Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[Padawan]

Если считать, что масса второй частицы отрицательна, то формально выполнены и второй и третий законы Ньютона и импульс сохраняется - равен 0. Но как-то я не склонен это считать классической механикой.
myhand
Выпишите, пожалуйста, какой этому гамильтониану соответствует лагранжиан? Может тут дело в том что должен именно минимум действия достигаться? Ну да, в ЛЛ именно из этого соображения положительность массы и выводится.

Что касается вычисления для $n=2$. Я пока пришел вот к чему, из инвариантности относительно операторов $T$, $P_\alpha$, $X_\alpha$ следует, что уравнения должны иметь такой вид

$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1''= F_1(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\ y_1'' = F_2(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\ z_1'' = F_3(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\ x_2''= G_1(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\ y_2'' = G_2(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\ z_2'' = G_3(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\ \end{array} \right. $$

Остаются операторы пространственных вращений, вот на них я застрял, т.к. в индексных обозначениях запутался . Буду тогда в развернутом виде делать...

[myhand]

Padawan в сообщении #304084 писал(а):

Выпишите, пожалуйста, какой этому гамильтониану соответствует лагранжиан?

Мог напутать со знаками масс (просто одна положительная должна быть - другая отрицательна). Где-то так: $L={\dot x_1}^2 /2 - {\dot x_2}^2 /2 - (x_1 - x_2)^2 / 2$.

Padawan в сообщении #304084 писал(а):

Может тут дело в том что должен именно минимум действия достигаться? Ну да, в ЛЛ именно из этого соображения положительность массы и выводится.

Да. Там используется именно условия - локальный минимум для действия.

Padawan в сообщении #304084 писал(а):

Остаются операторы пространственных вращений, вот на них я застрял, т.к. в индексных обозначениях запутался . Буду тогда в развернутом виде делать...

Я бы предложил использовать векторные обозначения либо исследовать ситуацию вовсе без вращений (одно пространственно измерение).

[Padawan]

myhand в сообщении #304066 писал(а):

PPS: Вот "наивный" ответ для $n=2$:

$$\ddot x_{1,2} = F_{1,2}(|x_1 - x_2|,|(x_1 - x_2)\cdot (\dot x_1 - \dot x_2)|,|\dot x_1 - \dot x_2|)$$

.

А как, например, задается вектор $F_1$? Он не только от модулей разностей зависеть, но и от их направлений, например сонаправлен с $\dot x_1-\dot x_2$

[myhand]

Padawan в сообщении #304096 писал(а):

А как, например, задается вектор $F_1$? Он не только от модулей разностей зависеть, но и от их направлений, например сонаправлен с $\dot x_1-\dot x_2$

Да, это я не пояснил. Из соображений симметрии - подходящими являются следующие вектора: $x_{12}=x_1 - x_2$ и $v_{12}=\dot x_1 - \dot x_2$. Плюс один аксиальный вектор: $x_{12} \times v_{12}$. Так что подходящим выражением будет:

$$F_1 = x_{12} f_1 + v_{12} g_1 + x_{12} \times v_{12} s_1$$

Где $f_1$ и $g_1$ - скалярные функции (от $|x_{12}|$, $|v_12|$ и $|x_{12}\cdot v_{12}|$). Аналогично - $s_1$ - псевдоскаляр.

[Padawan]

Да, похоже это и есть наиболее общее инвариантное векторное выражение. И $s_1$ тоже функцией может быть от $|x_{12}|$, $|v_{12}|$, $x_{12}\cdot v_{12}$ ( просто скалярное произведение, зачем модуль)?

[myhand]

Padawan в сообщении #304138 писал(а):

И $s_1$ тоже функцией может быть от $|x_{12}|$, $|v_{12}|$, $x_{12}\cdot v_{12}$ ( просто скалярное произведение, зачем модуль)?

Да, совершенно верно.

[vek88]

У меня свое мнение есть, но я с ним не согласен. Шутка.

А предварительный результат у меня совпадает с Вашим. Вот только из чего мы псевдоскаляр построим - векторов всего ведь два?

Плюс из симметрии $1 \leftrightarrow 2$ следует, что $F_1 = -F_2$. Прямо фермионы какие-то.

Но все буду проверять на свежую голову.

[myhand]

vek88 в сообщении #304163 писал(а):

Плюс из симметрии $1 \leftrightarrow 2$ следует, что $F_1 = -F_2$. Прямо фермионы какие-то.

Вообще-то нет, не следует. Для $F_2$ у Вас будут _свои_ скалярные функции $f_2$, $g_2$ и т.д.

