2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение19.09.2009, 17:51 


10/03/07
479
Москва
Принципиально и в математике можно обойтись без комплексных чисел, заменив их "упорядоченными парами" вещественных.

Истинная сила комплексных чисел в алгебре (существование корней у любого алгебраического уравнения) и в анализе (аналитические функции с массой полезных свойств) --- тут комплексные числа дают вещественным огромную фору.

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение19.09.2009, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
peregoudov в сообщении #244786 писал(а):
Принципиально и в математике можно обойтись без комплексных чисел, заменив их "упорядоченными парами" вещественных.

Только в математике эти развлечения заканчиваются выводом, что построенная конструкция изоморфна комплексным числам, а значит, ими и называется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение19.09.2009, 22:45 


10/03/07
479
Москва
Так ведь и желанию автора темы построить "физику без комплексных чисел" тоже нельзя дать рационального объяснения. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение19.09.2009, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не, правильно человек мыслит, проверяет предоставляемые ему конструкции на прочность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 16:57 


27/03/06
122
Маськва
t3rmin41 в сообщении #244755 писал(а):
То есть, из всего вышесказанного, я делаю вывод, что принципиально в физике без комплексных переменных можно обойтись (например, заменив их векторами). Другое дело, что комплексные величины упрощают расчёты. Так выходит?

Предлагаю начать с простейшего. Возьмем осцилятор $m\ddot x+kx=0$. Сумеете найти уравнение движения без комплексных чисел - можно продолжить. Нет - говорить не о чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 20:17 
Аватара пользователя


05/08/09

1661
родом из детства
Так не прокатит, положим $x=sin(A \cdot z)$, затем решим уравнение относительно $A$... И всё... Чем это хуже подстановки $x=e^{iAz}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 20:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Lyoha в сообщении #245231 писал(а):
Предлагаю начать с простейшего. Возьмем осцилятор $m\ddot x+kx=0$. Сумеете найти уравнение движения без комплексных чисел - можно продолжить.

Я сумею, притом тривиально. И даже в любой размерности. Это к тому, что контрпример -- явно неудачен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 20:45 


27/03/06
122
Маськва
Comanchero в сообщении #245285 писал(а):
Так не прокатит, положим $x=sin(A \cdot z)$, затем решим уравнение относительно $A$... И всё... Чем это хуже подстановки $x=e^{iAz}$ ?

Оба варианта - подстановка известного ответа, а не решение. Для такой физики - да, ни комплексные числа, ни интегралы с производными не нужны. Только задачник с ответами.
ewert в сообщении #245289 писал(а):
Я сумею, притом тривиально. И даже в любой размерности. Это к тому, что контрпример -- явно неудачен.

Ну давай, посмотрим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 20:47 


28/09/08
168
Lyoha в сообщении #245231 писал(а):
t3rmin41 в сообщении #244755 писал(а):
То есть, из всего вышесказанного, я делаю вывод, что принципиально в физике без комплексных переменных можно обойтись (например, заменив их векторами). Другое дело, что комплексные величины упрощают расчёты. Так выходит?

Предлагаю начать с простейшего. Возьмем осцилятор $m\ddot x+kx=0$. Сумеете найти уравнение движения без комплексных чисел - можно продолжить. Нет - говорить не о чем.


Между прочим, в физике это уравнение запишется как
$x(t)=Ae^{j (\omega t+\phi)}$ но имется в виду будет только реальная часть решения, т.е. $x(t)=A \cos {(\omega t+\phi)}$ так как мнимую часть измерить невозможно. Отобразить - да, можно, с помощью плоскости $Re-Im$, но не измерить.

До меня начинает доходить смысл комплексных величин в физике. Приведу пример, может я буду неправ, тогда поправьте меня:
допустим, имеем силу тока, которая изменяется как
$i(t)=I_0 \cos{(\omega t+\phi)}$. На экране осциллографа мы увидим косинусоиду. Но если представить это в записи
$i(t)=I_{0}e^{j (\omega t+\phi)}$ то мы можем думать, что в те интервалы, когда реальная часть (косинусоида) уменьшается, то мнимая (синусоида) увеличивается, и наоборот. Когда например, у косинусоиды пик $\omega t+\phi=0;\pi$, то синусоида равна нулю $\sin{(0)}=\sin{(\pi)}=0$, и наоборот. На самом-то деле только косинусоида уменьшается-увеличивается, но у нас как бы получается синхронное увеличение-уменьшение реальной и мнимой частей.
Зато если мы захотим измерить квадрат амплитуды (что есть величина реальная), то мы это сделать сможем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 20:53 
Аватара пользователя


05/08/09

1661
родом из детства
t3rmin41 в сообщении #245295 писал(а):
Зато если мы захотим измерить квадрат амплитуды (что есть величина реальная), то мы это сделать сможем.

