Роль комплексных функций и переменных в физике.

[ewert]

Someone в сообщении #246063 писал(а):

ewert, извините, но я не понял Вашего высказывания. Похоже, Вы увидели у меня что-то такое, о чём я сам не догадываюсь.

Я просто среагировал на слова:

Someone в сообщении #246037 писал(а):

В природе ведь вообще нет никаких чисел, ни комплексных, ни действительных, ни рациональных, ни иррациональных, ни целых,

Так вот это не совсем так, я и пытался сказать, почему и в каком смысле. А про аналитичность -- наверное, да, действительно невпопад вышло (хотя с акцентами я всё-таки не согласен).

[Quantrinas]

Someone в сообщении #246063 писал(а):

Да распишите явно все комплексные функции и уравнения через их действительные и мнимые части, и получите квантовую механику в действительной форме. Только будет громоздко и неудобно.

Это-то конечно. Но ведь фазовые эффекты типа Джозефсона при этом будут совсем невнятно сформулированы. Как эпициклы Птолемея. То есть вопрос тут не собственно в алгебре комплексных чисел.

[Someone]

Quantrinas в сообщении #246098 писал(а):

Это-то конечно. Но ведь фазовые эффекты типа Джозефсона при этом будут совсем невнятно сформулированы. Как эпициклы Птолемея. То есть вопрос тут не собственно в алгебре комплексных чисел.

Так я о том и говорю:

Someone в сообщении #246037 писал(а):

Наличие терминов и компактных обозначений позволяет строить более длинные рассуждения и вычисления и облегчает понимание этих рассуждений и вычислений, что существенно увеличивает наши возможности.

Мы ведь можем продолжить эту цепочку сведения вплоть до теории множеств. Известно, что натуральные числа $0,1,2,3,\ldots$ в теории множеств определяются как множества $\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\ldots$. Здесь можно определить и операции над ними. Используя стандартную конструкцию из алгебры, можно определить целые числа как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел по отношению эквивалентности $(m,n)\sim(p,q)\Leftrightarrow m+q=p+n$. Далее аналогичной конструкцией вводятся рациональные числа. Действительные определяем с помощью сечений Дедекинда. Комплексные - как упорядоченные пары действительных. Затем пройдёмся по этой цепочке назад, последовательно изгоняя все обозначения и термины, не встречающиеся на предыдущем этапе, и заменяя их соответствующими определениями. В конце-концов у нас не останется ничего, кроме теоретико-множественных конструкций. Даже и пустое множество можно изгнать, заменив символ $\varnothing$ соответствующим определением. В итоге определение какого-нибудь часто встречающегося числа наподобие $\pi$ или $e$ превратится в многостраничную формулу, которую будет невозможно не только понять, но даже просто прочесть.

ewert в сообщении #246093 писал(а):

Someone в сообщении #246037 писал(а):

В природе ведь вообще нет никаких чисел, ни комплексных, ни действительных, ни рациональных, ни иррациональных, ни целых,

Так вот это не совсем так, я и пытался сказать, почему и в каком смысле.

Я всё равно ничего не понял. Числа - это логические конструкции, существующие только в нашем сознании. Они моделируют некоторые стороны реального мира, и если числа "существуют" в природе, то только в этом смысле: не как объекты природы, а как логические модели.

t3rmin41 в сообщении #246068 писал(а):

просто вот у меня возник вопрос такой, о легитимности комплексных чисел в природе

А нет в физике такого термина - легитимность. Есть соответствие модели эксперименту. Если теория описывает какой-то круг явлений с точностью, соответствующей точности измерений, ей можно пользоваться. Если она даёт погрешность, превышающую погрешность измерений, то надо искать другую теорию. Какие математические конструкции при этом используются, совершенно не важно.
Полезно не забывать, что используемые математические конструкции - это не то же самое, что физические явления и объекты, которые этими конструкциями моделируются. Тогда вопросы наподобие Вашего становятся не интересными. Поскольку позавчера нечто моделировалось числами, вчера - кватернионами, сегодня моделируется векторами, завтра будет моделироваться тензорами, а послезавтра - связностями на расслоенных пространствах (я ничего конкретного не имею в виду, термины выбраны случайно). А послепослезавтра - вообще неизвестно чем.

