Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #307041 писал(а):

а разве из Т - симметрии и дифференцируемости по траектории не следует сохранение фазового объема?

Нет.

Простой пример: $\ddot x = g(x,{\dot x}^2)$. Уравнение неприрывности для функции распределения $f(t,x,\dot x)$:

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial (f \dot x)}{\partial x} + \frac{\partial (f \ddot x)}{\partial \dot x} = 0 $$

Получим в итоге вместо уравнения Лиувилля:

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \dot x \frac{\partial f}{\partial x} + g\frac{\partial f }{\partial \dot x} + f \frac{\partial g}{\partial \dot x} = 0$$

$$\frac{d f}{d t} = -f \frac{\partial g}{\partial \dot x}$$

[EvgenyGR]

Да действительно :), просто vek88 где-то выше предлагал учесть сохранение фазового объема, но эта тема почему-то не развилась.

[vek88]

Я вряд ли мог говорить о сохранении фазового объема, поскольку давно забыл все это.

А вот myhand что-то говорил о рождении/уничтожении частиц в классической механике, но так и ни до чего эти разговоры не довел. Ладно, даю ему подсказку:

1. Добавляем в классическую механику "числа заполнения", которые для каждой частицы либо ноль, либо единица.

2. Добавляем вероятности превращений, например, частицы 1 и 2 могут превратиться в частицу 3 с массой, равной сумме их масс, и внутренней энергией, равной сумме их энергий. И наоборот.

3. Превращения возможны с вероятностями, зависящими от расстояния между частицами.

4. Можно пользоваться старыми добрыми скобками Пуассона, чтоб упростить все и пользоваться стандартным механизмом.

Может быть теперь конструктивизм myhand засверкает яркими красками? И он с блеском завершит свое дело по построению неоклассической механики?

[myhand]

vek88 в сообщении #307355 писал(а):

Я вряд ли мог говорить о сохранении фазового объема, поскольку давно забыл все это.

Это заметно.

vek88 в сообщении #307355 писал(а):

А вот myhand что-то говорил о рождении/уничтожении частиц в классической механике, но так и ни до чего эти разговоры не довел.

Все, что я пытался до Вас донести - побудить Вас рассмотреть физический пример, где утверждение о сохранении массы преобретает смысл. Например, распад классической частицы на несколько ("кусков"), сразу после чего новые частицы ("куски") - не взаимодействуют.

На этом примере было бы видно качественное отличие от релятивистской теории. Т.к. пример подобного "распада" можно рассмотреть и в ней.

А так пока - поставленную задачу (см. начало топика) Вы не решили. Без дополнительных предположений (специфическое пространство состояний, симплектичность etc, etc) - классическая механика из галилеевой инвариантности не следует.

vek88 в сообщении #307355 писал(а):

Может быть теперь конструктивизм myhand засверкает яркими красками? И он с блеском завершит свое дело по построению неоклассической механики?

Мне интереснее наблюдать за Вашими потугами доказать очевидно невозможное. Если я чем-то помешал в этом топике - клянусь больше не отвлекать Вас.

[EvgenyGR]

Ради бога не ссорьтесь. Мне было очень интересно наблюдать за вашей беседой, хоть я и не все понимал.

И если можно еще одна реплика из зала.

Я не уверен, что Т-симметрия и обратимость одно и тоже, если обратимость понимать как существование обратного отображения для отображения фазового пространства из любого начального момента времени в любой конечный. Если обратимость в таком смысле есть, то якобиан отображения нигде не равен нулю, и может быть рассмотрен как непрерывная функция координат. С другой стороны для совпадающих моментов времени якобиан равен единицы, а значит, из обратимости следует, что якобиан всегда больше некого положительного числа. На сколько я понимаю в этом случае можно подобрать такие новые переменные, что якобиан станет везде равным единицы, а дивергенция соответствующего векторного поля будет равна нулю.

[myhand]

EvgenyGR, раз можно - подберите. Пример выше привели.

[В. Войтик]

EvgenyGR в сообщении #307428 писал(а):

Я не уверен, что Т-симметрия и обратимость одно и тоже, если обратимость понимать как существование обратного отображения для отображения фазового пространства из любого начального момента времени в любой конечный.

Обратимость в этом понимании следует из того, что движение механической системы есть каноническое преобразование. Значит и обратное движение есть КП, которое в принципе возможно, если подобрать соответствующие начальные постоянные движения.