Вот что получилось более развернуто:

$$\left\{\begin{array}{l}\dot v_1 = x_{12} f_1 + v_{12} g_1 \\ \dot v_2 = x_{12} f_2 + v_{12} g_2\end{array}\right. $$

Где $f_{1,2}$, $g_{1,2}$ - четыре скалярные функции от $|x_{12}|=|x_1 - x_2|$, $|v_{12}|=|v_1 - v_2|$ и $x_{12} \cdot v_{12}$.

PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

[vek88]

И все-таки. Если частицы одинаковые, то вид уравнений должен сохраняться при перестановке нумерации частиц. Отсюда

$$f_2=-f_1,$$ $$g_2=-g_1.$$

Или я что-то не понимаю?

[myhand]

Да :) Но какие-ж это фермионы? Ну третий закон Ньютона, не более.

[vek88]

Ну спасибо, а то я уж правда решил, что у нас фермионы. Хотя, если честно, мне первый раз в жизни пришлось в разговоре о классической механике аппелировать к тождественности частиц.

А если серьезно, то что ж получается? Похоже, что для $n=2$ мы все получили исходя только из инвариантности + требование тождественности частиц?

Хотя я ж сказал, что буду проверять на свежую голову. А тут вот невтерпеж: нет, нет, мы хотим сегодня, нет, нет, мы хотим сейчас.

[myhand]

vek88 в сообщении #304233 писал(а):

Ну спасибо, а то я уж правда решил, что у нас фермионы. Хотя, если честно, мне первый раз в жизни пришлось в разговоре о классической механике аппелировать к тождественности частиц.

Я Вам значительно раньше предлагал это сделать в треде. Как раз для получения третьего закона Ньютона, после того, как Вы ограничились парным взаимодействием.

vek88 в сообщении #304233 писал(а):

А если серьезно, то что ж получается? Похоже, что для $n=2$ мы все получили исходя только из инвариантности + требование тождественности частиц?

Что в Вашем понимании - "все"? Понятие массы пока не возникло. Не факт, что полученные уравнения можно вывести из принципа наименьшего действия и переписать в лагранжевом/гамильтоновом виде. Даже если учесть дополнительное требование "тождественности" частиц (def = симметрия по отношению к перестановкам).

[vek88]

Раньше получать третий закон Ньютона (и второй тоже) в моем формализме не имело смысла по простой причине - для двухчастичного потенциала, которым я и ограничился, это очевидно (причем, устно).

Что касается массы, у меня она есть - после проверки своих выкладок покажу все с массой.

А остальное посмотрим - после проверки и аккуратного изложения.

[cooler462]

(Оффтоп)

Scholium в сообщении #303954 писал(а):

Скажем, в последнее время, все больше ходит в умах идея о программируемой реальности, матрице реальности, голографичности или виртуальности реальности и т.д. и т.п. Причем не только среди обывателей (фильм «Матрица»), но и среди профессиональных физиков и математиков (Мичио Каку, Роджер Пенроуз и др.). Так вот с этой идеей вполне стыкуется высказанная уже мысль об одновременном исчезновении материальной частицы в одной точке пространства и возникновения ее в другой точке. А что это есть с точки зрения матрицы реальности? Правильно, наш физический мир это типа вселенского экрана монитора, движение на котором создается внешним образом, активизацией («возникновением») одних точек пространства и деактивизацией («исчезновением») других.

видите, как дружно игнорируют подобные взгляды. Никто не взялся прокомметировать такую необычную модель, хотя она весьма перспективна. Например, в рамках рассмотрения этой концепции логично и непринужденно можно объяснить такое явление, как туннельный эффект.

[vek88]

(Оффтоп)

Вскрытие показало, что покойник умер от вскрытия.

Все оказалось значительно хуже - дело в пробелах в моем образовании. Я думал, что скобки Пуассона - это частный случай линейных дифференциальных операторов. Фигушки - это не так.

Пример. Если пользуемся скобками Пуассона, то

$$[X_\alpha, P_\beta]=M\delta_\alpha_\beta.$$

Именно этим соотношением и вводится оператор массы в расширенной алгебре Галилея.

А если я ищу генераторы $X_\alpha, P_\beta$ в виде линейных дифференциальных операторов общего вида, то не могу представить этот коммутатор, а только

$$[X_\alpha, P_\beta] =0. $$

Так что в скобках Пуассона есть что-то такое, из-за чего от них нельзя отказываться. Во всяком случае без них я не могу получить представление расширенной (оператором Казимира $M$) алгебры Галилея.

Кто-нибудь может объяснить the moral of this?