Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений

[age]

grisania в сообщении #246746 писал(а):

Problem
Find all integer solutions to $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$.
Solution
http://www.math.washington.edu/~challenge/archive/20090505/flt.pdf
Следовательно, опять сводят к уравнению Ферма для тройки. Один парень за это решение получил приз. Всего было предложено 11 решений.

Ну это не решение, а издевательство над решением!

grisania в сообщении #246746 писал(а):

Однако я сомневаюсь, что существует школьное решение и его можно начать с представления

$3(x^2 - 1) = 4(y^3 - 1)$

для уравнения $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$.

Я вам привел его выше.

[grisania]

age в сообщении #246770 писал(а):

grisania в сообщении #246746 писал(а):

Problem
Find all integer solutions to $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$.
Solution
http://www.math.washington.edu/~challenge/archive/20090505/flt.pdf
Следовательно, опять сводят к уравнению Ферма для тройки. Один парень за это решение получил приз. Всего было предложено 11 решений.

Ну это не решение, а издевательство над решением!

grisania в сообщении #246746 писал(а):

Однако я сомневаюсь, что существует школьное решение и его можно начать с представления

$3(x^2 - 1) = 4(y^3 - 1)$

для уравнения $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$.

Я вам привел его выше.

Отнимая от обеих частей уравнения 4, сводим уравнение $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}})$ к виду
$3(x^2-1)=4(y^3-1)$. Следовательно,
$3\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=4\left( y-1 \right)\left( {{\left( y-1 \right)}^{2}}+3\left( y-1 \right)+3 \right)$.
Видим, что $\gcd \left( x-1,x+1 \right)=2$ и $\gcd \left( y-1,{{\left( y-1 \right)}^{2}}+3\left( y-1 \right)+3 \right)=3$. Обозначим
$a=x-1$, $b=x-1$, $c=y-1$, $d={{\left( y-1 \right)}^{2}}+3\left( y-1 \right)+3$. Тогда имеем равенство
$3ab=4cd$.
Из двух чисел $a$ и $b$ одно должно делится на $3$, разделим его $3$, также разделим каждое из чисел $a$ и $b$ на $2$. Получим некоторые числа ${{a}_{1}}$ и ${{b}_{1}}$. Также поступим с числами $c$ и $d$, разделив каждое на $3$, и тогда получим некоторые числа ${{c}_{1}}$ и ${{d}_{1}}$. Тогда равенство $3ab=4cd$ эквивалентно равенству

$m={{a}_{1}}{{b}_{1}}={{c}_{1}}{{d}_{1}}$,

где ${{a}_{1}}$ и ${{b}_{1}}$ взаимно простые, и ${{c}_{1}}$ и ${{d}_{1}}$ взаимно простые при этом ${{d}_{1}}$ нечетно. Вы хотите использовать как бы само собой разумеющееся, что запись числа $m$ в виде произведения двух взаимно простых чисел единственна, т. е., что и нужно в вашем доказательстве. Но это к сожалению не так.
Повторю другими словами, если ${{a}_{1}}{{b}_{1}}={{c}_{1}}{{d}_{1}}$, где ${{a}_{1}}$ и ${{b}_{1}}$ взаимно простые, и ${{c}_{1}}$ и ${{d}_{1}}$ взаимно простые, то отсюда не следует, что ${{a}_{1}}={{c}_{1}}$, ${{b}_{1}}={{d}_{1}}$ или ${{a}_{1}}={{d}_{1}}$, ${{b}_{1}}={{c}_{1}}$.
Например,

$m=3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$,

то группируя простые множители в разных комбинациях, получаем

$m=\left( 3\cdot 5\cdot 7 \right)\cdot \left( 11\cdot 13\cdot 17 \right)=\left( 3\cdot 13\cdot 11 \right)\cdot \left( 7\cdot 5\cdot 17 \right)=\left( 7\cdot 5\cdot 11 \right)\cdot \left( 3\cdot 13\cdot 17 \right)$.

Следовательно, имеем три варианта представления числа в $m$ в виде произведения двух взаимно простых чисел.
Поэтому я советовал почитать Серпинского "О решении уравнений в целых числах" (Физматгиз, 1961), стр. 37, где рассматривается параметрическое решение уравнения $xy=zt$.
Классиков иногда и не грех почитать . Умные мальчики были аднака

[age]

grisania
Это понятно, что запись не единственна, но представление:
$\begin{cases}3(x-1)=12(y-1)\\(x+1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $
либо
$\begin{cases}3(x+1)=12(y-1)\\(x-1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $
единственно. Других решений нет. А внутри представлений - меняйте множители местами как хотите!