Цитата:

Если обратимость в таком смысле есть, то якобиан отображения нигде не равен нулю, и может быть рассмотрен как непрерывная функция координат. С другой стороны для совпадающих моментов времени якобиан равен единицы, а значит, из обратимости следует, что якобиан всегда больше некого положительного числа. На сколько я понимаю в этом случае можно подобрать такие новые переменные, что якобиан станет везде равным единицы, а дивергенция соответствующего векторного поля будет равна нулю.

Не надо подбирать переменные, т.к. якобиан КП в любых канонических переменных для любого момента всегда равен 1.

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #307431 писал(а):

EvgenyGR, раз можно - подберите. Пример выше привели

Вообще-то пример приведен относительно конфигурационного пространства. В фазовом пространстве возможны не канонические преобразования, которые не сохраняют фазовый объем.

Меня интересует вот что. Мы рассматриваем преобразование некого фазового пространства само в себя. В механике мы рассматриваем не все такие преобразования, а только те, которые порождены соответствующим Гамильтонианом. Известно что такие преобразования сохраняют фазовый объем. Возьмем теперь некое такое преобразование и перейденным в неканонические координаты. Естественно уравнения движения потеряют канонический вид а само движение в новом фазовом пространстве не будет сохранять фазовый объем. Есть ли смысл манипулировать (например на Галилей инвариантность) в этом новом фазовом пространстве с этими новыми уравнениями движения? Может с начало стоит перейти к таким новым переменным чтобы фазовый начал сохраняться.

Я предположил что для возможности такого переход достаточно требования обратимости (необходимость этого наверно обязательна). Если Вы считаете что этого недостаточно, так это становиться еще более интересным.

-- Чт апр 08, 2010 09:38:49 --

В. Войтик в сообщении #307565 писал(а):

Обратимость в этом понимании следует из того, что движение механической системы есть каноническое преобразование. Значит и обратное движение есть КП, которое в принципе возможно, если подобрать соответствующие начальные постоянные движения.

Все верно если мы говорим о движения получаемых из уравнений механики. Но в этой ветки речь о том, что мы берем произвольное преобразование, вообще говоря фазового пространства (если я ничего не путаю) и пытаются используя некие ограничения получить уравнения механики.

[В. Войтик]

EvgenyGR в сообщении #307574 писал(а):

Меня интересует вот что. Мы рассматриваем преобразование некого фазового пространства само в себя. В механике мы рассматриваем не все такие преобразования, а только те, которые порождены соответствующим Гамильтонианом.

В механике можно рассматривать произвольное КП , т.е. не обязательно ядром которого является гамильтониан. Пример - КП поворота или сдвига.

Цитата:

Известно что такие преобразования сохраняют фазовый объем. Возьмем теперь некое такое преобразование и перейденным в неканонические координаты. Естественно уравнения движения потеряют канонический вид а само движение в новом фазовом пространстве не будет сохранять фазовый объем. Есть ли смысл манипулировать (например на Галилей инвариантность) в этом новом фазовом пространстве с этими новыми уравнениями движения? Может с начало стоит перейти к таким новым переменным чтобы фазовый начал сохраняться.

Как я вас понял вы предлагаете выразить гамильтониан через канонически несопряжённые координаты и импульсы и посмотреть какие условия надо наложить, чтобы получались обычные уравнения движения?

Цитата:

Все верно если мы говорим о движения получаемых из уравнений механики. Но в этой ветки речь о том, что мы берем произвольное преобразование, вообще говоря фазового пространства (если я ничего не путаю) и пытаются используя некие ограничения получить уравнения механики.

Здесь я согласен с myhand, что только из галилеевой инвариантности аналитическую механику не построить. В любом случае приходится принимать какое - то допущение которое эквивалентно принципу наименьшего действия...
Другое дело какой именно постулат надо положить в основу. В разных формулировках кл. мех-ки видимо естественны отличающиеся постулаты.

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #307574 писал(а):

Вообще-то пример приведен относительно конфигурационного пространства. В фазовом пространстве возможны не канонические преобразования, которые не сохраняют фазовый объем.

Так постройте подходящее фазовое пространство для этого примера.

Поймите, пожалуйста, задачу. Исходно - мы не знаем, что система уравнений - гамильтонова. Вот есть набор ОДУ, подчиняющихся некоторым дополнительным условиям (обратимость, например). Достаточно этого хоть для сохранения "фазового объема" в некоторых переменных (отличных от $x$ и $\dot x$)?

EvgenyGR в сообщении #307574 писал(а):

Возьмем теперь некое такое преобразование и перейденным в неканонические координаты. Естественно уравнения движения потеряют канонический вид а само движение в новом фазовом пространстве не будет сохранять фазовый объем.

