Роль комплексных функций и переменных в физике.

[PapaKarlo]

Munin в сообщении #245857 писал(а):

Готов поспорить, что с ненулевой действительной частью, то есть не мнимое.

Стоит ли спорить? Я ведь в шутку написал, хотя, как известно, в каждой шутке есть доля шутки. Понятно, что реальный электронный компонент несколько сложнее его идеализации, не говоря уже о том, что противопоставление чисто мнимого числа иррациональному несерьезно.

Как-то обсуждение интересного для топикстартера вопроса начало сбиваться (видимо, не без моей подачи ) на элементарную электротехнику... Куда интереснее обсудить $\pi$ яблок. Где-то как-то отдаленно пересекается этот вопрос с темой Дискретное пространство и время: требуются ли действительно иррациональные числа для описания физических величин? Или достаточно целых?

[t3rmin41]

Цитата:

У Вас есть яблоки - их Вы можете съесть. Величина - количество яблок - немного не совпадает с яблоками; иначе те, кто не умеют считать, обречены на голодную смерть даже при наличии яблок в руках, а те, кто умеет, обречены на поедание чисел вместо яблок. Замечаете различие между яблоками и их количеством?

Исходя из этого утверждения, количество яблок в ограниченном объёме пространства и яблоки в этом же самом ограниченном объёме пространства - понятия не имеющие ничего общего? :] то есть яблоки существуют сами по себе, а их количество - само по себе? :]
Какая тут разница между яблоками и их количеством?

Цитата:

У меня есть конденсатор. Какое у него сопротивление?

Для идеального конденсатора в сети постоянного тока - $\infty$, для переменного тока $X_c=\frac{1}{\omega C}$. Что дальше?

[Munin]

nestoklon в сообщении #245925 писал(а):

Ну и на что мне надо умножить ток чтобы получить напряжение?

На оператор...

-- 23.09.2009 21:42:42 --

PapaKarlo в сообщении #245934 писал(а):

Куда интереснее обсудить яблок. Где-то как-то отдаленно пересекается этот вопрос с темой Дискретное пространство и время: требуются ли действительно иррациональные числа для описания физических величин? Или достаточно целых?

А мне это как раз уже не интересно. Потому что обдумано и разобрано. Даже целых чисел в природе нет, а есть некоторые "числа с погрешностями", в математике строго вообще не формализованные (есть несколько вариантов с ограниченной применимостью в физике). А иррациональными числами мы пользуемся для одной очень простой выгоды: производные брать. Потому что существование иррациональных чисел нам природа не демонстрирует, а наличие производных - демонстрирует.

[PapaKarlo]

t3rmin41 в сообщении #245961 писал(а):

Исходя из этого утверждения, количество яблок в ограниченном объёме пространства и яблоки в этом же самом ограниченном объёме пространства - понятия не имеющие ничего общего?

Похоже, Вы невнимательно читаете, поэтому делаете слишком смелые выводы исходя из моего утверждения:

PapaKarlo в сообщении #245707 писал(а):

Величина - количество яблок - немного не совпадает с яблоками; ... Замечаете различие между яблоками и их количеством?

Разве я писал, что эти понятия не имеют ничего общего? До тех пор, пока мы делаем ударение на том, что в данном объеме пространства имеется $N$ именно яблок, определенная связь имеется. Наличие яблок - факт "бинарный", качественный (как мед у Винни Пуха); наличие $N$ яблок в пространстве объема $V$ - уже физическое измерение, описание количества, если угодно, яблочной плотности.

t3rmin41 в сообщении #245961 писал(а):

Какая тут разница между яблоками и их количеством?

Например, яблоки могут быть спелыми, сочными, сладкими. А могут быть гнилыми. Но их и в том, и в другом случае может быть три. А может быть четыре. Или пять. К тому же, яблоки могут иметь разную массу. Замечаете разницу? Если нет, подумайте о тех, кто не умеет считать, но любит яблоки (Вы почему-то проигнорировали этот пример).

