Problem
Find all integer solutions to
.
Solution
http://www.math.washington.edu/~challenge/archive/20090505/flt.pdfСледовательно, опять сводят к уравнению Ферма для тройки. Один парень за это решение получил приз. Всего было предложено 11 решений.
Ну это не решение, а издевательство над решением!
Однако я сомневаюсь, что существует школьное решение и его можно начать с представления
для уравнения
.
Я вам привел его выше.
Отнимая от обеих частей уравнения
, сводим уравнение
к виду
. Следовательно,
.
Видим, что
и
. Обозначим
,
,
,
. Тогда имеем равенство
.
Из двух чисел
и
одно должно делится на
, разделим его
, также разделим каждое из чисел
и
на
. Получим некоторые числа
и
. Также поступим с числами
и
, разделив каждое на
, и тогда получим некоторые числа
и
. Тогда равенство
эквивалентно равенству
,
где
и
взаимно простые, и
и
взаимно простые при этом
нечетно. Вы хотите использовать как бы само собой разумеющееся, что запись числа
в виде произведения двух взаимно простых чисел единственна, т. е., что и нужно в вашем доказательстве. Но это к сожалению не так.
Повторю другими словами, если
, где
и
взаимно простые, и
и
взаимно простые, то отсюда не следует, что
,
или
,
.
Например,
,
то группируя простые множители в разных комбинациях, получаем
.
Следовательно, имеем три варианта представления числа в
в виде произведения двух взаимно простых чисел.
Поэтому я советовал почитать Серпинского "О решении уравнений в целых числах" (Физматгиз, 1961), стр. 37, где рассматривается параметрическое решение уравнения
.
Классиков иногда и не грех почитать
. Умные мальчики были аднака