Я предположил что для возможности такого переход достаточно требования обратимости (необходимость этого наверно обязательна). Если Вы считаете что этого недостаточно, так это становиться еще более интересным.

Так пример уравнения привели, попробуйте доказать - что такой переход возможен.

[vek88]

Как-то так получилось, что мы быстро согласились на внутреннюю структуру частиц и, соответственно, на уравнения с высшими производными. ... И выплеснули ребенка.

Умерив полемический задор и эмоции решил вернуться к свободным Галилей-инвариантным частицам. Но теперь не поддамся на провокации и вернусь к тому, с чего начал. Итак, свободная частица в классическом пространстве состояний: координаты $x_\alpha$, определяющие положение частицы в пространстве, и скорость (или импульс) - тоже обычная, т.е. $\dot x_\alpha.$

Тогда, как установил Padawan, имеем единственное Галилей-инвариантное уравнение движения

$$\ddot x_\alpha=0.$$

А вот в случае двух частиц (в обычном пространстве состояний) мы уже получаем возможности самоускорения за счет векторного произведения относительной скорости на относительный радиус-вектор.

Кстати, я не против закрутона, вибриона или акселерона (а почему частица не может иметь при себе "идеальный" ракетный двигатель с бесконечным запасом энергии). И, опять же, эти частицы совсем и не противоречат классической механике, как пытаются представить отдельные паникеры. И даже самоускоряющиеся пары частиц - это некое непрактичное, но любопытное следствие Галилей-инвариантности.

Но я не собираюсь возобновлять дискуссию на эту тему - что выросло, то выросло. И умеющий уши - услышит, имеющий глаза - увидит. А к чему это говорю? К тому, что пора начать новую тему на тему "Вывод релятивистской механики из Пуанкаре-инвариантности".

Как народ смотрит на это?

Вы можете спросить - а зачем опять повторять то же самое? Неужели "мелкие технические" отличия группы Пуанкаре от группы Галилея дадут что-либо интересное?

Сразу отвечаю - даду, даду! Более того, сразу предупредю - теперь тут не разгуляемся в том смысле, что вряд ли нам удастся найти что-нибудь разумное для взаимодейтсвующих частиц (в отличие от классики, где мы нашили как все разумное, так много чего и не очень). Причем теперь я согласен на любые варианты: гамильтоновы или нет, или вааще какие-угодно.

Так как? Общественность принимает вызов? Т.е. общественность берется найти хоть какое-нибудь нетривиальное представление группы Пуанкаре для классических взаимодействующих частиц?

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #307634 писал(а):

Так пример уравнения привели, попробуйте доказать - что такой переход возможен.

Для приведенного примера это сделать нельзя. Но я ведь о другом. Рассмотрим отображения фазового пространства в себя не сохраняющие объем. Какие-то из них нельзя заменой переменных (еще одним отображением в себя) «заставить» этот объем сохранять, а какие-то можно. Как должен выглядеть критерий (критерии) отделяющий первый тип отображений от второго типа и какой у этого критерия может быть физический смысл? Вы же сами в сообщении № 469 писали:

"Мне приходит на ум только одно - уравнение Лиувилля (сохранение фазового объема). Насколько я себе представляю, это эквивалентно гамильтоновости"



Значит это критерий и будет критерием того что система ОДУ описывает гамельтониановую систему.

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #307926 писал(а):

Для приведенного примера это сделать нельзя.

Ну и замечательно. Значит мы построили контрпример: "разве из Т - симметрии и дифференцируемости по траектории не следует сохранение фазового объема". Получается - нет.

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #307968 писал(а):

Ну и замечательно. Значит мы построили контрпример: "разве из Т - симметрии и дифференцируемости по траектории не следует сохранение фазового объема". Получается - нет.

Т.е. Вы хотите сказать что если отображение не сохраняет фазовый объем то его нельзя заменой переменных преобразовать таким образом, чтобы объем стал сохраняться?

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #307971 писал(а):

Т.е. Вы хотите сказать что если отображение не сохраняет фазовый объем то его нельзя заменой переменных преобразовать таким образом, чтобы объем стал сохраняться?

"Для приведенного примера это сделать нельзя." - Ваши слова?

Сохранение фазового объема, скорее всего, не достаточно для гамильтоновости. Есть же еще интегральные инварианты для гамильтоновой системы, помимо фазового объема. Их существование никак не следует из его сохранения для некоторой произвольной системы уравнений.

Локально - любая система ОДУ гамильтонова (подходящей размерности). Это вытекает из теоремы о выпрямлении фазовых траекторий. А вот _строгие_ критерии того, когда глобально может быть также - неизвестны.