Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[Padawan]

myhand в сообщении #304198 писал(а):

PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

Почему? Чем $v_{12}\times x_{12}$ плох? Преобразования Галилея сохраняют ориентацию пространства.

[vek88]

К моемы предыдущему глупому вопросу в сообщении #304332 добавлю, что:

- с одной стороны, отказ от скобок Пуассона в пользу линейных дифоператоров общего вида расширяет вид представлений алгебры Галилея - например, появляются псевдовекторы в парных взаимодействиях; при использовании скобок парное взаимодействие зависит только от квадаратов разности векторов координат и импульсов, и от их скалярного произведения;

- а сдругой стороны - сужает, т.к. изымается возможность введения оператора Казимира $M$.

Короче, ясно, что ничего не ясно - хотел как лучше, а вышло как всегда. Еще короче, назад за скобки Пуассона.

Получается, что я поступал очень нравственно, работая именно со скобками Пуассона.

-- Вт мар 30, 2010 10:52:18 --

Padawan в сообщении #304335 писал(а):

myhand в сообщении #304198 писал(а):

PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

Почему? Чем $v_{12}\times x_{12}$ плох? Преобразования Галилея сохраняют ориентацию пространства.

А плох тем, что тут мы и получим реализацию Вашего исходного примера с самоускорением центра инерции двух частиц?

Обобщая это приходим к выводу, что просто представление алгебры Галилея гарантирует наличие генераторов (удовлетворяющих нужным коммутаторам, возможно без $M$). Но не гарантирует наличие соответствующих законов сохранения?

А как же теорема Нетер? Ага, она оказывается только для систем с лагранжевым формализмом (или эквивалентным). Вот оно что.

[myhand]

Padawan в сообщении #304335 писал(а):

myhand в сообщении #304198 писал(а):

PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

Почему? Чем $v_{12}\times x_{12}$ плох? Преобразования Галилея сохраняют ориентацию пространства.

Да, я поторопился с vek88 согласиться. Очень уж хотелось выкинуть... Но нужный псевдоскаляр построить никаких проблем нет (из тензора Леви-Чивиты, например).

vek88 в сообщении #304375 писал(а):

А плох тем, что тут мы и получим реализацию Вашего исходного примера с самоускорением центра инерции двух частиц?

Нет, мы получим это уже из первых двух слагаемых (конкретно, с $f_1$ и $f_2$). Векторное произведение тут не виновато.

[vek88]

myhand в сообщении #304403 писал(а):

vek88 в сообщении #304375 писал(а):

А плох тем, что тут мы и получим реализацию Вашего исходного примера с самоускорением центра инерции двух частиц?

Нет, мы получим это уже из первых двух слагаемых (конкретно, с $f_1$ и $f_2$). Векторное произведение тут не виновато.

Я все-таки следую своему предложению ограничиться тождественными частицами. В этом случае $f_1$ и $f_2$ антисимметричны относительно перестановки частиц. И поэтому суммарный импульс сохраняется.

Впрочем, это мелочи. А суть в том, что без скобок Пуассона (или чего-то эквивалентнго) полный пипец?

Таким образом, если принять традиционное фазовое пространство с алгеброй операторов в соответствии со скобками Пуассона, то однозначно приходим к подалгебре Галилея, соответствующей классической механике.

А если представлять алгебру Галилея в каких-то других алгебрах операторов, то возникает чтой-то более широкое и не обязательно адекватное механике.

Кажись так?

[myhand]

vek88 в сообщении #304412 писал(а):

А если представлять алгебру Галилея в каких-то других алгебрах операторов, то возникает чтой-то более широкое и не обязательно адекватное механике.

Кажись так?

Не обязательно. Например, та форма уравнений движения, к которой мы пришли из соображений галилеевой симметрии - возможно допускает лагранжеву/гамильтонову форму. В частном случае (конкретный пример Padawan) - я это показал (и, кстати, суммарный "импульс" там сохраняется). А вот положительность "масс" - определенно не следует из симметрии (в Вашем первоначальном подходе - тоже, кстати).

