Роль комплексных функций и переменных в физике.

[t3rmin41]

Цитата:

Берётся фазометр...

Фазометр из реальной части сконструирует мнимую, поделив которую на реальную и получим фазу (тангенс фазы). Это косвенное измерение мнимой части (как впрочем, и любое другое), а не прямое.

[PapaKarlo]

t3rmin41 в сообщении #245323 писал(а):

ewert, предлагаю вам тогда измерить на участке цепи переменного тока мнимую часть напряжения. Можно прямо в розетке у себя дома :]

Несколько неудачно сформулированное предложение - все-таки пока смысл комплексных чисел не прояснился.

Нет такой "мнимой части" напряжения. Напряжение в розетке можно описать действительной функцией времени. Более того, ничего больше и не надо для такого описания - пока мы говорим лишь о напряжении (лишь о токе). Лишь когда появляется фазовый сдвиг, возникает пара чисел; вот ее-то и удобно рассматривать как комплексное число (заметьте, что не любая пара физических величин образует комплексное число - например, амплитуды напряжения на участке цепи и тока через этот участок не образуют комплексное число).

Особенно проявляется это удобство (в электротехнике) при рассмотрении одновременно тока и напряжения в (на) участке цепи - это проявляется в понятиях действительного/мнимого/комплексного сопротивления и действительной/мнимой/полной мощности. Связано это с двумя моментами:

1) использование комплексных чисел для описания цепей переменного (гармонического) тока позволяет применить простые соотношения, справедливые для цепей постоянного тока;

2) понятия действительной и мнимой мощности отражают физическую сущность - принципиальные различия идеальных активных и идеальных реактивных элементов: первые преобразуют э/м энергию в тепло (работу в общем случае), вторые - нет. В реальной же цепи имеют место обе части, что можно описать чисто действительной математикой, но удобнее - комплексной.

t3rmin41 в сообщении #245346 писал(а):

Фазометр из реальной части сконструирует мнимую...

Как же это фазометр сделает? Наоборот, фазометр из мнимой/из полной части "сконструирует" реальную, т.к. лишь реальная мощность (см. выше п.2) может быть преобразована в работу, необходимую в конечном итоге для функционирования измерительного прибора - только не ту реальную, которая потребляется цепью, а ту реальную, которая потребляется измерительным прибором. Это означает, между прочим, что любой измерительный прибор привносит изменения функционирование цепи, что, впрочем, справедливо для измерения и чисто действительных значений (например, в цепях постоянного тока).

[nestoklon]

t3rmin41 в сообщении #245323 писал(а):

И он очень полезен в электрических цепях, я уже написал почему.

Он совсем не потому полезен в электрических цепях. А совсем по другой причине. Если в цепи есть реактивные элементы, то считать "в лоб" очень непросто. А так вводим комплексные сопротивления и поехали считаем с обычным законом Ома.
Трюк? Да. Можно обойтись без этого? Да. Но зачем, если так проще?

-- Вт сен 22, 2009 15:23:57 --

PapaKarlo, не заметил. Что называется, +1.

[t3rmin41]

Цитата:

Как же это фазометр сделает?

В любой момент времени мнимая и действительная части отстают (или опережают, тут как посмотреть) друг от друга на $\frac{\pi}{2}$. Есть специальные элементы, которые поворачивают переменную функцию (тока, напряжения) на $\frac{\pi}{2}$, не вдаваясь во внутреннее строение этих элементов.
Вот и получим фазу.
Я не уверен, что так действуют приборы, это моё предположение.

Резюмируя, можно сделать вывод, что комплексных переменных в наблюдаемой нами природе нет. Но они помогают облегчить расчёты, так как для них существуют известные математические связи.

С токами вроде понятно.
Теперь хотелось бы узнать, почему волновая функция $\Psi$ в общем случае комплексная величина? Комплексная часть учитывает поглощение электроном фотона или что-то другое?

[PapaKarlo]

t3rmin41 в сообщении #245519 писал(а):

В любой момент времени мнимая и действительная части отстают (или опережают, тут как посмотреть) друг от друга на $\frac{\pi}{2}$. Есть специальные элементы, которые поворачивают переменную функцию (тока, напряжения) на $\frac{\pi}{2}$, не вдаваясь во внутреннее строение этих элементов.
Вот и получим фазу.

А математически можете это рассуждение записать? Какая величина и как изменяется при повороте фазы на $\frac{\pi}{2}$ и как это помогает измерить фазовый сдвиг (мнимую часть чего-либо) по сравнению с ситуацией невыполнения такого поворота?

t3rmin41 в сообщении #245519 писал(а):

Резюмируя, можно сделать вывод, что комплексных переменных в наблюдаемой нами природе нет.

Так и действительных переменных там тоже нет. Это лишь придуманный нами способ описать нечто. А в этом смысле комплексные переменные ничуть не менее (не более) реальны, чем действительные.

t3rmin41 в сообщении #245519 писал(а):

Но они помогают облегчить расчёты, так как для них существуют известные математические связи.

