Каков вообще смысл мнимых величин в физике? Экспериментально ведь мы не можем измерить их, ведь ни один прибор не фиксирует комплексные значения.
Например, волновая функция
в квантовой механике является комплексной в общем случае.
Или сопротивление реактивных элементов.
Какие преимущества использования комплексных чисел? Я знаю, что для облегчения математических действий, но нельзя ли было без них обойтись (без комплексных величин имею в виду)?
Вообще, какая-то странная тема.
Поскольку комплексные числа можно определять как упорядоченные пары действительных чисел, и все операции с комплексными числами выражаются через операции с действительными, то, разумеется, мы всегда можем обойтись действительными числами. Но будет ли нам от этого удовольствие? Например, вместо одного равенства (уравнения, формулы) придётся писать два. Вместо одной функции одной комплексной переменной придётся использовать две действительных функции двух действительных переменных. Вместо простого условия дифференцируемости функции комплексной переменной нужно будет использовать гораздо более громоздкие условия Коши - Римана (или Даламбера - Эйлера?), наложенные на две функции двух действительных переменных. И так далее. В результате все наши вычисления и рассуждения "разбухнут".
Не надо думать, что это безобидное явление. Обратите внимание на обилие специальных терминов в любой области человеческой деятельности. Зачем, по Вашему мнению, они существуют? Представьте себе, что вместо слова "вектор" Вам пришлось бы каждый раз говорить
"отображение, которое каждой точке пространства ставит в соответствие некоторую точку пространства, при котором, если точке
соответствует точка
, а точке
- точка
, то либо все четыре точки лежат на одной прямой, причём, направление от точки
к точке
совпадает с направлением от точки
к точке
, а длина отрезка
равна длине отрезка
, либо точки
не лежат на одной прямой, прямая, проходящая через
и
, не имеет общих точек с прямой, проходящей через
и
, а прямая, проходящая через
и
, не имеет общих точек с прямой, проходящей через
и
"
(за корректность не ручаюсь). Я мог бы поступить уже совсем нехорошо: сформулировать это определение и посмотреть, догадаетесь ли Вы, что речь идёт о векторе.
Наличие терминов и компактных обозначений позволяет строить более длинные рассуждения и вычисления и облегчает понимание этих рассуждений и вычислений, что существенно увеличивает наши возможности.
В природе ведь вообще нет никаких чисел, ни комплексных, ни действительных, ни рациональных, ни иррациональных, ни целых, ни дробных, ни "точных", ни "приближённых". Любые числа - это чисто логические конструкции. Просто они используются для построения математических моделей того, что мы наблюдаем в природе. Какую выбрать модель - наше дело, и не надо на пустом месте начинать религиозную войну. Если мы выбрали комплексную модель, то это, вероятно, означает, что мы умеем измерять то, что соответствует комплексному числу. Например, можем измерить две величины, соответствующие действительной и мнимой частям комплексного числа. Делаем мы это за один раз или за два, одним прибором или двумя разными, прямо или косвенно, никакой роли не играет. В конце концов, закажите конструктору измерительной аппаратуры прибор, который будет измерять комплексную величину зараз и показывать Вам комплексное число. Вам ведь не обязательно знать, что у этого прибора внутри, достаточно того, чтобы он правильно работал.