[ИгорЪ]

Если обобщить, то вопрос выглядит так: Роль математики в физике. И обсуждать дальше. До второго пришествия. Только цель какая? Убедиться что роль велика и "непостижимо эффективна"?

[PapaKarlo]

ИгорЪ в сообщении #246141 писал(а):

Если обобщить, то вопрос выглядит так: Роль математики в физике. И обсуждать дальше. До второго пришествия. Только цель какая? Убедиться что роль велика и "непостижимо эффективна"?

Думаю, все проще. Осознание того факта, что числа, выражения, функции,..., вся математика - лишь инструмент в физике (хотя и жизненно важный), приходит не сразу. В школе этому не учат, да и в ВУЗах наверняка не везде рассказывают. Поэтому задание этих вопросов тем, кто задумывается немного глубже, чем его учили, естественно.

Причем чем раньше начинает использоваться некоторое понятие (например, числами начинают оперировать в дошкольном возрасте), тем радикальнее может оказаться отличие взглядов, сформировавшихся при первичном знакомстве и тех, которые приходят позже. И тем сложнее может оказаться смена восприятия.

[Munin]

nestoklon в сообщении #245983 писал(а):

В том-то и прикол. По мне, на число умножать проще.

По мне, тоже проще, но что это на самом деле умножение на оператор - помнить невредно. Просто умножение на оператор в базисе этого оператора есть умножение на число, что ж тут такого.

ewert в сообщении #246009 писал(а):

Это правильно, что робко. Нету в этом месте никаких операторов. Зачем Вы это написали?...

$U=L\frac{d}{dt}I$
$U=\frac{1}{C}\int dt\,I$
$U=RI$
и так далее, для более сложных схем получаются комбинации от этих операторов. Типичный результат - свёртка с ядром, составленным из нескольких экспонент. Причём все эти результаты продолжают иметь место и для установившихся синусоидальных сигналов.

Someone
+1. Суть применения комплексных чисел, как и векторов - в экономности записи. И это очень немало.

ewert в сообщении #246052 писал(а):

Это всё ж-таки некий экстремизм. Есть, воистину есть некая принципиальная разница между "обычными" числами (вещественными и далее по нисходящей) и комплексными: первые -- упорядочены, вторые же -- нет. А все наши рецепторы ориентированы именно на упорядоченность. Потому первые для нас и привычнее.

Наши органы чувств ориентированы на локальную упорядоченность, так что им пофиг, лишь бы значения принадлежали хоть какому-нибудь гладкому многообразию.

ewert в сообщении #246052 писал(а):

Далеко не все закономерности в природе аналитичны.

Сказал великий, блин, знаток природы. Как раз чем дальше теорфизика в природу углубляется, тем меньше там неаналитических закономерностей остаётся. Доходило до того, что аналитичность просто постулировалась, и из неё делались выводы, подтверждавшиеся экспериментами (теория аналитической S-матрицы, третья четверть 20 века).

-- 24.09.2009 19:32:58 --

Quantrinas в сообщении #246098 писал(а):

Это-то конечно. Но ведь фазовые эффекты типа Джозефсона при этом будут совсем невнятно сформулированы. Как эпициклы Птолемея.

Почему? Они будут сформулированы топологически, как и должны быть. Есть некоторое множество возможных результатов интерференции (не будем называть его комплексной плоскостью), на нём и возможны циклы, зацеплённые за дырку ($n$ раз). Кстати, я вот в "В мире науки" за какие-то 70-е-80-е года видел статью о топологии режимов сердцебиения, там тоже была плоскость с дыркой, если удар током выводит из дырки - сердце бьётся, если вводит в дырку - дёргается и биться перестаёт. Чем топологические методы хуже комплексно-аналитических (тем более что они близкие родственники)?

