ВТФ и дискретная геометрия

[Nilenbert]

serval в сообщении #268804 писал(а):

Может ли квадрат натурального числа быть суммой более чем двух квадратов других натуральных чисел?
Если да - каково наибольшее число слагаемых в такой сумме?

Конечно может. $3^2+4^2+12^2=13^2$

[serval]

А, в этом смысле Это конечно.
А так, чтобы никакие два из трёх слагаемых не давали квадрата?

[Nilenbert]

Ещё проще $7^2=6^2+3^2+2^2$

[serval]

Ага. Это хорошо. Спасибо. Вот бы еще общую формулу

[grisania]

serval в сообщении #268804 писал(а):

Может ли квадрат натурального числа быть суммой более чем двух квадратов других натуральных чисел?
Если да - каково наибольшее число слагаемых в такой сумме?

Четырех всегда, ибо по тереме Лагранжа каждое число - сумма 4-х квадратов, следовательно, и квадрат натурального любого числа - сумма 4-х квадратов.

[serval]

В общем, отображение номеров строк (треугольника Паскаля) элементов сумм $(p_x,p_y,p_z)$ в номера строк пифагоровых троек $(p_{px},p_{py},p_{pz})$, конечно же, имеет структуру.
Пусть $p_x$ - номер строки младшего слагаемого, $p_y$ - номерстроки старшего слагаемого (порядок важен!), $p_z$ - номер строки суммы (для степени $n=1$ они совпадают со значениями нумеруемых ими элементов).
Тогда первые три нечётных числа (вообще-то, номера соответствующих им строк) имеющих неоднозначное разложение в сумму отобразятся в номера строк соответствующих пифагоровых троек так:

$(1,4,5)\rightarrow(15,8,17)$
$(2,3,5)\rightarrow(5,12,13)$

$(1,6,7)\rightarrow(35,12,37)$
$(2,5,7)\rightarrow(21,20,29)$
$(3,4,7)\rightarrow(7,24,25)$

$(1,8,9)\rightarrow(63,16,65)$
$(2,7,9)\rightarrow(45,28,53)$
$(3,6,9)\rightarrow(27,36,45)$
$(4,5,9)\rightarrow(9,40,41)$

Структура отображения особенно хорошо видна на рисунке для 9 (чем больше число - тем отчётливей). Только нужно различить значками слагаемые (с соблюдением порядка!) и сумму, а цветом соотнести прообраз с образом.

P.S. Образы чётных чисел, пока непонятно почему, сводятся к образам нечётных с точностью до коэффициента.

[serval]

Можно ли из системы уравнений
$\left\{ \begin{array}{ll} Ax_1=x_2 \\ Ay_1=y_2 \end{array} \right.$
при известных векторах $x_1,x_2,y_1,y_2$ найти матрицу $A$?

[Someone]

Если векторы $x_1$ и $y_1$ образуют базис, то можно.

[serval]

Т.е. если они линейно независимы?

[Someone]

А у Вас размерность какая?

[serval]

Для начала можно ограничиться размерностью $n=17$
А вообще, размерность растёт быстро и неограниченно. Чуть позже я дам векторы.

[Someone]

Какая размерность, столько и линейно независимых векторов требуется.

[serval]

Сами векторы хорошие - в каждом первый компонент равен $1$, и ещё два равны $-1$, при этом позиции двух последних компонентов в каждом векторе разные. Остальные компоненты всех векторов равны $0$.
При этих условиях, как я понимаю, все векторы оказываются линейно независимыми.

[Батороев]

serval в сообщении #268959 писал(а):

Ага. Это хорошо. Спасибо. Вот бы еще общую формулу

Любое нечетное число, равное сумме двух квадратов:
$n = a^2+b^2$,
всегда можно представить в виде разности квадратов двух чисел:
$ n = k\cdot l= c^2 -d^2 $, где $c=\frac{k+l}{2}$; $d=\frac{k-l}{2}$.

Отсюда $a^2+b^2+d^2=c^2$.

Пример: $65=4^2+7^2$
$65= 65\cdot 1 = (\frac{65+1}{2})^2-(\frac{65-1}{2})^2 = 33^2-32^2$
$ 4^2+7^2+32^2=33^2$.

$65=1^2+8^2$
$65=13\cdot 5 = (\frac{13+5}{2})^2-(\frac{13-5}{2})^2=9^2-4^2$
$1^2+8^2+4^2=9^2$.

[Nilenbert]

Ну, если выводить общую формулу, то возникают сложности некоторые, но можно вывести частные формулы генерирующие большое количество вариантов:

$$ (a^2+b^2-c^2)^2+(2ac)^2+(2bc)^2=(a^2+b^2+c^2)^2 $$

Например, при $a=4, b=2, c=1$ получаем: $19^2+8^2+4^2=21^2$