Та же мысль, но несколько иначе.
Пусть
1°)

,

,
2°)

,

, и тогда
3°)

,
4°)

,
5°)

(здесь

четно!),
где

нечетны,
Тройка чисел

порождает – неважно, каким образом! – тройку чисел

, удовлетворяющих равенству 1°. После вынесения за скобки числа

в левой части равенства 1° в скобках остаются два нечетных числа

и

.
А теперь в левой части равенства 2° (

) вынесем за скобки число

, в результате чего в скобках в сумме остается целое и нечетное число

, где

.
И вот что мы имеем.
При преобразовании чисел

в числа

множитель

при числе

порождает множитель

при числе

в равенстве 1° (

).
А вот ЧЕТНОЕ слагаемое

числа

порождает НЕЧЕТНОЕ слагаемое

в равенстве

.
При этом элементарные арифметические операции при преобразовании четного числа в четное состоят только из операций сложения, умножения (тоже сложения), возведения в степень и перегруппировки слагаемых БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ четности текущего результата при КАЖДОЙ операции (важно, что без добавления ИЗВНЕ в число

каких бы то ни было нечетных чисел!). А при этих условиях преобразовать ЧЕТНУЮ (в сумме) основу (исходное число) в НЕЧЕТНЫЙ результат, очевидно, невозможно. (Полагаю, доказывать элементарную очевидность этого утверждения нет никакого смысла.)
Таким образом, преобразовать число

в левую часть равенства Ферма (1°), равную нулю, невозможно.
P.S. Следующее обоснование этого же вывода будет представлено уже с помощью чистого расчета чисел.
====================
В числе

, которое делится на

, число

нечетно. И т.д.
1) вот и доказали! И не так это страшно.
2) Осталось рассмотреть самый интересный случай

.
Таким образом, сумма оснований, которые должны породить четный (и равный нулю) второй сомножитель в числе

, есть НЕЧЕТНА.
3) Я так хорошо понимаю Ваше поэтическое возбуждение!
4) Но все же, попробуйте расшифровать таинственные слова о сумме оснований.
5) Что это за основания??
6) Перейдите к прозе, пожалуйста и напишите их формулами.
7) Может быть, сами лучше поймете?
1) Какой менторский тон!
2) Действительно, «самый интересный случай»! Доказательство специально для Вас: сумма двух четных или нечетных чисел – например,

и

не может быть равна нечетному числу (например,

)!
3) Весьма сомнительно: феномен поэтичности агрессивному мировоззрению для понимания недоступен.
4)

и

.
5)

и

.
6) См. п.5.
7) Вряд ли – лучшему пониманию благоприятствует дружелюбное и исследовательское общение.