ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

А как вы их отображаете?

[Виктор Ширшов]

serval в сообщении #352513 писал(а):

А как вы их отображаете?

Точно не дискретно.

[serval]

Попробую иначе. Покажите как вы их отображаете.

[Виктор Ширшов]

serval в сообщении #352521 писал(а):

Попробую иначе. Покажите как вы их отображаете.

Иначе не получится, лучше это сделать дискретно.

[serval]

Просто покажите как вы отображаете пифагоровы тройки.

[Виктор Ширшов]

serval в сообщении #352528 писал(а):

Просто покажите как вы отображаете пифагоровы тройки.

serval. Пока я умею только так: 3, 4, 5; 5,12, 13; 10, 24,25...

[serval]

Вот здесь

Виктор Ширшов в сообщении #352510 писал(а):

. У меня они почему-то отображаются отрезком, а те тройки, что удовлетворяют равенству $x^2+y^2=z^2$, - прямоугольным треугольником.

как они у вас отображаются? Для примера, возьмите тройку $(3,4,5)$ и отобразите.

[Виктор Ширшов]

serval в сообщении #352537 писал(а):

как они у вас отображаются? Для примера, возьмите тройку $(3,4,5) и отобразите.

serval. Какой Вы дотошный. У меня они отображаются примерно так как в аватаре gris

[serval]

Я понял. Это вы пошутили. Смешно.
Просто нужно было почитать чуть выше - там, где я показал как пифагоровы тройки отображаются в точки прямой.

[gris]

Виктор Ширшов, вероятно, иронически имел в виду известное тригонометрическое "доказательство" ВТФ.
Если отрезки с длинами $a,b,c$ удовлетворяют равенству $a^n+b^n=c^n$, то из них можно сложить треугольник:
при $n=1$ вырожденный с развёрнутым углом между сторонами $a$ и $b$;
при $n=2$ прямоугольный;
при $n>2$ с острым углом между сторонами $a$ и $b$, где третья сторона выражается по теореме косинусов.
Это и есть отображение троек.
Вопрос в целочисленности (рациональности) длин сторон.

[serval]

gris в сообщении #352550 писал(а):

Виктор Ширшов, вероятно, иронически имел в виду

Вероятно

[Виктор Ширшов]

serval в сообщении #352542 писал(а):

Я понял. Это вы пошутили. Смешно.
Просто нужно было почитать чуть выше - там, где я показал как пифагоровы тройки отображаются в точки прямой.

У меня они отображаются точками, расположенными не на одной прямой. Вот для случая, когда $a+b=c$, да.

[serval]

Значит вы не так считаете. Вот листинг для Maple 14

restart;
p:=proc(n) 
local L,a,b,c: 
L:=[]: 
for a from 1 to n do 
for b from 1 to n do 
c:=sqrt(a^2+b^2): 
if is(c,integer) then L:=[op(L),[1,binomial(a-1,1)+binomial(b-1,1)-binomial(c-1,1),binomial(a-1,2)+binomial(b-1,2)-binomial(c-1,2)]]:fi: 
od:od: 
plots[pointplot3d](L,axes=normal,color=red,symbol=point,orientation=[-40,50],labels=[x,y,z]); 
end proc: 
p(100);

Берем тройки $(a,b,c)$ для которых выполняется $a^2+b^2=c^2$ и строим для каждой точку с координатами $(x,y,z)$ где

$x=1$
$y=binomial(a-1,1)+binomial(b-1,1)-binomial(c-1,1)$
$z=binomial(a-1,2)+binomial(b-1,2)-binomial(c-1,2)$

а $binomial(n,k)$ - биномиальные коэффициенты.
Проверьте.

-- Ср сен 15, 2010 12:03:51 --

Кстати, попробуйте сделать то же самое для $a+b=c$, это любопытно. Там, действительно, не точка. Т.е. точка если положить $z=0$. А вообще, получается вертикальная прямая, но точки на ней расположены не равномерно - расстояние между ними увеличивается. Тогда как для $a^2+b^2=c^2$ точки на (уже не вертикальной) прямой расположены равномерно. Особенно интересны графики "два в одном" - и тройки и их отображения.
Вот листинг для $a+b=c$

restart;
p:=proc(n) 
local L,a,b,c: 
L:=[]: 
for a from 1 to n do 
for b from 1 to n do 
c:=a+b: 
if is(c,integer) then L:=[op(L),([a,b,c],[1,binomial(a-1,1)+binomial(b-1,1)-binomial(c-1,1),binomial(a-1,2)+binomial(b-1,2)-binomial(c-1,2)])]:fi: 
od:od: 
plots[pointplot3d](L,color=blue,symbol=point,orientation=[-40,50],labels=[x,y,z]); 
end proc: 
p(10);

а вот для $a^2+b^2=c^2$

restart;
p:=proc(n) 
local L,a,b,c: 
L:=[]: 
for a from 1 to n do 
for b from 1 to n do 
c:=sqrt(a^2+b^2): 
if is(c,integer) then L:=[op(L),([a,b,c],[1,binomial(a-1,1)+binomial(b-1,1)-binomial(c-1,1),binomial(a-1,2)+binomial(b-1,2)-binomial(c-1,2)])]:fi: 
od:od: 
plots[pointplot3d](L,color=blue,symbol=point,labels=[x,y,z]); 
end proc: 
p(100);

Посмотрите, это красиво Обратите внимание на рисунок пифагоровых троек на втором графике.

[serval]

И все-таки $(1,-1,\ 1,-1\ .\ .\ .\ )$ .
Например, пифагоровы тройки отображаются в точки прямой с координатами $(1,-1+2k,1-3k)$. Для тройки $(3,4,5)$ коэффициент $k=1$.

Еще примеры:

$k=2:\ (5,12,13)$
$k=3:\ (8,15,17),\ (7,24,25)$
$k=4:\ (9,40,41)$
$k=5:\ (12,35,37),\ (11,60,61)$
$k=6:\ (20,21,29),\ (13,84,85)$
$k=7:\ (16,63,65),\ (15,112,113)$
$k=8:\ \ ?$
$k=9:\ \ ?$
$k=10:\ (28,45,53)$
$k=11:\ \ ?$
$k=12:\ (33,56,65)$
$k=13:\ \ ?$
$k=14:\ \ ?$
$k=15:\ (48,55,73),\ (39,80,89)$

[serval]

Вопрос к администрации - можно ли в этой теме продублировать пост из другой темы, если там я не получил ответа по существу? Ответ на пост очень важен для этой темы.