Великая теорема Ферма. Классическое доказательство

[victor_sorokin]

victor_sorokin в сообщении #249068 писал(а):

Пусть $c=c’2^k$. Тогда $a+b=2^{kn}q$, где $q$ нечетно. И теперь, вынеся в левой части $a+b-c=u2^k$ за скобки число $2^k$, мы находим, что в скобках остается нечетное число, поскольку после деления числа $a+b$ на $2^k$ оно все еще остается четным! Таким образом, сумма оснований, которые должны породить четный (и равный нулю) второй сомножитель в числе $a^n+b^n-c^n$, есть НЕЧЕТНА. Однако КАК бы основания с их НЕЧЕТНОЙ суммой не возводить в нечетную степень, они дать четный результат НЕ МОГУТ! При этом переформирование нечетной суммы (даже если число $u$ рассыпать НА ЕДИНИЦЫ!!!) и прибавление к ней ЛЮБОГО четного числа (кстати, кратного $2^{kn-k}$) преодолеть это препятствие помочь не могут!

Невозможность равенства нулю второго сомножителя в числе $a^n+b^n-c^n$ следует и из того, что после деления числа $a+b$ на $2^k$ остаток все еще остается ЧЕТНЫМ, но именно он должен произвести НЕЧЕТНЫЙ второй сомножитель!

shwedka в сообщении #249316 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #249068 писал(а):

Тогда $a+b=2^{kn}q$

Доказать придется!!

Я поверю в это, если $k=0$, но как раз здесь Ваше рассуждение разваливется, по доброй традиции. Делить на единичку придется.

В числе $a^n+b^n=(a+b)R$, которое делится на $2^{kn}$, число $R$ нечетно. И т.д.
P.S. А верить мне вовсе не нужно - я не Бог. Да и к верующим я отношусь прохладно...

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #249371 писал(а):

В числе $a^n+b^n=(a+b)R$, которое делится на $2^{kn}$, число $R$ нечетно. И т.д.

вот и доказали! И не так это страшно.
Осталось рассмотреть самый интересный случай $k=0$.

victor_sorokin в сообщении #249068 писал(а):

Таким образом, сумма оснований, которые должны породить четный (и равный нулю) второй сомножитель в числе $a^n+b^n-c^n$, есть НЕЧЕТНА.

Я так хорошо понимаю Ваше поэтическое возбуждение!
Но все же, попробуйте расшифровать таинственные слова о сумме оснований. Что это за основания?? Перейдите к прозе, пожалуйста и напишите их формулами. Может быть, сами лучше поймете?

[victor_sorokin]

Та же мысль, но несколько иначе.

Пусть
1°) $a^n+b^n-c^n=0$, $a^n+b^n=2^{kn}R$,
2°) $a+b-c=u2^k$, $k>0$, и тогда
3°) $c=c'2^k$,
4°) $a+b=c''2^{kn}$,
5°) $a+b=c'''2^k$ (здесь $c'''$ четно!),
где $a, b, u, c', c'', R$ нечетны,

Тройка чисел $a, b, c$ порождает – неважно, каким образом! – тройку чисел $a^n, b^n, c^n$, удовлетворяющих равенству 1°. После вынесения за скобки числа $2^{kn}$ в левой части равенства 1° в скобках остаются два нечетных числа $R$ и $c'^n$.

А теперь в левой части равенства 2° ($a+b-c=u2^k$) вынесем за скобки число $2^k$, в результате чего в скобках в сумме остается целое и нечетное число $u=\frac{a+b}{2^k}-c'=c''-c'$, где $a+b=c'2^{kn-k}$.

И вот что мы имеем.
При преобразовании чисел $a, b, c$ в числа $a^n, b^n, c^n$ множитель $2^k$ при числе $u$ порождает множитель $2^{kn}$ при числе $R-c'^n$ в равенстве 1° ($a^n+b^n-c^n=0$).