[Padawan]

myhand в сообщении #304443 писал(а):

Не обязательно. Например, та форма уравнений движения, к которой мы пришли из соображений галилеевой симметрии - возможно допускает лагранжеву/гамильтонову форму. В частном случае (конкретный пример Padawan) - я это показал (и, кстати, суммарный "импульс" там сохраняется). А вот положительность "масс" - определенно не следует из симметрии (в Вашем первоначальном подходе - тоже, кстати).

А если взять пример двух взаимноускоряющихся раскручивающихся частиц? Такой пример нетрудно построить (не используя, кстати, $v_{12}\times x_{12}$). Не думаю, что уравнения будут иметь лагранжеву/гамильтонову форму, даже допуская отрицательные массы. Так, сейчас подумаю, как уравнения для раскручивающихся частиц записать.

В общем из всего этого я делаю вывод, что наиболее физический подход - принцип наименьшего действия. А если брать за основу гамильтонов формализм, то он эквивалентен принципу стационарного действия, а значит, допускает отрицательную массу.

Лично мне подход Ландау-Лифшица нравится, но не нравится, что все у них нестрого. Типа "как известно, этому свойству удовлетворяет ...(что-то), значит, это оно и есть", а что могут быть какие-то другие варианты - это систематически умалчивается и никак не анализируется. Мол, поверьте на слово.

К тому же теорема Нётер очень уж красивая. А она в гамильтоновом варианте как формулируется?

[myhand]

Padawan в сообщении #304457 писал(а):

А если взять пример двух взаимноускоряющихся раскручивающихся частиц? Такой пример нетрудно построить (не используя, кстати, $v_{12}\times x_{12}$). Не думаю, что уравнения будут иметь лагранжеву/гамильтонову форму, даже допуская отрицательные массы. Так, сейчас подумаю, как уравнения для раскручивающихся частиц записать.

Если построите явный контрпример - будет очень интересно.

Padawan в сообщении #304457 писал(а):

В общем из всего этого я делаю вывод, что наиболее физический подход - принцип наименьшего действия. А если брать за основу гамильтонов формализм, то он эквивалентен принципу стационарного действия, а значит, допускает отрицательную массу.

Ну почему. Действие в форме $S=\int (p dx - H dt)$ также будет локальным минимумом (варьируются $p$ и $x$ независимо, причем $\delta x=0$ на границах интегрирования) только если масса положительна (рассмотрите случай свободной частицы с $H=p^2/(2m)$).

Padawan в сообщении #304457 писал(а):

К тому же теорема Нётер очень уж красивая. А она в гамильтоновом варианте как формулируется?

Преобразования симметрии обеспечивают наличие канонических преобразований для перехода к переменным действие-угол (интегралы типа энергии и импульса системы - соответствующие обобщенные импульсы). В сущности, то же самое, что и в лагранжевом варианте: обеспечивается наличие некоторого набора интегралов движения.

Padawan в сообщении #304457 писал(а):

Лично мне подход Ландау-Лифшица нравится, но не нравится, что все у них нестрого. Типа "как известно, этому свойству удовлетворяет ...(что-то), значит, это оно и есть", а что могут быть какие-то другие варианты - это систематически умалчивается и никак не анализируется. Мол, поверьте на слово.

Не заметил ничего подобного. Там анализируется случай свободных частиц. Вполне строго. А вот взаимодействие - просто вводится "с потолка": $L=\sum_a \frac{m_a v_a^2}{2} - U(x_1,x_2,\dots)$.

[vek88]

Думаю, что в гамильтоновом варианте теорема Нетер даже еще более очевидна. Например, что такое наши генераторы $H, P_\alpha, J_\alpha$. Это ведь и есть интегралы системы дифуров.

