Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел

[ИгорЪ]

Вроде понятно. Всё очень академично.

Time в сообщении #271584 писал(а):

Я еще не встречал полевой их интерпретации, хотя она не только элементарна, она один в один повторяет полевую интерпретацию аналитических функций комплексной переменной

А разве пара волн не есть полевая интерпретация? Всё, что вы далее предлагаете - не знаю написано это или нет, думаю написано, но не столь распространено из-за проблем, которых нет в комплексном случае, всё - это просто метод исследования двумерных векторных полей на псевдоевклиде.
Ну а переход к четырехмерию и замахивание на объяснение квантовой механики - ваши гипотезы, которые многим приходили, но ни во что не реализовывались.

Time в сообщении #271584 писал(а):

А что такое фракталы на языке теории вероятностей? Псевдослучайность.

А что это значит?

Time в сообщении #271584 писал(а):

Как говорится, остается лишь немного подправить базовые принципы КМ, что бы h-аналитические функции оказались бы в их основе.. Чем, собственно, и мотивирована основная идея темы, в которой мы сейчас находимся.

А какую проблему в КМ призваны решить эти функции? Если же из принципа красоты, то комплексные красивей.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #271598 писал(а):

Вроде понятно. Всё очень академично.

Слава богу. Жаль не сказали, что и школьник мог бы написать

ИгорЪ в сообщении #271598 писал(а):

А разве пара волн не есть полевая интерпретация?

Нет, это волновая интерпретация. У которой есть свои преимущества и заслуги, но есть и серьезные недостатки, главный из которых - неполнота. Куда, например, в такой интерпретации всовывать поля связанные с производными от исходной функции?

ИгорЪ в сообщении #271598 писал(а):

Всё, что вы далее предлагаете - не знаю написано это или нет, думаю написано

Нет, только пишется.. Должно (также как и нетривиальные фракталы на двойных числах) появиться в следующем номере нашего журнала, который что-то задерживается и появится, скорее всего, лишь в январе. У кого-то другого что-то подобное, может и есть, но мне это неизвестно. За исключением очень смутных и довольно неопределенных построений двух-трех авторов в связи с некоторыми многомерными коммутативно-ассоциативными гипералгебрами и функциями над ними.

ИгорЪ в сообщении #271598 писал(а):

не столь распространено из-за проблем, которых нет в комплексном случае, всё - это просто метод исследования двумерных векторных полей на псевдоевклиде.

Тут, отчасти, вы правы. Проблемы, действительно есть. В частности, они проявляются в тех же тривиальных гиперболических множествах Жюлиа, о которых мы с вами немного говорили раньше. Но это проблемы из разряда решаемых. Нужно только знать, куда идти и не отвлекаться на заманчивые, кажущиеся более естественными и простыми, квадратичные пути.
А это очень сложно (хотя потом и кажется до безобразия простым), а главное, непривычно и сперва неочевидно. Одна из первых проблем тут - иная топология, или, другими словами, необходимость по другому, чем в комплексном случае сформулировать условия сходимости последовательностей гиперболических чисел, рядов и функций от них. Уверен, что все это принципиально преодолимо.

ИгорЪ в сообщении #271598 писал(а):

Ну а переход к четырехмерию и замахивание на объяснение квантовой механики - ваши гипотезы, которые многим приходили, но ни во что не реализовывались.

Думаю, ключ к позитивным решениям находится именно в двумерных задачах на двойных числах. Причем не в квантовомеханическом их применении, что вы приводили в связи с конформными теориями поля, а в самой обычной СТО, вернее, в ее расширении с трехпараметрической группы движений на бесконечномерную конформную группу. Такое, на сколько мне известно, если и приходило кому в голову (я например подозреваю Лаврентьева с Шабатом), то публиковать в эту сторону они ничего не решились. Если я не прав, попробуйте найти соответствующие ссылки. Мне этого не удалось сделать. Кроме того, у тех, кто пробовал, не было под руками такого банального инструмента как скалярное полипроизведение и связанные с ними финслеровы пространства с n-арными фундаментальными формами, а также не было инвариантов, допалняющие для этих пространств список из интервалов и углов на полиуглы и связанные с ними нелинейные группы симметрий.

ИгорЪ в сообщении #271598 писал(а):

А что это значит?

Попробую объяснить наглядно. Посмотрите на следующий рисунок:
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-25.jpg
Здесь изображено трехмерное сечение четырехмерного фрактала на числах Н_4. На первый взгляд - никакого порядка. Но это все следствие одной простой функции на этих числах и каждый кусок завязан на все остальные, примерно также как в аналитических функциях комплексной переменной. Но при желании, особенно, если не знать, что все здесь подчинено одной единственной закономерности можно попробовать подойти статистически. Кое какие корреляции, несомненно, обнаружатся, но предсказать поведение даже маленького участка в следующий момент времени (фрактал ведь четырехмерный) вам вряд ли удастся. Вот и получится что-то вроде вероятностного описания случайных процессов.