А вот ЧЕТНОЕ слагаемое $\frac{a+b}{2^k}=c'''$ числа $u$ порождает НЕЧЕТНОЕ слагаемое $R$ в равенстве $2^{kn}(R-c'^n)=0$.
При этом элементарные арифметические операции при преобразовании четного числа в четное состоят только из операций сложения, умножения (тоже сложения), возведения в степень и перегруппировки слагаемых БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ четности текущего результата при КАЖДОЙ операции (важно, что без добавления ИЗВНЕ в число $u$ каких бы то ни было нечетных чисел!). А при этих условиях преобразовать ЧЕТНУЮ (в сумме) основу (исходное число) в НЕЧЕТНЫЙ результат, очевидно, невозможно. (Полагаю, доказывать элементарную очевидность этого утверждения нет никакого смысла.)

Таким образом, преобразовать число $u2^k$ в левую часть равенства Ферма (1°), равную нулю, невозможно.

P.S. Следующее обоснование этого же вывода будет представлено уже с помощью чистого расчета чисел.

====================

shwedka в сообщении #249376 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #249371 писал(а):

В числе $a^n+b^n=(a+b)R$, которое делится на $2^{kn}$, число $R$ нечетно. И т.д.

1) вот и доказали! И не так это страшно.
2) Осталось рассмотреть самый интересный случай $k=0$.

victor_sorokin в сообщении #249068 писал(а):

Таким образом, сумма оснований, которые должны породить четный (и равный нулю) второй сомножитель в числе $a^n+b^n-c^n$, есть НЕЧЕТНА.

3) Я так хорошо понимаю Ваше поэтическое возбуждение!
4) Но все же, попробуйте расшифровать таинственные слова о сумме оснований.
5) Что это за основания??
6) Перейдите к прозе, пожалуйста и напишите их формулами.
7) Может быть, сами лучше поймете?

1) Какой менторский тон!

2) Действительно, «самый интересный случай»! Доказательство специально для Вас: сумма двух четных или нечетных чисел – например, $a^n$ и $b^n$ не может быть равна нечетному числу (например, $c^n$)!

3) Весьма сомнительно: феномен поэтичности агрессивному мировоззрению для понимания недоступен.

4) $a+b-c$ и $a'+b'-c'$.

5) $a, b, c$ и $a', b', c'$.

6) См. п.5.

7) Вряд ли – лучшему пониманию благоприятствует дружелюбное и исследовательское общение.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #249615 писал(а):

3°) $c=c'2^k$,

Докажите!

victor_sorokin в сообщении #249615 писал(а):

Следующее обоснование этого же вывода будет представлено уже с помощью чистого расчета чисел.

Уберите слово 'следующее'. Пока что обоснования нет. Уже не перечесть недоказанных утверждений.

victor_sorokin в сообщении #249615 писал(а):

2) Действительно, «самый интересный случай»! Доказательство специально для Вас: сумма двух четных или нечетных чисел – например, $a^n$ и $b^n$ не может быть равна нечетному числу (например, $c^n$)!

А Вам не приходило в голову, что, возможно, только одно из них четное?

[victor_sorokin]

shwedka в сообщении #249627 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #249615 писал(а):

3°) $c=c'2^k$,

1) Докажите!

victor_sorokin в сообщении #249615 писал(а):

Следующее обоснование этого же вывода будет представлено уже с помощью чистого расчета чисел.

2) Уберите слово 'следующее'. Пока что обоснования нет. Уже не перечесть недоказанных утверждений.

victor_sorokin в сообщении #249615 писал(а):

2) Действительно, «самый интересный случай»! Доказательство специально для Вас: сумма двух четных или нечетных чисел – например, $a^n$ и $b^n$ не может быть равна нечетному числу (например, $c^n$)!

3) А Вам не приходило в голову, что, возможно, только одно из них четное?

1) Число $c$ четное ПО ДОПУЩЕНИЮ. Не устраивает - возьмите другое из трех чисел.
2) "Докажите!" Однако это не обязательно: верить или не верить - Ваше полное право.
3) А Вам не приходило в голову, что в этом случае два других числа нечетны и их сумма четна? Следовательно, сумма всех трех чисел делится на 2...

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #249634 писал(а):

Число $c$ четное ПО ДОПУЩЕНИЮ. Не устраивает - возьмите другое из трех чисел.