Относительно ЛЛ - он мне всегда не нравился именно за постоянное нагромождение "хитростей". Может быть именно поэтому я в свое время (в молодости) пошел по пути представлений групп. Нам идеологию представлений групп на примере группы вращений (спин и все такое) очень хорошо дали на лекциях "Допглавы квантовой механики".

А почему в классике я выбрал представление групп именно скобками Пуассона? Да видимо ничего подходящего кроме них и не знал? Сейчас точно и не впомнить. Но оказывается поступил очень правильно.

А вот что интересно - ведь в квантовой механике проблем, аналогичных тутошним и не возникает? Т.е. из Галилей (Пуанкаре) инвариантности для безспиновой частицы сразу следует уравнение Шредингера (положительная ветвь Клейна_Гордона)? Или я не прав?

[Padawan]

Ну вот уравнения для частиц, которые раскручиваются вокруг "геометрического центра" с постоянным угловым ускорением $\varepsilon>0$

$$ \left\{ \begin{array}{l} \ddot x_1=-\dfrac{\vec x_{12}}{|x_{12}|}\dfrac{|v_{12}|^2}{2|x_{12}|}+\dfrac{\vec v_{12}}{|v_{12}|}\varepsilon\dfrac{|x_{12}|}{2}\\ \ddot x_2=\dfrac{\vec x_{12}}{|x_{12}|}\dfrac{|v_{12}|^2}{2|x_{12}|}-\dfrac{\vec v_{12}}{|v_{12}|}\varepsilon\dfrac{|x_{12}|}{2}\\ \end{array} \right. $$

Будут ли они лагранжевыми\гамильтоновыми - не знаю.

[vek88]

Постойте. Если частицы гамильтоновы, и все Галилей-инвариантно, то никто самораскручиваться или саморазгоняться не может в силу законов сохранения импульса и момента импульса.

Так что Ваш последний пример заведомо не гамильтонов? И, следовательно, не лагранжев?

Объяснение. Взаимодействие дает слагаемое гамильтониана $V$ - скалярная функция от квадрата разности векторов координат частиц, квадрата разности векторов импульсов частиц, скалярного произведения этих двух векторов.

Хотя это объяснение избыточно в силу упомянутых законов сохранения.

[Padawan]

Ну вот первый пример был гамильтоновым, но с отрицательной массой, как показал myhand. Может тут тоже какая-нибудь такая ерунда.

[vek88]

Padawan в сообщении #304613 писал(а):

Ну вот первый пример был гамильтоновым, но с отрицательной массой, как показал myhand. Может тут тоже какая-нибудь такая ерунда.

На случай ненулевой массы теория неприводимых представления алгебры Галилея не дает никаких ограничений - может быть и отрицательной (см. Фушич, Никитин). Я не считаю это чем-то фатальным или неправильным - просто мы не наблюдаем такого в жизни. А с точки зрения СТО - это ведь, кажется, просто отрицательная ветвь Клейна-Гордона? А классика - это нерелятивистский предел. Вот и отрицательная масса.

И еще, никто ведь не исключает возможности частиц со скоростью больше $c$ в СТО, хотя этого никто не наблюдал.

Кстати, есть классы представлений алгебры Галилея с нулевой массой и даже с $m^2<0$.

[myhand]

Так.

А про T-симметрию я и забыл, разбирая вектор сил. А именно из-за этого мне понадобился модуль скалярного произведения, убрать который "посоветовал" Padawan... :)

Так что векторное произведение и относительная скорость - не годятся. Общий вид уравнений движения проще ($f$ и $g$ - скалярные функции):

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot v_1 = x_{12} f(|x_{12}|,|x_{12}\cdot v_{12}|,|v_{12}|)\\ \dot v_2 = x_{12} g(|x_{12}|,|x_{12}\cdot v_{12}|,|v_{12}|)\\ \end{array} \right. $$

Так что контрпример Padawan - не годится.

[Padawan]

myhand
что такое Т-симметрия?

[myhand]

http://en.wikipedia.org/wiki/T-symmetry