ИгорЪ в сообщении #271598 писал(а):

А какую проблему в КМ призваны решить эти функции? Если же из принципа красоты, то комплексные красивей.

Во-первых, комплексные не позволяют своего расширения на три и четыре измерения в отсутствии делителей нуля.
Во-вторых, функции от двойных чисел ровно ничем не хуже (если не лучше) комплексных, о чем косвенно говорят полученные нами нетривиальные фрактальные гиперболические множества Жюлиа.
В-третьих, ровно ничто не мешает сделать аналитическое расширение двойных чисел с поля вещественных чисел на поле комплексных, тем самым, включив абсолютно все прелести ТФКП в качестве подмножества новой более общей математической теории. И так для любых гиперболических поличисел, когда $H_n(R)$ переходит в $H_n(C)$.
Добавьте сюда бОльшее число классов самых различных непрерывных и нелинейных симметрий, сравните их с единственной (пусть и бесконечной) конформной группой обычных аналитических функций комплексной переменной и все должно стать автоматически ясным, на чьей стороне перевес.

[ИгорЪ]

Time в сообщении #271613 писал(а):

Нет, это волновая интерпретация.

Волна и поле это одно и тоже - функция пространства-времени. Градиент волны-некое векторное поле, всё как обычно. Ну да ладно, я вцелом понял вашу генеральную линиию. Думаю очень бедны эти числа, по сравнению с имеющимися алгебраическими средствами в современной физике. Один вопрос. Новая математика всегда появлялась из неких физических мотиваций. Понадобилась дискретность в КМ - появились матрицы, появилась задача квантовой гравитации - вылезла струна. Вы от какой то задачи пляшете, или вам просто хочется "гнуть свою линию" ?

[Time]

ИгорЪ в сообщении #271631 писал(а):

Думаю очень бедны эти числа, по сравнению с имеющимися алгебраическими средствами в современной физике.

Над вами давлеет логика подхода, который, отчасти, проявился в разрешенности практически всех непрерывных преобразований в общей теории относительности. Казалось бы, богаче просто не может быть.. В данном плане эти "наши" числа существенно беднее. Однако, вы путаете богатство хаоса и богатство порядка. Покажите мне пример таких алгебраических средств, в которых было бы также много аналитических функций (по сути, это следствие конформной группы пространства, с которым связана та или иная алгебра), как в поличислах. А ведь в соответсвующих пространствах часто есть еще и поликонформные преобразования (их инвариантами являются полиуглы, обобщающие полиуглы первого порядка, обычно называемые интервалами, и полиуглы второго порядка, обычно называемые просто углами), которые самым, что ни на есть естественным образом, приводят к расширению h-аналитических функций на обобщенно аналитические. Не высосанные из пальца или взятые неизвестно откуда, а следующие точно из тех же соображений откуда проситекает весь аналоиз на комплексной переменной. Впрочем, не нравится - не обращайте внимания. Используйте себе на здоровье "имеющиеся алгебраические средства современной физики".

ИгорЪ в сообщении #271631 писал(а):

Один вопрос. Новая математика всегда появлялась из неких физических мотиваций. Понадобилась дискретность в КМ - появились матрицы, появилась задача квантовой гравитации - вылезла струна. Вы от какой то задачи пляшете, или вам просто хочется "гнуть свою линию" ?

"Ньютон, основатель первой обширной, работоспособной системы теоретической физики, был еще убежден в том, что основные понятия и законы его системы происходят из опыта. Его слова “hypotheses поп fingo” можно понять в этом смысле.

Действительно, в то время казалось, что понятия пространства и времени не создавали никаких проблем. Понятия массы, инерции и силы и связанные с ними законы казались взятыми непосредственно из опыта. Раз эта база была принята, то и выражение для силы тяготения казалось выведенным из опыта, и было основание ожидать, что то же самое будет и в отношении других сил.

Правда, из ньютоновских формулировок мы видим, что понятие абсолютного пространства, связанное с понятием абсолютного покоя, доставляло ему неприятное чувство; он понимал, что в опыте, по-видимому, нет ничего, что соответствовало бы этому понятию. Он чувствовал также беспокойство в связи с введением дальнодействующих сил. Но огромный практический успех его учения, по-видимому, воспрепятствовал ему, как и физикам XVIII и XIX веков, признать произвольный характер основ его системы.