А почему оно делится на $2^k$?

victor_sorokin в сообщении #249634 писал(а):

верить или не верить - Ваше полное право.

А Вы злоупотребляете правом высказываться, 500 раз подряд заявляя, что доказали ВТФ, в то время, как доказательство и близко не лежало.

victor_sorokin в сообщении #249634 писал(а):

"Докажите!" Однако это не обязательно:

Лукавите, коллега!! Отчего же Вы тогда который год притворяетесь, что доказали? ведь это не обязательно!

victor_sorokin в сообщении #249634 писал(а):

в этом случае два других числа нечетны и их сумма четна? Следовательно, сумма всех трех чисел делится на 2...

Редко, но иногда у Вас встречаются правильные утверждения.



Но при всем Вашем аккуратизме Вы заиграли темочку:

shwedka в сообщении #249085 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #247941 писал(а):
Тайный механизм нужет тому, кто хочет стать большим математиком.

Я написала:
shwedka в сообщении #247989 писал(а):
А Вы-то откуда такое знаете? Вам это помогло?


Готова принести всевозможные прилюдные извинения, если Вы продемонстрируете, что 'тайное знание' Вам позволило стать большим математиком.

[victor_sorokin]

shwedka в сообщении #249637 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #249634 писал(а):

Число $c$ четное ПО ДОПУЩЕНИЮ. Не устраивает - возьмите другое из трех чисел.

1) А почему оно делится на $2^k$?

victor_sorokin в сообщении #249634 писал(а):

верить или не верить - Ваше полное право.

2) А Вы злоупотребляете правом высказываться, 500 раз подряд заявляя, что доказали ВТФ, в то время, как доказательство и близко не лежало.

victor_sorokin в сообщении #249634 писал(а):

"Докажите!" Однако это не обязательно:

Лукавите, коллега!! 3) Отчего же Вы тогда который год притворяетесь, что доказали? ведь это не обязательно!

victor_sorokin в сообщении #249634 писал(а):

в этом случае два других числа нечетны и их сумма четна? Следовательно, сумма всех трех чисел делится на 2...

4) Редко, но иногда у Вас встречаются правильные утверждения.

Но при всем Вашем аккуратизме Вы заиграли темочку:

shwedka в сообщении #249085 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #247941 писал(а):
Тайный механизм нужет тому, кто хочет стать большим математиком.

Я написала:
shwedka в сообщении #247989 писал(а):
5) А Вы-то откуда такое знаете? Вам это помогло?

6) Готова принести всевозможные прилюдные извинения, если Вы продемонстрируете, что 'тайное знание' Вам позволило стать большим математиком.

1) Потому что оно четное.
2) А Ваши доказательства лежат близко?
3) А Вы ко мне в душу залезали?
4) Меня это мало волнует.
5) Это моя основная профессия.
6) Я в этом не нуждаюсь.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #249653 писал(а):

1) Потому что оно четное.

Неправда!! А если $k=3$, то почему $c$ делится на 8?

victor_sorokin в сообщении #249653 писал(а):

2) А Ваши доказательства лежат близко?

Мои-то да. У меня хватает солидных публикаций.

Цитата:

3) Отчего же Вы тогда который год притворяетесь, что доказали? ведь это не обязательно!

victor_sorokin в сообщении #249653 писал(а):

3) А Вы ко мне в душу залезали?

нет нужды. И так все видно

[victor_sorokin]

shwedka в сообщении #249656 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #249653 писал(а):

1) Потому что оно четное.

Неправда!! А если $k=3$, то почему $c$ делится на 8?

Потому что $a+b$ делится на $2^{3n}$. А далее см. число $u$.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #249695 писал(а):

Потому что $a+b$ делится на $2^{3n}$. А далее см. число $u$.

Вы перешли на стиль яркина. Поподробнее, пожалуйста. Почему $a+b$ делится на $2^{3n}$?

[victor_sorokin]

shwedka в сообщении #249701 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #249695 писал(а):

Потому что $a+b$ делится на $2^{3n}$. А далее см. число $u$.

