Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел

[Someone]

Ну, рассмотрим два световых конуса с вершинами в точках $(t_0,0,0,0)$ и $(-t_0,0,0,0)$, где $t_0\neq 0$. Они пересекаются по двумерной сфере $t=0,x^2+y^2+z^2=c^2t_0^2$, то есть, по ограниченному множеству. Тогда "шары", задаваемые неравенствами $|c^2(t-t_0)^2-x^2-y^2-z^2|<\varepsilon^2$ и $|c^2(t+t_0)^2-x^2-y^2-z^2|<\varepsilon^2$ при $\varepsilon>0$, дают ограниченное множество. Для доказательства распишем неравенства так:

\begin{gather*}-\varepsilon^2<c^2(t+t_0)^2-x^2-y^2-z^2<\varepsilon^2\text{,}\\ \varepsilon^2>c^2(t-t_0)^2-x^2-y^2-z^2>-\varepsilon^2\text{.}\end{gather*}

Вычитая из первого неравенства второе, получим после очевидных упрощений, что

$$c|t|<\frac{\varepsilon^2}{2c|t_0|}\text{.}\eqno{(1)}$$

Переписывая два первоначальных неравенства в виде

\begin{gather*}-\varepsilon^2<c^2(t+t_0)^2-x^2-y^2-z^2<\varepsilon^2\text{,}\\ -\varepsilon^2<c^2(t-t_0)^2-x^2-y^2-z^2<\varepsilon^2\end{gather*}

и складывая их, получим неравенство

$$-2\varepsilon^2<2c^2(t^2+t_0^2)-2x^2-2y^2-2z^2<2\varepsilon^2\text{,}$$

из левой половины которого получаем

$$x^2+y^2+z^2<c^2(t^2+t_0^2)+\varepsilon^2<\frac{\varepsilon^4}{4c^2t_0^2}+c^2t_0^2+\varepsilon^2\text{.}\eqno{(2)}$$

Из неравенств (1) и (2) следует, что пересечение двух наших "шаров" является ограниченным множеством. Открытость следует просто из непрерывности функции $f_{\pm}(t,x,y,z)=c^2(t\pm t_0)^2-x^2-y^2-z^2$. Понятно, что такое множество можгл получить любого размера и так, чтобы оно содержало любую наперёд заданную точку пространства $\mathbb R^4$. Взяв совокупность таких множеств в качестве базы топологии, получим ту же топологию, которая определяется стандартной евклидовой метрикой в $\mathbb R^4$.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #269801 писал(а):

Если в матрице двумерной группы Лоренца устремить скорость света в бесконечность, получится матрица двумерной группы Галилея

Могу лишь повторить: хотите считать, что "доказали" наличие предельного перехода между группами симметрий двух разных пространств - считайте. Я же останусь при своем мнении, что подобное "доказательство" не более, чем бессмысленный фокус.

ИгорЪ в сообщении #269801 писал(а):

А вы полагаете что неизоморфные объекты не могут быть связаны предельным переходом? Выше пример.

Связать можно что угодно с чем угодно. Только непрерывная связь всегда будет отличаться от дискретной. В вашем примере преобразования Лоренца всегда остаются сами собой при любых конечных значениях $c$ и мгновенно превращаются в преобразования Галилея при переходе к бесконечному ее значению. Но совсем не потому, что при этой величине скорости света пространство Минковского и его преобразования плавно перешли в пространство Галилея и его преобразования, а лишь потому, что одно разом исчезло и появилось второе. В добавок ко всему, переход к такому значению $c$ совершенно нефизичен.

Предлагаю тему "перехода" от Минковского к Галилею закрыть, ввиду очевидной неготовности сторон менять свою позицию.

-- Пт дек 11, 2009 09:45:48 --

Someone в сообщении #270047 писал(а):

Видите ли, в такой постановке сам вопрос о предельном переходе является бессмысленным. Невозможно говорить о предельном переходе одного, фиксированного объекта в другой, не равный ему объект. Нужно, чтобы было семейство объектов. И чтобы на этом семействе было определено понятие предела.

Собственно, именно это я и утверждал. Мы (во всяком случае, я) рассматриваем всего лишь два объекта (либо два пространства, либо две группы их движений). От конкретного значения величины скорости света, как известно, пространство Минковского не меняет своей геометрии. Поэтому $c$ и не может быть параметром для его перехода в какое то другое пространство. Вернее, рассматривать $c$ как параметр мы имеем полное право, но от его плавного изменения метрика Минковского никак не зависит. Именно это, а не что-то другое я и пытаюсь здесь говорить вот уже на протяжении полутора десятков постов.