Напротив, большинство естествоиспытателей тех времен были проникнуты идеей, что фундаментальные понятия и основные законы физики не были в логическом смысле свободными изобретениями человеческого разума и что они могли быть выведены из экспериментов посредством “абстракции”, т. е. логическими средствами. Ясное осознание неправильности этого понимания по существу принесла только общая теория относительности. Эта теория показала, что на фундаменте понятий, сильно отличающемся от ньютонова, можно соответствующий круг опытов объяснить даже более удовлетворительным и совершенным образом, чем это было возможно на ньютоновой основе. Но совершенно не входя в обсуждение степени превосходства той или другой основы, можно сказать, что их умозрительный характер вполне очевиден из того факта, что мы можем указать на две существенно различные основы, которые обе в высокой степени соответствуют опыту. Во всяком случае это доказывает, что всякая попытка логического выведения основных понятий и законов механики из элементарного опыта обречена на провал.

Если, далее, справедливо, что аксиоматическая основа теоретической физики не может быть извлечена из опыта, а должна быть свободно изобретена, то можем ли мы вообще надеяться найти правильный путь? Более того, не существует ли этот правильный путь только в нашем воображении? Можем ли мы вообще быть уверенными, что опыт - надежный руководитель, если существуют такие теории, как классическая механика, которая широко оправдывается опытом, хотя и не проникает в сущность вещей? Я отвечаю без колебаний, что, по моему мнению, есть правильный путь, и мы в состоянии найти его. Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в. коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность."

А.Эйнштейн "О методе теоретической физики"

[ИгорЪ]

Понятно, путь "изнутри", а внутренний голос нередко врёт. Да вы ярый идеалист! Как вы научный коммунизм сдавали с такими воззрениями? Или фигу в кармане держали? Ну а если серьёзно, даже у струнных фанатов есть железный экспериментальный факт, который объяснён струной: все частицы ложатся на прямые траектории Редже на плоскости квадрат массы-спин. Ну а совсем недавно вообще научились с нерешаемыми в КХД задачами со стороны конформных теорий расправляться. Интересно, что 20 лет к этому настойчиво пробивались.

[Time]

"Путем изнутри" мой выбор в пользу чисел $H_2-H_4$ был только первые лет двадцать, вплоть до 2000 года, пока не появились первые свидетельства того, что в многомерных случаях, с точки зрения наблюдателя в соответствующем пространстве-времени, у которого собственное направление времени выделено, оставшиеся $n-1$ измерений образуют с точностью до бесконечно малых евклидово пространство. До этого я сомневался, после - перестал. Подобных случайностей не бывает (ну, или на столько редко, что этим можно смело пренебречь). Сами подумайте, линейное финслерово пространство, которое в случае 3-х и более измерений не имеет практически ничего общего ни с псевдоеквклидом ни с евклидом, вдруг, проявляет именно такие "какие нужно" свойства, и первых, и вторых. Именно это было основным чудом, после которого многочисленные новые чудеса меня уже почти не удивляли. В их череде, возможный оборот, что и к квантовой механике Б-М имеет самое непосредственное отношение, скорее всего, также не вызовет особого удивления. Хотя, конечно, до этого пока как до неба..
Я ни сколько не возражаю против необходимости опираться на экспериментальные данные и опыт, просто, с подавляющим большинством современных физических теорий мы пока в принципиально разных весовых категориях. Нам пока вполне хватает забот, что бы найти способы получения тех же самых результатов, что давно получены и являются экспериментально подтвержденными. Пока тут работа не кончится, думать о специфике, конечно, можно, но отдавая отчет, что на сегодня не это самое главное.. Например, было бы замечательно научиться простым способом совершать самые обычные евклидовы повороты, используя не группу изометрических преобразований $SO(3)$, которой в движениях $H_4$ нет как подгруппы, а отталкиваясь от поликонформных групп симметрий, где та как подгруппа содержится. Мы знаем, что принципиально это возможно, но как конкретно выглядит пока понимаем достаточно смутно. А вы говорите, траектории Редже...

[ИгорЪ]

Time в сообщении #271967 писал(а):

свидетельства того, что в многомерных случаях, с точки зрения наблюдателя в соответствующем пространстве-времени, у которого собственное направление времени выделено, оставшиеся $n-1$ измерений образуют с точностью до бесконечно малых евклидово пространство. До этого я сомневался, после - перестал

не могу никак комментировать пока не увижу въявь что имеется ввиду, все многообразия локально евклидовы. Ссылка есть?

[Time]

ИгорЪ в сообщении #271976 писал(а):

все многообразия локально евклидовы.