1) Вы перешли на стиль яркина.
2) Поподробнее, пожалуйста. Почему $a+b$ делится на $2^{3n}$?

1) Интересный стиль.
2) Потому что число $c^n [=(a+b)R]$, где $R]$ нечетно, делится на $2^{3n}$.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #249774 писал(а):

нечетно, делится на $2^{3n}$.

И, снова, почему?
Напоминаю, что Вы предположили, что

Цитата:

2°) $a+b-c=u2^3$

и обещали вывести, что

Цитата:

3°) $c=c'2^3$,

А теперь Вы втихаря этим пользуетесь.
Давайте, для чистоты эксперимента, докажите Ваше утверждение для $k=10$
То есть из того, что $a+b-c$ делится на $2^{10}=1024$ Вы выведiте, что $c=c'2^{10}$. В соответствии с правилами, Вы это сделаете для степени $n=3$.

[anwior]

age в сообщении #238002 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #237706 писал(а):

Этих доказательств как-будто восемь. Я доходил до всего сам. И моё (разумеется, "велосипед") было основано на биноме Ньютона. Оно весьма примитивно.
Я мало встречал красивых доказательств...

Ну почему же? Ваше доказательство довольно неплохо. Но я позволю себе привести доказательство самого Ферма, и вы оцените, какое красивее.
Итак!
Пусть имеется некоторое число $n$ - простое, и число $a$, взаимнопростое с $n$. Докажем, что $a^{n-1}-1\div n$.
Пусть существует такое $a$, взаимно простое с $n$, что $a^{n-1}-1$ не делится на $n$.
Умножим $a^{n-1}-1$ на $a$. Получим $a^n-a$.
Сделаем замену переменной $a=b+1$. Тогда:
$a^n-a=(b+1)^n-(b+1)=b^n+Pn+1-b-1=b^n+Pn-b$ не делится на $n$. Или
$b^n-b$ не делится на $n$.
Мы получили число, которое меньше заданного и также не делится на $n$. Но т.к. бесконечного количества убывающих чисел не существует, то в конце концов мы придем к тому, что $1^n-1$ не делится на $n$. Но ноль делится нацело на любое число. Следовательно, и исходное $a^{n-1}-1$ также делится на $n$.
Скажите, вы видели хоть раз нечто более восхитительное?

Быть невосхитительным любой математический софизм в принципе не может!
Что касается более или менее, то наименее восхитительным из ранее встречавшихся
софизмов его делает математически бесграмотное оформление.

[shwedka]

anwior в сообщении #249813 писал(а):

бесграмотное оформление

[victor_sorokin]

shwedka в сообщении #249778 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #249774 писал(а):

нечетно, делится на $2^{3n}$.

И, снова, почему?
Напоминаю, что Вы предположили, что

Цитата:

2°) $a+b-c=u2^3$

и обещали вывести, что

Цитата:

3°) $c=c'2^3$,

А теперь Вы втихаря этим пользуетесь.
Давайте, для чистоты эксперимента, докажите Ваше утверждение для $k=10$
То есть из того, что $a+b-c$ делится на $2^{10}=1024$ Вы выведiте, что $c=c'2^{10}$. В соответствии с правилами, Вы это сделаете для степени $n=3$.

Не мутите воду: изначально в равенстве Ферма задается число $c=c'2^3$, потом определяется степень четности числа $a+b$ и только после этого расчитывается степень четности числа $a+b-c$. Сами посчитать сможете?

age в сообщении #238002 писал(а):

Пусть имеется некоторое число $n$ - простое, и число $a$, взаимнопростое с $n$. Докажем, что $a^{n-1}-1\div n$.
Пусть существует такое $a$, взаимно простое с $n$, что $a^{n-1}-1$ не делится на $n$.
Умножим $a^{n-1}-1$ на $a$. Получим $a^n-a$.
Сделаем замену переменной $a=b+1$. Тогда:
$a^n-a=(b+1)^n-(b+1)=b^n+Pn+1-b-1=b^n+Pn-b$ не делится на $n$. Или
$b^n-b$ не делится на $n$.

$b^n-b$ делится на $n$! В любом случае.