Вы же с Игоръ'ем, похоже, имеете ввиду совершенно иное, а именно, зависимости координат между собой при преобразованиях из групп симметрий первого и второго пространств. Такие зависимости при изменении величины $c$ (равно как и $v$) действительно имеют место. И правильно было бы говорить о предельных переходах в величинах преобразованний координат в группах (разных!) симметрий двух пространств (также разных!) при стремлении либо $c$ к бесконечности, либо $v$ к нулю. Такой предельный переход я понимаю и принимаю, тогда как между группами движений двух принципиально различных геометрий, равно как и между ними самими, никакого предельного перехода увидеть не могу.

Someone в сообщении #270047 писал(а):

Нехорошо у Вас про метрику Галилея сказано. Параметра в ней не должно быть, поскольку в классической механике его нет.

В данном случае это и не параметр вовсе, а всего лишь размерный множитель, так как интервал исторически принято измерять в метрах, а время - в секундах.

[ИгорЪ]

Time в сообщении #270124 писал(а):

В добавок ко всему, переход к такому значению $c$ совершенно нефизичен.

Ага, только весь мир, уже 100 лет считает это нерелятивистским пределом, а вы упёрлись, приводя в ответ на прямое доказательство совершенно неопределёные слова про непрерывность, дискретность, "мгновенные превращения" без четких математических утверждений. Это не язык математики. Не согласны - опровергайте определениями и формулами, что бы не было места белетристике.
Кстати обратный процесс перехода от галилея к минковскому, а в вашей науке от минковского к бервальду-моору, также существует в математике и называется деформацией. Но для вас он, видимо, табу. Ладно, передумаете - приходите.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #270133 писал(а):

Ага, только весь мир, уже 100 лет считает это нерелятивистским пределом, а вы упёрлись, приводя в ответ на прямое доказательство совершенно неопределёные слова про непрерывность, дискретность, "мгновенные превращения" без четких математических утверждений. Это не язык математики.

Могу лишь согласиться с тем, что не являюсь математиком (равно как и физиком) и потому не могу изъясняться на ее родном языке. Однако ж мне данное обстоятельство совсем не мешает видеть пробелы (или проколы), как у математике, так и у физиков. В частности, отсутствие четких математических формулировок ни сколько не помешало мне увидеть возможность расширения аксиом скалярного произведения на скалярное полипроизведение для целого класса линейных финслеровых пространств с n-арными метрическими формами (вы, кстати, так и не привели ни одного примера использования данной простой конструкции математиками или физиками до меня). Также мне без всякого умения писать формулы было ясно, как примерно должны выглядеть гиперболические аналоги множеств Жулиа на псевдоевклидовой плоскости, в отличие от тех квадратов и прямоугольников, что профессионалы получали на протяжении ни одного десятка лет. Тоже самое и с физической интерпретацией бесконечномерной конформной группы двумерного пространства-времени в рамках нелинейного расширения метрически выделенных преобразований двумерной СТО. Эти все вещи также почти сто лет практически всеми считались незыблемыми. Так что, идти наперекор "всем" мне не привыкать

ИгорЪ в сообщении #270133 писал(а):

Не согласны - опровергайте определениями и формулами, что бы не было места белетристике.

Я обычно так и поступаю, только не сам (поскольку языков не знаю), а приглашая для строгих выкладок профессионалов, которые не у виска крутят или бредятиной обзывают, а согласны пораскинуть мозгами (если те, естественно, имеются).

ИгорЪ в сообщении #270133 писал(а):

Кстати обратный процесс перехода от галилея к минковскому, а в вашей науке от минковского к бервальду-моору, также существует в математике и называется деформацией.

То, что переходить от одной метрики к другой можно самыми различными способами (возможно, даже и непрерывными) - мне достаточно хорошо известно. Но также понятно, что вариации скорости света для таких переходов не катят. Впрочем, мы вроде договорились эту частную тему дальше не мусолить.

ИгорЪ в сообщении #270133 писал(а):

Ладно, передумаете - приходите.

Я разве грозился уйти? Вы снова все перепутали. Лишь предложил завязать с обсуждением предльных переходов от М к Г.

[ИгорЪ]

Time в сообщении #270189 писал(а):

Тоже самое и с физической интерпретацией бесконечномерной конформной группы двумерного пространства-времени в рамках нелинейного расширения метрически выделенных преобразований двумерной СТО. Эти все вещи также почти сто лет практически всеми считались незыблемыми. Так что, идти наперекор "всем" мне не привыкать

Я давал ссылки, всё это давно известно и применяемо.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #270203 писал(а):

Я давал ссылки, всё это давно известно и применяемо.

Вы снова все переиначили. Вы давали ссылки на использование конформной группы двумерного гиперболического пространства в квантовой теории поля, а я в своем предыдущем посте специально подчеркнул применение этой группы применительно к специальной теории относительности в случае двух изхмерений, вернее в плане расширения той с линейных преобразований на выделенные нелинейные. Ссылки на такие применения конформной группы двумерия вы приводили?

