2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 15  След.
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение16.09.2009, 08:10 


23/01/07
3497
Новосибирск
age в сообщении #243725 писал(а):
grisania
1. Уравнение $1+kx^2=y^3$ решений не имеет ни при каких $k$.

$1+7\cdot 3^2=4^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение16.09.2009, 08:16 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Да. Виноват. Поспешил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение16.09.2009, 15:12 


05/02/07
271
age в сообщении #243725 писал(а):
grisania
К сожалению, победить ваше уравнение $1+3x^2=4y^3$ пока не удалось, и я подозреваю его решение во много эквивалентно решению $1+3x^2=ky^3$.


Я вроде победил, на днях напишу. Из неразрешимости $1+3x^2=4y^3$ следует неразрешимость $(n+1)^3-n^3=y^3$.
Но прикол вот чем, из неразрешимости $(n+1)^3-n^3=y^3$ следует неразрешимость ВТФ для тройки $x^3-z^3=y^3$. Доказательство несложное. Поэтому я бился над неразрешимостью $1+3x^2=4y^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение16.09.2009, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
"Не торопись", чтобы потом не говорить "Да. Виноват. Поспешил."
Ужель нельзя обойтись без громких слов, способных лишь по Пруткову сотрясти вохдух. Сначала доказательство, а там видно будет, нужны ли эти слова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 08:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
grisania
И все же мне удалось решить ваше уравнение
$3x^2+1=4y^3$.

Решение такое:
1. Отнимем от обеих частей уравнения $4$:
$3x^2-3=4y^3-4$.
$3(x^2-1)=4(y^3-1)$.
Откуда следует, что $(x^2-1)\div12$. То, что $(x^2-1)\div3$ - факт тривиальный по малой теореме Ферма для любых $x\neq3q$. Но т.к. $(x^2-1)\div4$, то $x$ - нечетно. Тогда $x=4k\pm1$. Откуда $(x^2-1)=16k^2\pm8k=8k'\div8$.

2. Т.к. для любых $y$ выражение $y^2+y+1$ всегда нечетно. То в правой части $4(y^3-1)=4(y-1)(y^2+y+1)$ лишь $y-1$ может быть четно, откуда $y=2m+1$.

3. Т.к. числа $x+1$ и $x-1$ - взаимно простые и могут иметь общим множителем лишь $2$, и числа $y-1$ и $y^2+y+1$ - также взаимно простые и могут иметь общим множителем лишь $3$, то для того, чтобы соблюдалось равенство:
$3(x^2-1)=4(y^3-1)$,
а $(y-1)\div3$.
должно быть выполнимо одно из следующих условий:
$\begin{cases}3(x-1)=12(y-1)\\(x+1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $
либо
$\begin{cases}3(x+1)=12(y-1)\\(x-1)=\dfrac{y^2+y+1}{3} \end{cases} $

Простой подстановкой легко убедиться, что ни одно из них не имеет решений, т.к. $(y^2+y+1)>(y-1)$, а $(x+1)-(x-1)=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 10:47 


05/02/07
271
age в сообщении #246349 писал(а):
---------------------------------
3. Т.к. числа $x+1$ и $x-1$ - взаимно простые и могут иметь общим множителем лишь $2$, и числа $y-1$ и $y^2+y+1$ - также взаимно простые и могут иметь общим множителем лишь $3$, то для того, чтобы соблюдалось равенство:
$3(x^2-1)=4(y^3-1)$,
а $(y-1)\div3$.
-----------------------------------

Почитайте Серпинского "О решении уравнений в целых числах" (Физматгиз, 1961), стр. 37, где рассматривается параметрическое решение уравнения $xy=zt$ . Трюки с почти взаимной простой $x$ и $y$ (например, когда $\gcd \left( x,y \right)=2$) и с почти взаимной простой $z$ и $t$ (например, когда $\gcd \left( t,z \right)=3$) не проходят.
Однако запись уравнения $3x^2+1=4y^3$ в виде $3(x^2-1)=4(y^3-1)$ очень интересна

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 12:41 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
grisania в сообщении #246375 писал(а):
Почитайте Серпинского "О решении уравнений в целых числах" (Физматгиз, 1961), стр. 37, где рассматривается параметрическое решение уравнения $xy=zt$ . Трюки с почти взаимной простой $x$ и $y$ (например, когда $\gcd \left( x,y \right)=2$) и с почти взаимной простой $z$ и $t$ (например, когда $\gcd \left( t,z \right)=3$) не проходят.