[nestoklon]

t3rmin41 в сообщении #245961 писал(а):

Что дальше?

А дальше посчитайте с таким сопротивлением хотя бы RC контур. Фигня получится. Потому что запаздывание на полфазы вы выкинули на фик, взяв модуль.

Munin в сообщении #245968 писал(а):

На оператор...

В том-то и прикол. По мне, на число умножать проще. А вот t3rmin41 видимо считает наоборот. Его право.

[Maslov]

Munin в сообщении #245968 писал(а):

Потому что существование иррациональных чисел нам природа не демонстрирует, а наличие производных - демонстрирует.

А как нам природа демонстрирует наличие производных?
Я думаю, в данном случае есть достаточно полная аналогия между производными и ирациональными числами: мат. модели природных (физических) процессов, записанные с использованием производных, замечательным образом согласуются с экспериментом; аналогично, мат. модели процессов, записанные с использованием иррацициональных чисел тоже замечательно согласуются с экспериментом.
И в этом загадка "непостижимой эффективности математики"

[ewert]

Munin в сообщении #245968 писал(а):

nestoklon в сообщении #245925 писал(а):

Ну и на что мне надо умножить ток чтобы получить напряжение?

На оператор...

Это правильно, что робко. Нету в этом месте никаких операторов. Зачем Вы это написали?...

[nestoklon]

ewert в сообщении #246009 писал(а):

Зачем Вы это написали?...

Я отвечу за Munin. Имелось в виду, что стандартную процедуру расчёта эл. схем когда мы считаем линейный ответ на частоте, и умножаем фурье образ сигнала на передаточную функцию можно развернуть, сделав её чисто вещественной. Умножение превратится в свёртку, т.е., интегральный оператор.

[ewert]

Но речь-то в этом месте шла вовсе не о том, а об установившихся и чисто гармонических сигналах.

[Someone]

t3rmin41 в сообщении #244474 писал(а):

Каков вообще смысл мнимых величин в физике? Экспериментально ведь мы не можем измерить их, ведь ни один прибор не фиксирует комплексные значения.
Например, волновая функция $\Psi$ в квантовой механике является комплексной в общем случае.
Или сопротивление реактивных элементов.
Какие преимущества использования комплексных чисел? Я знаю, что для облегчения математических действий, но нельзя ли было без них обойтись (без комплексных величин имею в виду)?

Вообще, какая-то странная тема.
Поскольку комплексные числа можно определять как упорядоченные пары действительных чисел, и все операции с комплексными числами выражаются через операции с действительными, то, разумеется, мы всегда можем обойтись действительными числами. Но будет ли нам от этого удовольствие? Например, вместо одного равенства (уравнения, формулы) придётся писать два. Вместо одной функции одной комплексной переменной придётся использовать две действительных функции двух действительных переменных. Вместо простого условия дифференцируемости функции комплексной переменной нужно будет использовать гораздо более громоздкие условия Коши - Римана (или Даламбера - Эйлера?), наложенные на две функции двух действительных переменных. И так далее. В результате все наши вычисления и рассуждения "разбухнут".
Не надо думать, что это безобидное явление. Обратите внимание на обилие специальных терминов в любой области человеческой деятельности. Зачем, по Вашему мнению, они существуют? Представьте себе, что вместо слова "вектор" Вам пришлось бы каждый раз говорить

"отображение, которое каждой точке пространства ставит в соответствие некоторую точку пространства, при котором, если точке $A$ соответствует точка $B$, а точке $C$ - точка $D$, то либо все четыре точки лежат на одной прямой, причём, направление от точки $A$ к точке $B$ совпадает с направлением от точки $C$ к точке $D$, а длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $CD$, либо точки $A,B,C,D$ не лежат на одной прямой, прямая, проходящая через $A$ и $B$, не имеет общих точек с прямой, проходящей через $C$ и $D$, а прямая, проходящая через $A$ и $C$, не имеет общих точек с прямой, проходящей через $B$ и $D$"

(за корректность не ручаюсь). Я мог бы поступить уже совсем нехорошо: сформулировать это определение и посмотреть, догадаетесь ли Вы, что речь идёт о векторе.
Наличие терминов и компактных обозначений позволяет строить более длинные рассуждения и вычисления и облегчает понимание этих рассуждений и вычислений, что существенно увеличивает наши возможности.