Для вашего примера:
Если $3(x^2-1)=4\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17=4(y^3-1)$, то если
$\begin{cases}3(x-1)=4\cdot9\cdot5\cdot7=12(y-1)\\(x+1)=11\cdot13\cdot17=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $
то $(x+1)-(x-1)=11\cdot13\cdot17-4\cdot3\cdot5\cdot7$ никогда не будет равно двум. Теперь понятно?

А вот почему оно никогда не будет равно двум это вы докажите сами.

[grisania]

age в сообщении #246829 писал(а):

grisania
Это понятно, что запись не единственна, но представление:
$\begin{cases}3(x-1)=12(y-1)\\(x+1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $
либо
$\begin{cases}3(x+1)=12(y-1)\\(x-1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $
единственно. Других решений нет. А внутри представлений - меняйте множители местами как хотите!

Для вашего примера:
Если $3(x^2-1)=4\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17=4(y^3-1)$, то если
$\begin{cases}3(x-1)=4\cdot9\cdot5\cdot7=12(y-1)\\(x+1)=11\cdot13\cdot17=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $
то $(x+1)-(x-1)=11\cdot13\cdot17-4\cdot3\cdot5\cdot7$ никогда не будет равно двум. Теперь понятно?

А вот почему оно никогда не будет равно двум это вы докажите сами.

Пойдем другим путем, что бы убедить вас, что ваше доказательство некорректно. Решения у уравнения $1+3x^2=4y^3$ есть. Это $x=\pm 1$, $y=1$. Как говорится это объективная реальность.
Рассмотрим ваши системы
$\begin{cases}3(x-1)=12(y-1)\\(x+1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases}$
либо
$\begin{cases}3(x+1)=12(y-1)\\(x-1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases}$
1. Исключая из 1-ой системы $x$, получим уравнение
${{y}^{2}}-11y+7=0$
Подсчитаем дискриминант $D={{b}^{2}}-4ac=121-4\cdot 7=93$. Поскольку $\sqrt{D}=\sqrt{93}$ нецелое, то уравнение ${{y}^{2}}-11y+7=0$ целых корней не имеет, а тогда и уравнения $1+3x^2=4y^3$ не должно их иметь. Противоречие
2. Исключая из 2-ой системы $x$, получим уравнение
${{y}^{2}}-11y+19=0$
Подсчитаем дискриминант $D={{b}^{2}}-4ac=121-4\cdot 19=121-76=45$. Поскольку $\sqrt{D}=\sqrt{45}=5\sqrt{3}$ нецелое, то уравнение ${{y}^{2}}-11y+7=0$ целых корней не имеет, а тогда и уравнения $1+3x^2=4y^3$ не должно их иметь. Противоречие

Интересно, какое школьное доказательство имел в виду maxal (см. post211959.html#p211959)? Очень хочется знать.

[age]

grisania
Просто при переходе от исходного уравнения к системе(ам) надо отдельно оговаривать тривиальное решение, которое обнуляет уравнение и делает второе уравнение системы бессмысленным.
То, что других тривиальных решений нет проверьте сами. Во всех остальных случаях исходное уравнение эквивалентно системе(ам). Так что все правильно.

[grisania]

age в сообщении #246951 писал(а):

grisania
Просто при переходе от исходного уравнения к системе(ам) надо отдельно оговаривать тривиальное решение, которое обнуляет уравнение и делает второе уравнение системы бессмысленным.
То, что других тривиальных решений нет проверьте сами. Во всех остальных случаях исходное уравнение эквивалентно системе(ам). Так что все правильно.

Напишите доказательство куда делись тривиальные решения, т.е. были, а при переходе к системе(ам) исчезли? Это во-первых. Во-вторых почему они тривиальные? Они самые настоящие решения, тривиальными их называют, так как их нетрудно угадать.

[age]

Сами пишите, дорогой друг! Только сами. Принимать мое решение или нет - только ваше дело. Искать "самые настоящие решения" вида $(\pm1,1)$ - это уже не моя забота. Нижайше кланяюсь.

[Коровьев]

age в сообщении #246349 писал(а):

3. Т.к. числа $x+1$ и $x-1$ - взаимно простые и могут иметь общим множителем лишь $2$, и числа $y-1$ и $y^2+y+1$ - также взаимно простые и могут иметь общим множителем лишь $3$, то для того, чтобы соблюдалось равенство:
$3(x^2-1)=4(y^3-1)$,
а $(y-1)\div3$.
должно быть выполнимо одно из следующих условий:
$\begin{cases}3(x-1)=12(y-1)\\(x+1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $
либо
$\begin{cases}3(x+1)=12(y-1)\\(x-1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $

Простой подстановкой легко убедиться, что ни одно из них не имеет решений, т.к. $(y^2+y+1)>(y-1)$, а $(x+1)-(x-1)=2$.