[ИгорЪ]

Господи вы как маленький. Конечно давал. Вы видимо ткнулись. уперлись и решили что это не то. Теория струн, частный случай конф. теории поля, где главной симметрией являются те самые бесконечные двумерные нелинейный преобразования двумерного пространства Минковского.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #270319 писал(а):

Теория струн, частный случай конф. теории поля, где главной симметрией являются те самые бесконечные двумерные нелинейный преобразования двумерного пространства Минковского.

Квантовая механика, вместе с теорией струн, М-теорией, конформной теорией поля и т.д. это одно, а СТО и ОТО - совсем другое. Я согласен с тем, что конформная группа двумерия используется в первой области, но еще никогда не видел, что бы эта бесконечномерная конформная группа применялась к двумерной СТО. Последняя оперирует трехпараметрической группой изометрических преобразований, которым соответствуют переходы от одной инерциальной системы отсчета двумерия к другой. Хотите сказать, что знаете работы, в которых группа конформных преобразований интерпретируется как переходы между неинерциальными системами отсчета в двумерном плоском пространстве-времени? Пожалуйста, приведите хоть одну ссылку.. Может я, действительно что-то проглядел?

[ИгорЪ]

Ссылки те же. Надо вчитаться. Струна - двумерна. И СТО и ОТО, которые вы знаете - вторичные, "внутренние образования, в этой теории, и в этом смысле размерность 4 - давно потеряла статус.

[Time]

Вы, похоже, совсем не отличаете СТО от квантовой механики. Первая имеет смысл и без второй. Я, все же, прошу конкретно указать работу и страницу на ней, в которой конформные преобразования двумерной плоскости рассматриваются как нелинейные расширения группы изометрических преобразований и интерпретируются как переходы между неинерциальными системами отсчета. На струне разве рассматриваются наблюдатели и их мировые линии? А я говорю именно о них..

[Утундрий]

Someone
Что если в Вашем определении "шара" убрать модуль?

[Someone]

А зачем? Получится плохая топология. Не многообразие. И интервал в этой топологии не будет непрерывной функцией.

[ИгорЪ]

Time в сообщении #270375 писал(а):

Вы, похоже, совсем не отличаете СТО от квантовой механики.

Я что то говорил про кв.мех? http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/9612/9612254v3.pdf стр 6-7
Утундрий
Рад слышать! Вы из тундры вернулись или с заработков? Про массивные калибровочные поля всё забыли? А то здесь и поговорить было не с кем. Вот без топологов совсем кисло бы было!

[bayak]

Цитата:

Я что то говорил про кв.мех? http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/9612/9612254v3.pdf стр 6-7

То есть Вы хотите сказать, что струна на пространственно-временной трубе это не квантово-механиеческий объект?

[Time]

ИгорЪ в сообщении #270440 писал(а):

Я что то говорил про кв.мех? http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/9612/9612254v3.pdf стр 6-7

Вы, похоже, просто не различаете квантовомеханические объекты и их описания от макрообъектов и их описания. Такое ощущение, что для вас объединение КМ и ОТО уже построено и отличать одно от другого нет нужды.
Я достаточно внимательно познакомился с указанными страницами вашей ссылки, а заодно, на всякий случай, еще с некоторыми. К сожалению, ни слова не нашел про СТО в двумерном пространстве-времени и применении к ее расширению конформных симметрий псевдоевклидовой плоскости. Есть только слова о самой конформной группе двумерия для построения основ аппарата струн, являющихся типичными квантовомеханическими объектами. Ни мировые линии, ни системы отсчета, ни переходы между ними, ни конформные расширения двумерной СТО никак не рассматриваются. Я же говорил и просил привести вас ссылки именно в направлении последнего.

-- Сб дек 12, 2009 04:40:39 --

Someone в сообщении #270434 писал(а):

А зачем? Получится плохая топология. Не многообразие. И интервал в этой топологии не будет непрерывной функцией.

Беда в том, что уже начиная с двумерного псевдоевклидова пространства-времени именно "плохая" топология и с ней до сих пор не научились толком работать. Косвенным отражением этого печального факта является отсутствие по аналогии с ТФКП теории функций двойной переменной (ТФДП). Один из основных "затыков" при попытках построения такой теории происходит на проблеме невозможности буквального перенесения на плоскость двойной переменной (псевдоевклидову плоскость) понятия предела последовательности двойных чисел и соответствующих им точек плоскости. Впрочем, это совсем не означает, что выхода нет, просто его искать надо, а не сворачивать при первых же неудачах на знакомую тропинку связанную с неотрицательными метрическими функциями..