В природе ведь вообще нет никаких чисел, ни комплексных, ни действительных, ни рациональных, ни иррациональных, ни целых, ни дробных, ни "точных", ни "приближённых". Любые числа - это чисто логические конструкции. Просто они используются для построения математических моделей того, что мы наблюдаем в природе. Какую выбрать модель - наше дело, и не надо на пустом месте начинать религиозную войну. Если мы выбрали комплексную модель, то это, вероятно, означает, что мы умеем измерять то, что соответствует комплексному числу. Например, можем измерить две величины, соответствующие действительной и мнимой частям комплексного числа. Делаем мы это за один раз или за два, одним прибором или двумя разными, прямо или косвенно, никакой роли не играет. В конце концов, закажите конструктору измерительной аппаратуры прибор, который будет измерять комплексную величину зараз и показывать Вам комплексное число. Вам ведь не обязательно знать, что у этого прибора внутри, достаточно того, чтобы он правильно работал.

[ewert]

Это всё ж-таки некий экстремизм. Есть, воистину есть некая принципиальная разница между "обычными" числами (вещественными и далее по нисходящей) и комплексными: первые -- упорядочены, вторые же -- нет. А все наши рецепторы ориентированы именно на упорядоченность. Потому первые для нас и привычнее.

И второе. Дескать, дифференцируемость проще условий Коши-Римана. Да, логически проще, но это -- что называется, "искать под фонарём". Далеко не все закономерности в природе аналитичны. Это мы им предписываем аналитичность, чтоб легче считать.

[Quantrinas]

В электродинамике в принципе без комплексных чисел можно обойтись, уравнения Максвелла записываются для действительных полей. А вот в квантовой механике - не уверен.

[Maslov]

ewert в сообщении #246052 писал(а):

А все наши рецепторы ориентированы именно на упорядоченность. Потому первые для нас и привычнее.

Все наши рецепторы ориентированы на то, чтобы обеспечить нашу жизнедеятельность в трех пространственных измерениях, где говорить об упорядоченности в большинстве случаев не приходится.

[Someone]

ewert, извините, но я не понял Вашего высказывания. Похоже, Вы увидели у меня что-то такое, о чём я сам не догадываюсь. Я говорил всего лишь о том, что формально без комплексных чисел можно обойтись (а если хотите, я объясню, как обойтись пустым множеством и теоретико-множественными конструкциями, но, ради Бога, давайте не будем этого делать), заменив их соответствующими конструкциями на основе действительных. Я также говорил, что использование комплексных чисел целесообразно (там, где это позволяет использовать компактность комплексной записи). И что это согласуется с общепринятой практикой использования специальных терминов и обозначений для сокращения рассуждений и вычислений. Но я ни от кого не требовал никакой аналитичности.

-- Чт сен 24, 2009 00:22:39 --

Quantrinas в сообщении #246061 писал(а):

В электродинамике в принципе без комплексных чисел можно обойтись, уравнения Максвелла записываются для действительных полей. А вот в квантовой механике - не уверен.

Да распишите явно все комплексные функции и уравнения через их действительные и мнимые части, и получите квантовую механику в действительной форме. Только будет громоздко и неудобно.

[t3rmin41]

Цитата:

Вам ведь не обязательно знать, что у этого прибора внутри

Это же самое интересное :]

На самом деле, спасибо Someone, что отписались в этой теме.

Цитата:

не надо на пустом месте начинать религиозную войну.

Да никто не начинает, просто вот у меня возник вопрос такой, о легитимности комплексных чисел в природе.