Тут и без подстановки видно что получилась несусветная чушь.
$(x+1)$ и $(x-1)$ - чётные числа, а $(y^2+y+1)$ - всегда нечётное число, даже делённое на $3$
Эдак можно много чего надопоказывать, к примеру, что и
$3(x^2-1)=32(y^3-1)$
решений не имеет. Ан нет, имеет
$3(209^2-1)=32(16^3-1)$.

А вообще, это типичная ферманьячная ошибка
Из $ab=cd$ и $(a,b)=(c,b)=1$
заключают, что $a=c$ и $b=d$
Поражет, однако, апломб, с которым эти детские ошибки преподносятся и защищаются.

[age]

Да, увы, решение оказалось неправильным.
Коровьев
Только не надо громких слов "несусветная чушь", выделенных жирным цветом, а то за них можно и в глаз получить.

Строгое предупреждение за хамство! // maxal

[grisania]

age в сообщении #247177 писал(а):

Да, увы, решение оказалось неправильным.
Коровьев
Только не надо громких слов "несусветная чушь", выделенных жирным цветом, а то за них можно и в глаз получить.

Строгое предупреждение за хамство! // maxal

Общение с ферматиками сказывается на age к бабке не ходи , а по манере поведения, то Корриола нервно курит в сторонке.
Я так подозреваю, что Коровьев как спец в теории чисел и как пить дать профи в ней, знает как трудна задача найти решения $1+3x^2=4y^3$ в целых числах.
Но все таки интересно, какое школьное доказательство имел в виду maxal (см. post211959.html#p211959)? Очень хочется знать.

[tolstopuz]

KORIOLA в сообщении #241922 писал(а):

$Y^3 = (K+1)[(3K + 1/(K+1)].$Очевидно, что выражение в квадратных скобках - дробное число. Кроме того, здесь число $(K+1)$в первой степени, а каждое из чисел в квадратных скобках не содержит в себе сомножителя $(K+1).$Очевидно, что число Y - всегда дробное число.

Я правильно понимаю, что для уравнения $Y^2 = (K+1)[(3K + 1/(K+1)]$ ваше рассуждение тоже годится?

[KORIOLA]

tolstopuz-y
Вы неправильно написали мое уравнение, которое является результатом преобразования исходного уравнения, предложеного его автором.
Вы привели произвольным образом составленное уравнение. Какое отношение оно имеет к диофантовым уравнениям? Результатом преобразования какого исходного уравнения оно является? Скорее всего, мое рассуждение не годится для Вашего уравнения.
KORIOLA
P.S. Многим не нравятся мои простые элементарные доказательства ВТФ.
Им подавай "высокоученые" им самим непонятные многостраничные "заморочки".

[shwedka]

KORIOLA в сообщении #247408 писал(а):

мои простые элементарные доказательства ВТФ

Повторяю предложение.Оформите одно, самое любимое доказательство так, как это принято на этом форуме, и оно будет со всем почтением обсуждено.

[tolstopuz]

KORIOLA в сообщении #247408 писал(а):

Вы неправильно написали мое уравнение, которое является результатом преобразования исходного уравнения, предложеного его автором.

Наоборот, я написал его правильнее, чем вы. Я исправил вашу ошибочную двойку на тройку.

KORIOLA в сообщении #247408 писал(а):

Результатом преобразования какого исходного уравнения оно является? Скорее всего, мое рассуждение не годится для Вашего уравнения.

То есть ваши относящиеся к уравнению рассуждения могут оказаться истинными или ложными в зависимости от того, как получено уравнение? Извините, но тогда они не имеют отношения к математике.

Но я тем не менее продемострирую вам всю их нелепость:

$13^2=8[21+1/8]$. Очевидно, что выражение в квадратных скобках - дробное число. Кроме того, здесь число 8 в первой степени, а каждое из чисел в квадратных скобках не содержит в себе сомножителя 8. Очевидно, что число 13 - всегда дробное число.

[KORIOLA]

tolstopuz-y
Обращаю внимание, что в исходном уравнении и в моем также
$Y^3$, а не $Y^2$. Посмотрите внимательно на само название темы. Поэтому в примере должно быть $13^3$, а не $13^2$. И пример не имеет решения. Так что замечания и оценки, высказанные в мой адрес, переадресуйте себе.
KORIOLA