Для вещественных тоже существуют, просто в определенных случаях они сложнее. А расчеты вообще производят, используя лишь целые (натуральные) числа. То, что называют вещественными числами при расчетах, есть лишь их приближение. Возьмите, к примеру, логарифмическую линейку или блок вещественной арифметики микропроцессора - одни целые числа (мантисса, характеристика). Даже с рациональными числами при расчетах уже напряженка - попробуйте использовать число $0,(3)$ иначе чем $\frac13$ (что есть лишь пара целых чисел и некое арифметическое действие)...

[t3rmin41]

Цитата:

Так и действительных переменных там тоже нет. Это лишь придуманный нами способ описать нечто. А в этом смысле комплексные переменные ничуть не менее (не более) реальны, чем действительные.

У меня есть 3 яблока. Это действительная величина - я могу их потрогать, съесть, швырнуть ими в кого-нибудь :]
Переменная - количество яблок. Оно - действительная величина.

Цитата:

А математически можете это рассуждение записать?

$\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}=\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin(\alpha)$

По формуле Эйлера:

$e^{i \phi}=\cos(\phi)+i\sin(\phi)$

Цитата:

То, что называют вещественными числами при расчетах, есть лишь их приближение.

Я сейчас не поднимал тему, как считает компьютер. Вообще говоря, компьютер может оперировать только дискретными значениями. Сейчас речь идёт не об этом.

[ewert]

t3rmin41 в сообщении #245639 писал(а):

У меня есть 3 яблока.

А у Вас есть $\pi$ яблок?...

Если нет -- то $\pi$ фтопку.

[t3rmin41]

ewert в сообщении #245673 писал(а):

t3rmin41 в сообщении #245639 писал(а):

У меня есть 3 яблока.

А у Вас есть $\pi$ яблок?...

Если нет -- то $\pi$ фтопку.

Можно с очень большой точностью разрезать яблоко на часть, близкую к дробной части числа $\pi$.
И $\pi$ тут не при чём, по большому счёту.

[PapaKarlo]

t3rmin41 в сообщении #245639 писал(а):

Цитата:

Так и действительных переменных там тоже нет. Это лишь придуманный нами способ описать нечто. А в этом смысле комплексные переменные ничуть не менее (не более) реальны, чем действительные.

У меня есть 3 яблока. Это действительная величина - я могу их потрогать, съесть, швырнуть ими в кого-нибудь :]

У Вас есть яблоки - их Вы можете съесть. Величина - количество яблок - немного не совпадает с яблоками; иначе те, кто не умеют считать, обречены на голодную смерть даже при наличии яблок в руках, а те, кто умеет, обречены на поедание чисел вместо яблок. Замечаете различие между яблоками и их количеством?

t3rmin41 в сообщении #245639 писал(а):

Цитата:

А математически можете это рассуждение записать?

$\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}=\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin(\alpha)$

Это, безусловно, очень ценная информация. А как же со второй частью вопроса?

PapaKarlo в сообщении #245547 писал(а):

Какая величина и как изменяется при повороте фазы на $\frac{\pi}{2}$ и как это помогает измерить фазовый сдвиг (мнимую часть чего-либо) по сравнению с ситуацией невыполнения такого поворота?

t3rmin41 в сообщении #245639 писал(а):

Я сейчас не поднимал тему, как считает компьютер. Вообще говоря, компьютер может оперировать только дискретными значениями. Сейчас речь идёт не об этом.

А я ведь тоже не подымаю эту тему. Если Вы обратили внимание, я на первое место поставил логарифмическую линейку. Но и принцип ее работы также не предлагается к рассмотрению. Речь идет лишь о расчетах, а расчеты оперируют только дискретными значениями. Даже если в результате расчетов Вы получите значение, скажем, $\pi$, использовать на практике можно лишь приближение. Представьте себе, что Вам разрешили съесть ровно $\pi$ яблок - ни больше, ни меньше. И больше - никакой пищи. Печальная участь...

Ваш вывод

t3rmin41 в сообщении #245519 писал(а):

комплексные переменные ... помогают облегчить расчёты

верен, но некоторые сопутствующие рассуждения вызывают возражение.

[nestoklon]

t3rmin41 в сообщении #245695 писал(а):

И $\pi$ тут не при чём, по большому счёту

При чём, при чём.
У меня есть конденсатор. Какое у него сопротивление?

[Munin]

Какое-нибудь иррациональное, чувствуется... :-)

[PapaKarlo]

Munin в сообщении #245720 писал(а):

Какое-нибудь иррациональное, чувствуется...

А вот и нет - мнимое!

[Munin]

Готов поспорить, что с ненулевой действительной частью, то есть не мнимое.

[Comanchero]

nestoklon в сообщении #245709 писал(а):

У меня есть конденсатор. Какое у него сопротивление?

$R_C=\frac{U_Ccos(\omega t-\frac{\pi}{2})}{I_Ccos(\omega t)}$ , запись без $i$

Со знаком напутал, исправил...

[nestoklon]

Comanchero в сообщении #245861 писал(а):

$R_C=\frac{U_0cos(\omega t+\frac{\pi}{2})}{I_0cos(\omega t)}$ , запись без $i$

Ну и на что мне надо умножить ток чтобы получить напряжение? А если там синус? Тоже на косинус умножать?