Вот одно из отрицательных последствий уверенности в исключительности квадратичных представлений о геометрии. Причем не только римановых или псевдоримановых. В общепринятой на сегодня финслеровой геометрии происходит ровно тоже самое. Тот самый двухиндексный финслеров метрический тензор зависящий кроме точки еще и от направления приводит именно к тому, что вы сказали. Что все финслеровы пространства локально евклидовы или псевдоевклидовы. Но те самые аксиомы с полилинейной симметрической формой от нескольких векторов вместо обычного скалярного произведения, которые вы назвали настолько естественными и простыми, что и первокурснику не составили бы труда быть изложенными, приводят к совсем иному выводу. Из этих аксиом возникают многообразия с неевлидовыми и непсевдоевклидовыми метриками в касательном пространстве. Посмотрите внимательно на тоже пространство $H_4$. Оно такое же плоскосе и линейное, как и четырехмерный Евклид. И само себе касательно в каждой точке. То есть локальная метрика совпадает с глобальной. Точно также как в плоском Евклиде или Минковском. И вот оказывается в этом плоском финслеровом пространстве самым естественным образом с точки зрения находящегося в нем наблюдателя, пользующимся радарным методом для определения трехмерных расстояний, возникающая в представлениях того трехмерная геометрия при малых скоростях радарных сигналов оказывается евклидовой с точностью до бесконечно малых величин. Не заметно на первый взгляд, ни анизотропии (которая вроде бы как просто обязана быть), ни других парадоксов связанных с финслеровостью четырехмерной метрики. Один из них заключается в том, что трехмерные расстояния, как и трехмерные скорости становятся неаддитивными величинами. То есть, сумма трехмерных расстояний по прямой от А до В и от В до С не равна в общем случае расстоянию от А до С. Подчеркну, что это для прямой! При этом разница не велика, если все расстояния малы по сравнению с характерным масштабом системы в которой находится наблюдатель. Последний можно ассоциировать с трехмерным размером видимой ему вселенной. Последняя величина, в определенном смысле, тут играет почти такую же роль как и предельная величина скорости света для скоростей псевдоевклидовых пространств. Этот вывод кажется нелепым и надуманным, но именно он следует из последовательных построений в финслеровом $H_4$. Самое забавное, что некоторые реальные астофизические наблюдения вполне согласуются с данной нелепицей, но об этом лучше как ни будь потом..

ИгорЪ в сообщении #271976 писал(а):

Ссылка есть?

Есть:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /03-01.pdf
только попробуйте ее не по диагонали пробежать, а желательно с последующими собственноручными аналогичными построениями. Тогда, о чем я выше сказал, станет восприниматься совсем по другому..

[ИгорЪ]

как 7 и 9 равны при малых скоростях я понять не способен ??

-- Ср дек 16, 2009 15:46:04 --

и потом, вы же сами отрицали возможности предельных переходов в таких задачах?

[Time]

ИгорЪ в сообщении #272002 писал(а):

как 7 и 9 равны при малых скоростях я понять не способен ??

Просто читайте внимательнее. Я написал о том, что если в пространстве-времени $H_4$ относительно наблюдателя А, наблюдатели В и С находятся на одной прямой и покоятся (иными словами, мировые мировые линии всех трех - параллельны друг другу и лежат в одной плоскости), кроме того известно, что трехмерное расстояние от А до В - один метр и расстояние от B до C также один метр, то расстояние от А до С не два метра, а немного меньше. Только это отличие от двух метров на столько мало, что более менее существенная разница появляются лишь на космологических расстояниях. Иными словами, законы сложения трехмерных расстояний в Б-М примерно такие же неаддитивные, как законы сложения относительных скоростей в пространстве Минковского, только роль скорости света тут переходит к другому предельному параметру.
Вообще-то, тут и понимать нечего, все элементарно.. Та же относительность, что и в СТО, но только несколько более широкого уровня.. Не инвариантны тут не только трехмерные скорости, но и трехмерные расстояния. Место инвариантов - в четырехмерии. Вот четырехмерные интервалы, те да, остаются инвариантными..

[ИгорЪ]

нет, ещё ... не понятно

-- Ср дек 16, 2009 16:01:29 --

и скорость у вас странная, отношение координат это не скорость...

[Time]

Вы просили ссылку. Я ее дал. Прочитайте внимательно. Если понятнее не станет, готов объяснить на пальцах..

[ИгорЪ]

чем и занимаюсь, но увы...

[Time]

Тогда попробуйте сформулировать вопросы или утверждения, с чем именно вы не согласны и попробуйте дать обоснование этому..
Естественно, с точки зрения финслеровй геометрии, а не пространства Минковского..

[ИгорЪ]

При вашем предельном(!) переходе 7 и 9 банально сводятся к $x_0$, но это не есть нерелятивистский предел, а просто случай, когда все координаты кроме нулевой очень малы.