А амплитуда в физике величина нереальная? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 21:19 


28/09/08
168
Амплитуда-то реальная, но она не состоит из реальной и мнимой частей. То есть, и квадрат амлитуды не состоит из реальной и мнимой частей, есть ведь только реальные величины, но мы можем вместо того, чтобы ставить в аргумент косинуса $2\omega$, просто отнять от квадрата реальной части квадрат мнимой - получится то же самое. Человек-то может и то и другое сделать, но вот в электрических цепях удвоение циклической частоты (и просто частоты) не всегда желательно - там контур может быть не рассчитан на этот диапазон, греться схема начинает и т.д., а вот умножить сигнал на самого себя, повернуть фазу на $\frac{\pi}{2}$ - гораздо проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 21:27 


27/03/06
122
Маськва
t3rmin41 в сообщении #245295 писал(а):
Между прочим, в физике это уравнение запишется как
$x(t)=Ae^{j (\omega t+\phi)}$ но имется в виду будет только реальная часть решения, т.е. $x(t)=A \cos {(\omega t+\phi)}$ так как мнимую часть измерить невозможно. Отобразить - да, можно, с помощью плоскости $Re-Im$, но не измерить.


Нет, ответ будет именно $\cos(\omega t + \phi)$.

Цитата:
До меня начинает доходить смысл комплексных величин в физике. Приведу пример, может я буду неправ, тогда поправьте меня:
допустим, имеем силу тока, которая изменяется как
$i(t)=I_0 \cos{(\omega t+\phi)}$. На экране осциллографа мы увидим косинусоиду. Но если представить это в записи
$i(t)=I_{0}e^{j (\omega t+\phi)}$ то мы можем думать, что в те интервалы, когда реальная часть (косинусоида) уменьшается, то мнимая (синусоида) увеличивается, и наоборот. Когда например, у косинусоиды пик $\omega t+\phi=0;\pi$, то синусоида равна нулю $\sin{(0)}=\sin{(\pi)}=0$, и наоборот. На самом-то деле только косинусоида уменьшается-увеличивается, но у нас как бы получается синхронное увеличение-уменьшение реальной и мнимой частей.
Зато если мы захотим измерить квадрат амплитуды (что есть величина реальная), то мы это сделать сможем.

Мы имеем только действительную часть, синусы-косинусы. Бывает удобно перейти от них к комплексным экспонентам. Производные дадут поворот на 90 градусов, импеданс тоже хорошо впишется с комплексную модель. Но это - чисто математический приём перехода к другим функциям. Для получения ответа надо будет подставить начальные условия, перейдя обратно к действительным функциям. И амплитуда существует в данном случае только для действительной части, поэтому мощность получится именно по известному интегралу. Здесь как раз надо чётко разделять физику и математические методы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 21:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
t3rmin41 в сообщении #245312 писал(а):
То есть, и квадрат амлитуды не состоит из реальной и мнимой частей, есть ведь только реальные величины,

Между прочим, и "реальная" часть комплексного числа, и "ирреальная" -- суть обе величины "реальные" (сиречь вещественные). И амплитуда складывается (по соотв. правилу) именно из них. И ежели ни той, ни другой нет? -- то может, и амплитуды нет?... и может, и вообще никакой природы нет?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 21:46 


28/09/08
168
ewert, предлагаю вам тогда измерить на участке цепи переменного тока мнимую часть напряжения. Можно прямо в розетке у себя дома :]

-- Пн сен 21, 2009 22:49:21 --

Цитата:
Но это - чисто математический приём перехода к другим функциям.


Не спорю. И он очень полезен в электрических цепях, я уже написал почему.

Цитата:
Нет, ответ будет именно $\cos(\omega t + \phi)$.


Тогда уж $x(t)=2C_1\cos(\omega t+\phi)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Роль комплексных функций и переменных в физике.
Сообщение21.09.2009, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
t3rmin41 в сообщении #245323 писал(а):
ewert, предлагаю вам тогда измерить на участке цепи переменного тока мнимую часть напряжения. Можно прямо в розетке у себя дома :]

Берётся фазометр...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 93 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group