[ewert]

Munin в сообщении #246217 писал(а):

Наши органы чувств ориентированы на локальную упорядоченность,

, а комплексные числа не упорядочены даже и локально и ни в каком смысле.

Munin в сообщении #246217 писал(а):

Доходило до того, что аналитичность просто постулировалась,

Ну и постулируйте аналитичность какого-нить скачка теплопропроводности на границе двух сред (к примеру), а мы поглядим, что из этого выйдет.

[Quantrinas]

Munin в сообщении #246217 писал(а):

Чем топологические методы хуже комплексно-аналитических (тем более что они близкие родственники)?

Хороший вопрос. Наверное тем, что физики не тянутся к строгости, а тянутся к простоте. Например, говорят, что уравнение Шредингера есть результат действия некоторого (дифференциального) оператора на комплексную волновую функцию. Как это будет звучать топологически?

[ewert]

Quantrinas в сообщении #246231 писал(а):

Как это будет звучать топологически?

Никак. Физики действуют в гильбертовых пространствах, топологические им мало интересны.

[Quantrinas]

ewert в сообщении #246236 писал(а):

Никак.

Ну а тогда о чём спор? Значит комплексные числа адекватны природе в этом вопросе, а уж почему - это другой вопрос.

[ewert]

Quantrinas в сообщении #246239 писал(а):

Значит комплексные числа адекватны природе в этом вопросе,

Да не природе они адекватны, а нашим представлениям о природе. Т.е. мы (ура!) обнаружили некий матаппарат, который достаточно адекватно обрисовывает окружающую реальность.

Ну а не обнаружили бы -- что ж; поискали б чего-нибудь другого.

[Munin]

ewert в сообщении #246223 писал(а):

, а комплексные числа не упорядочены даже и локально и ни в каком смысле.

Я повёлся и употребил вслед за вами слово "упорядоченность". Сами вы его применяете неформально (в применении к органам чувств), а от собеседников требуете точности. Перебьётесь. Органы чувств никакой упорядоченности (в точном смысле) не воспринимают.

ewert в сообщении #246223 писал(а):

Ну и постулируйте аналитичность какого-нить скачка теплопропроводности на границе двух сред (к примеру), а мы поглядим, что из этого выйдет.

Избирательная глухота - болезнь неизлечимая. Я же сказал, речь о фундаментальных свойствах, а теплопроводность сред к таким, очевидно, не относится.

ewert в сообщении #246236 писал(а):

Никак. Физики действуют в гильбертовых пространствах, топологические им мало интересны.

Не говорите о том, чего не знаете.

[ewert]

Munin в сообщении #246244 писал(а):

Я же сказал, речь о фундаментальных свойствах, а теплопроводность сред к таким, очевидно, не относится.

Фундаментальность никому не интересна, интересен лишь конкретный счёт. В котором аналитичность как таковая -- не проявляется (несмотря на её, действительно, красоту).

И вообще: чего Вы завелись-то?...

[t3rmin41]

Цитата:

Фундаментальность никому не интересна

Не скажите. Из фундаментальностей как раз и получается конкретный "счёт". Точнее, фундаментальность позволяет упорядочить конкретные случаи.

[Munin]

ewert в сообщении #246250 писал(а):

Фундаментальность никому не интересна

Нет уж, говорите только за себя, вам не интересна. А вы, в свою очередь, по этой причине неинтересны мне. Как свысока и наплевательски относящийся к целям и задачам физики.

ewert в сообщении #246250 писал(а):

интересен лишь конкретный счёт. В котором аналитичность как таковая -- не проявляется (несмотря на её, действительно, красоту).

Вот в конкретном счёте - проявляется. Когда берут подгоночную функцию общего вида, и отбрасывают неаналитические слагаемые. И смотрят, какая аппроксимация лучше. Ну почему вы суётесь обсуждать темы, которых не знаете? Я не сомневаюсь, что аналитичность вам знакома лучше, чем мне, но физические расчёты...

ewert в сообщении #246250 писал(а):

И вообще: чего Вы завелись-то?...

Вы поменьше высокомерной чуши порите, тогда я и заводиться не буду.