Векторы $e_1$ и $e^1$ для каждой степени $n$ имеют ту же размерность, что и матрицы $x$ и $P_n$ . Так для степени $n=2$ (для пифагоровых троек) векторы $e_1$ и $e^1$ таковы

$e_1=(1,0,0)$

$\begin{equation*}
e^1 =
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 
\end{pmatrix}
\end{equation*}$

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение09.01.2020, 15:56 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Промежуточный итог.

По условию ВТФ $a^n+b^n=c^n$ основания степеней слагаемых натуральны: $a,b,c \in N$ , значит натуральна и разность $(c-b) \in N$

Для степени $n=1$ : $c-b=a$ или

$\displaystyle \frac{a}{c-b}=1$


Для степени $n=2$ : $c-b<a$ и принимает значение

$c-b=a \cdot \displaystyle \frac{b-(c-a)}{b+(c-a)}$ или

$\displaystyle \frac{a}{c-b} \cdot \displaystyle \frac{b-(c-a)}{b+(c-a)}=1$

Обозначив $t=\text{НОД}\ (b,c-a)$ и сократив на него, последнее равенство можно записать в виде

$c-b=a \cdot \displaystyle \frac{l-r}{l+r}$ или

$\displaystyle \frac{a}{c-b} \cdot \displaystyle \frac{l-r}{l+r}=1$


Для степеней $n \geqslant 3$ : $c-b \ll a$ и следует ожидать, что коэффициент $k$ в равенстве

$\displaystyle \frac{a}{c-b} \cdot k=1$

не может быть рациональным числом: $k \notin Q$

Либо наоборот: при рациональном коэффициенте $k \in Q$ равенство не может быть выполнено и

$\displaystyle \frac{a}{c-b} \cdot k \neq 1$


P.S.

Для степени $n=3$ : разность $c-b$ имеет вид

$c-b=a-(l-r) \sqrt {3\ ac\ \displaystyle \frac{r}{l^3-r^3}}$ или учитывая, что $c=a+rt$

$c-b=a-(l-r) \sqrt {3\ a\ (a+rt)\ \displaystyle \frac{r}{l^3-r^3}}$

где под знаком корня находится величина $t$ имеющая значения

$t_{1,2}=a \cdot \displaystyle \frac{3\ r^2 \pm \sqrt{3\ r\ (4\ (l^2-r^2)+3\ r^2)}}{2\ (l^2-r^2)}

Вычисление величин $(c-b)$ и $t$ для степени $n=3$ не составляет труда, но как исследовать число имеющее такой громоздкий вид на натуральность - непонятно.

Хотя, достаточно было бы показать, что величина

$t = \sqrt {\displaystyle 3\ ac\ \frac{r}{l^3-r^3}}$

не имеет натуральных значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение10.01.2020, 17:46 


19/04/14
321
serval в сообщении #1434109 писал(а):
$\displaystyle \frac{a}{c-b} \cdot k=1$

не может быть рациональным числом: $k \notin Q$

Уважаемый serval!
$a$ и $(c-b)$ не взаимно простые числа, а числа $(c-b),k$ взаимно какие?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение10.01.2020, 20:51 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
В пифагоровых тройках числа $a$ и $(c-b)$ могут быть взаимно простыми, а могут не быть, например

$5^2+12^2=13^2$ - взаимно простые

$8^2+15^2=17^2$ - не взаимно простые

но при коэффициенте $k=\displaystyle \frac{l-r}{l+r}$ равенство $\displaystyle \frac{a}{c-b} \cdot k=1$ выполняется всегда.

В случае $n=1:\ k=1$ - натуральное число, а в случае $n=2:\ k=\displaystyle \frac{l-r}{l+r}$ - рациональное число, и в обоих случаях $(c-b)$ - натуральное число. Я предполагаю, что в случаях $n \geqslant 3$ коэффициент $k$ - иррациональное число. Взаимная же простота определена только для чисел оба из которых целые.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение20.10.2020, 16:35 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Пусть имеется тройка чисел $(a,b,c)$ таких, что выполняется равенство $a^n+b^n=c^n$ , где $n$ - натуральное число.

Тогда для каждого показателя степени $n$ существует инвариант относительно тройки $(a,b,c)$ - такое натуральное число $k$ что при заданном значении $n$ и способе вычисления $f_n(a,b,c)=k$ для любых значений $(a,b,c)$ оно является константой:

$f_n(a,b,c)=k, k=Const \textit{(} n \textit{)}$

Рассмотрим примеры.

Пусть $n=2$ . Перепишем равенство $a^2+b^2=c^2$ в следующем виде:

$(a+b-c)^2=2 \ (c-a)(c-b)$

или

$(\star) \ \ \ \ \ \displaystyle \frac{a-(c-b)}{c-b} \cdot \frac{b-(c-a)}{c-a}=2$

Таким образом, при любых значениях членов тройки $(a,b,c)$ выражение $(\star)$ примет значение равное $2$ . Если при этом $a,b,c - натуральные числа, то они образуют пифагорову тройку.