Еще как проходят! :D
Дело в том, что выше рассматривается не взаимная простота или "не почти взаимная", а конкретный случай, для которого иных решений быть не может.
Числа $y-1$ и $y^2+y+1$ обязательно оба делятся на $3$. А числа $x+1$ и $x-1$ оба делиться на $3$ не могут. В свою очередь числа $x+1$ и $x-1$ обязательно оба делятся на $2$. А число $y^2+y+1$ вообще делиться на $2$ не может. Откуда и вытекают означенные выше условия и отсутствие других решений. Понимаю, что это некрасиво, но иногда приходится жертвовать красотой ради результата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 14:06 


05/02/07
271
age в сообщении #246402 писал(а):
----------------------------------------------------
Числа $y-1$ и $y^2+y+1$ обязательно оба делятся на $3$. А числа $x+1$ и $x-1$ оба делиться на $3$ не могут.

То, что числа $y-1$ и $y^2+y+1$ обязательно оба делятся на $3$ ясно, но откуда следует, что числа $x+1$ и $x-1$ оба делиться на $3$ не могут?

Пока вы доказали, что $x\ne3k$, поскольку в этом случае числа $x+1$ и $x-1$ оба делиться на $3$ не могут. Случаи $x=3k+1$ и $x=3k+2$ надо доказывать, в этом не поможет то, что $x$ нечетное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 14:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
grisania
Ну то, что оба $x+1$ и $x-1$ делиться на 3 не могут - это уже арифметика! :D Докажите сами.
Остальное я написал выше: $x^2-1$ делится на $3$ по малой теореме Ферма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 14:22 


05/02/07
271
age в сообщении #246417 писал(а):
grisania
Ну то, что оба $x+1$ и $x-1$ делиться на 3 не могут - это уже арифметика! :D Докажите сами.
Остальное я написал выше: $x^2-1$ делится на $3$ по малой теореме Ферма.


Беру $x=6k+1$. Число $x=6k+1$ нечетно, а $x-1=6k$делится на $3$, а, значит, $x^2-1$ делится на $3$ . Причем здесь малая теорема Ферма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 14:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Малая теорема Ферма утверждает, что $x^{n-1}-1\div n$.
Для $n=3$ имеем $x^2-1\div 3$. Хотя, конечно же, это из пушки по воробьям! Гораздо проще так:
Если $x\neq3k$, то $x=3k\pm1$, откуда $x^2-1=9k^2\pm6k+1-1=3k'\div3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 20:32 


05/02/07
271
age в сообщении #246417 писал(а):
grisania
Ну то, что оба $x+1$ и $x-1$ делиться на 3 не могут - это уже арифметика! :D Докажите сами.
Остальное я написал выше: $x^2-1$ делится на $3$ по малой теореме Ферма.


Левая часть $3(x^2-1)=4(y^3-1)$ делится на 9 - это мне понятно и несложно доказывается. Если $3 \ne3k$, то левая часть также делится на 9, поскольку хоть оба $x+1$ и $x-1$ делиться на 3 не могут, но одно точно делится. Поэтому ваше доказательство не катит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 21:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Почему это не катит :?: Численный контрпример!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение25.09.2009, 22:06 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Про решение $3x^2+1=4y^3$ - см. post211959.html#p211959

 Профиль  
                  
 
 Re: Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений
Сообщение26.09.2009, 21:06 


05/02/07
271
maxal в сообщении #246537 писал(а):
Про решение $3x^2+1=4y^3$ - см. post211959.html#p211959


За кривульку Морделла большое спасибо.
Однако я сомневаюсь, что существует школьное решение и его можно начать с представления
$3(x^2 - 1) = 4(y^3 - 1)$

для уравнения $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$. Если конечно не следовать методам ферматиков типа KORIOLA. Он уже представил суперэлементарное доказательство на этой ветке.
Я порылся в Инете и нашел, что народ в мире эту тему поднимал
http://www.math.washington.edu/~challenge/archive/20090505/index.php
Problem
Find all integer solutions to $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$.
Solution
http://www.math.washington.edu/~challenge/archive/20090505/flt.pdf
Следовательно, опять сводят к уравнению Ферма для тройки. Один парень за это решение получил приз. Всего было предложено 11 решений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 218 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 15  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vekos


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group