Пусть $n=3$ . Перепишем равенство $a^3+b^3=c^3$ в следующем виде:

$(a+b-c)^3=3 \ (c-a)(c-b)(a+b)$

или

$(\star \star) \ \ \ \ \ \displaystyle \frac{a-(c-b)}{c-b} \cdot \frac{b-(c-a)}{c-a} \cdot \frac{(a+b)-c}{a+b}=3$

Таким образом, при любых значениях членов тройки $(a,b,c)$ выражение $(\star \star)$ примет значение равное $3$ . Следовательно, доказательство ВТФ приводится к доказательству невозможности выполнения равенства $(\star \star)$ в натуральных числах.

Такой числовой инвариант можно указать и для любой степени $n>3$ . Он будет равен $\text{НОД}$ элементов соответствующей $n$ строки треугольника Паскаля усечённой на крайние единицы:

$n=2:\text{НОД}\ (2)=2$

$n=3:\text{НОД}\ (3,3)=3$

$n=4:\text{НОД}\ (4,6,4)=2$

$n=5:\text{НОД}\ (5,10,10,5)=5$

$n=6:\text{НОД}\ (6,15,20,15,6)=1$

и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение26.02.2021, 00:16 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
При исследовании ВТФ я исходил из предположения о том, что равенство $a^n + b^n = c^n$ , для возрастающих значений показателя степени $n$ , может быть представлено единым образом, таким, что при достижении значения $n=3$ удастся явно выразить его отличие от младших степеней $1$ и $2$ . Такое представление удалось получить.

Сделаем следующую замену:

$\begin{cases}
c - a =  ut
\\
c - b = l
\\
a + b - c = vt
 \end{cases}$

Тогда условия выполнения равенства $a^n + b^n = c^n$ для первых трёх значений показателя степени $n$ примут вид:

$n =1:\ (vt)^1 + (ut)^1 = (ut + l)^1 - l^1$

$n =2:\ (vt)^2 + (ut)^2 = (ut + l)^2 - l^2$

$n =3:\ (vt)^3 + (ut)^3 = (ut + l)^3 - l^3 + 3!\ vt\cdot ut\cdot l$

Здесь:

$n =1:$ Поскольку, для этого случая, $vt = 0$ , то условие выполняется всегда.

$n =2:$ Из записи для этого случая видно, что левая часть равенства является квадратом гипотенузы одного треугольника, а правая - квадратом катета другого. Это можно нарисовать.

$n =3:$ В этом случае, в отличие от двух первых, различающихся только значением показателя степени $n$ , в правой части равенства присутствует дополнительное слагаемое.

Как связан дополнительный член в правой части последнего равенства с его невыполнимостью в натуральных числах, пока неизвестно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.02.2021, 10:44 


13/05/16
131
Я вам помогу немного, если вы не возражаете.
serval в сообщении #1506621 писал(а):
При исследовании ВТФ я исходил из предположения о том, что равенство $a^n + b^n = c^n$ , для возрастающих значений показателя степени $n$ , может быть представлено единым образом, таким, что при достижении значения $n=3$ удастся явно выразить его отличие от младших степеней $1$ и $2$ . Такое представление удалось получить.

Antoshka в сообщении #1481257 писал(а):
Пусть имеется уравнение $x^3+y^3=z^3$. Требуется доказать, что у него нет решений в натуральных попарно взаимно простых числах. Возникает закономерный вопрос: а можно ли получить в явном виде соотношения для гипотетических $x,y,z$ натуральных такие, что при подстановке этих соотношений в исходное уравнение получалось бы верное тождество, как для показателя два? Да, такие соотношения существуют, причём в литературе они мне не встретились. Например, у Рибенбойма их нет, у него есть только соотношения Барлоу.Рассмотрим случай $z$делится на $3$. Тогда эти соотношения имеют вид $$\left\{
\begin{array}{lcl}
 x=\frac{(\sqrt{3}(a-b)^{3/2}-\sqrt{-a^3+3a^2b-3ab^2+33b^3})}{4\sqrt {2}}\\
 y=\frac{(\sqrt{3}(a-b)^{3/2}+\sqrt{-a^3+3a^2b-3ab^2+33b^3})}{4\sqrt{2}}\\
z=\frac{\sqrt{3(a-b)}b}{\sqrt{2}}
\end{array}
\right$$. Здесь $a$ и $b$ натуральные взаимно простые числа. Есть ещё второе множество решений. В нем соотношения имеют похожий вид

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ и дискретная геометрия
Сообщение28.02.2021, 11:42 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Antoshka в сообщении #1506938 писал(а):
Я вам помогу немного, если вы не возражаете.

Против помощи я не возражаю, но не вижу чем мне могут быть полезны ваши замены переменных. Пожалуйста, или укажите как их можно применить к решению моих задач, или не пользуйтесь моей темой для демонстрации своих результатов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 413 ]  На страницу Пред.  1 ... 24, 25, 26, 27, 28

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group