Задача о двух материальных точках

[Nik_Svan]

сюрреализм, однако.

[anik]

Частица в потенциале $k(x^2 + y^2 + z^2)/2$, это всё равно, что $kR^2/2$, где $R$ – расстояние от частицы до притягивающего центра, только у меня вместо $R$ введено обозначение $S_{C1}$ и $S_{C2}$.
Теперь, насчёт ситуаций в жизни.
Механику нужно решить практическую проблему. Он ставит физическую модель задачи. На основе этой физической модели, математик создаёт абстрактную математическую модель. Механика не интересуют эллиптические интегралы, комплексные плоскости и т.п., ему нужны готовые формулы и методика расчёта. Математика не интересуют проблемы, выходящие за рамки его абстрактной модели. Например, для математика частица может притягиваться к некоторому центру, как геометрической точке $O$, которая неподвижна. С точки зрения механика сила не может действовать на тело (материальную точку, частицу) из пустоты (так же как и невозможно подействовать силой на пустоту). Все фундаментальные силы – это силы взаимодействия, которые действуют только между материальными телами. Между физической и математической моделями возникает некоторый разрыв. В наиболее выраженном виде этот разрыв наблюдается в программировании. Программист отлично знает язык программирования, систему команд, алгоритмы и пр., но он не знает ни одной предметной области: бухгалтерия, медицина, машиностроение и т.п. Как может программист написать программы автоматизации работы, например, парового котла, где нужно регулировать температуру, уровень воды, давление пара, расходы пара, воды и топлива и т.д., если он не знает и не желает знать предметную область, теплотехнику, например. А специалисту по термодинамике чужды понятия связанные с программированием. Наверняка у них ничего толкового не получится, пока они не выйдут за рамки своей «узкой специализации».
Итак, для «трёхмерного осциллятора» факт постоянства скорости и равенства кинетической и потенциальной энергий это банальность. Перенесите эту банальность на конкретную физическую модель неограниченной задачи двух тел.

Munin в сообщении #239634 писал(а):

В жизни такие ситуации встречаются там, где одну задачу, конкретную и сложно формулируемую, можно свести к другой, абстрактной и хорошо известной.

Вот и попробуйте это сделать!

[Munin]

anik в сообщении #239888 писал(а):

Частица в потенциале $k(x^2 + y^2 + z^2)/2$, это всё равно, что $kR^2/2$, где $R$ – расстояние от частицы до притягивающего центра

Правильно. И движение такой частицы, как вам подсказал ewert, - эллипс. И в "Механике" Ландау-Лифшица (и разумеется, много ещё где) подробно рассказывается, почему.

anik в сообщении #239888 писал(а):

Механика не интересуют эллиптические интегралы, комплексные плоскости

Это вы описываете идиота, а не механика. Если хотите - можете на такого идиота равняться. А в жизни "механик", который не знает, что такое резонансная частота - это не механик. У него первый же редуктор на кусочки развалится.

anik в сообщении #239888 писал(а):

Например, для математика частица может притягиваться к некоторому центру, как геометрической точке $O$, которая неподвижна. С точки зрения механика сила не может действовать на тело (материальную точку, частицу) из пустоты (так же как и невозможно подействовать силой на пустоту).

С точки зрения механика (а не идиота) это - базовая задача, которую надо уметь решать, и хорошо уметь, потому что к ней сводятся многие другие, более "практические", но решаемые тем же самым способом. И кстати, не только механические, чем обусловлено особое место механики в теоретической физике (теоретической механики, разумеется, если что).

anik в сообщении #239888 писал(а):

Все фундаментальные силы – это силы взаимодействия, которые действуют только между материальными телами.

Это вы заблуждаетесь, по той простой причине, что ни черта не знаете о фундаментальных силах. А чтобы о них что-то узнать, надо изучить всерьёз механику (и не по вашим рецептам "механики для идиотов"), а потом многие другие разделы физики, да и математики заодно.

anik в сообщении #239888 писал(а):

Итак, для «трёхмерного осциллятора» факт постоянства скорости и равенства кинетической и потенциальной энергий это банальность. Перенесите эту банальность на конкретную физическую модель неограниченной задачи двух тел.

Не переносиццо :-) Потому что есть отличия.

anik в сообщении #239888 писал(а):

Munin в сообщении #239634 писал(а):

В жизни такие ситуации встречаются там, где одну задачу, конкретную и сложно формулируемую, можно свести к другой, абстрактной и хорошо известной.

Вот и попробуйте это сделать!

Да мне-то это зачем? Я это и так постоянно делаю, но в другой области. А механику, в отличие от вас, я изучил тщательно и по хорошим изложениям (учебники, лекции), и в ситуациях, которые вы предлагаете к рассмотрению, заранее знаю ответ, так что они мне неинтересны. Они интересны вам как учебные - вот вы их и разбирайте. Хотя лучше бы, чесслово, проштудировали бы учебники насквозь, не забегая вперёд, и решая задачи так, как там описано. Подчеркну: учебники по механике, а не по технической дисциплине гироскопике (или гироскопистике, не знаю, как правильно). А то вы задачу хватаете из одного места, решаете методом из другого, а слова при этом произносите третьи, абсурдные и сами по себе, и применительно к контексту (которого вы высокомерно не читаете: не царское это дело разбирать каждое слово, которое Геронимус написал, может, он там перо расписывал, а не важное что-то донести пытался).

[PapaKarlo]

anik в сообщении #239888 писал(а):

В наиболее выраженном виде этот разрыв наблюдается в программировании. Программист отлично знает язык программирования, систему команд, алгоритмы и пр., но он не знает ни одной предметной области: бухгалтерия, медицина, машиностроение и т.п.

Это Вы рассказываете про американского программиста - там под этим понимают человека, занимающегося кодированием конкректных алгоритмов. Для этого не нужно высшее образование. Такое себе ремесленничество. Только для реализации проекта необходимы еще несколько специалистов, более выского уровня. И им без предметных знаний не обойтись. Разумеется, их предметные знания далеко не всегда будут столь глубоки, как у специалиста в предметной области. Но тот, кто не разбирается вообще в предметной области, останется ремесленником.

Программист, который "отлично знает алгоритмы", но не понимает области, в которой он эти алгоритмы применяет - это как бразильские студенты, которых Фейнман учил в свое время и описывал потом: излагают как по писанному, но стоит сформулировать ту же задачу словами не из учебника/лекций, как они ничего более сказать не могут. Не образец для подражания, уж тем более - не пример для аргументации.

То же самое можно распространить на любую область, находящуюся на стыке двух или более дисциплин.

[Munin]

PapaKarlo в сообщении #239917 писал(а):

Это Вы рассказываете про американского программиста

Не надо. И у нас такие "праграмисты" встречаются, и в Америке за настоящих программистов не считаются, об них только ноги вытирают. Тут из-за многочисленных контактов ситуация более-менее равновесная, в том числе по оценкам. Просто anik пытается вырожденные, ненормальные случаи выдавать за норму - вот его личное незнакомство с жизнью, скорее всего, провинциальность, мы можем диагностировать. А за Америку говорить не надо.

[PapaKarlo]

Munin в сообщении #239921 писал(а):

И у нас такие "праграмисты" встречаются, и в Америке за настоящих программистов не считаются

Нет-нет, я вовсе не в уничижительном смысле. Именно о сути - кодировщик. Впрочем, я могу и ошибаться, но тем не менее, я имел в виду в первую очередь определенную работу, выполняемую программистом, а не его отношение к профессии.

[Munin]

Такие в основном не в Америке, а в Индии. И называются они именно coder. Впрочем, это всё офтопик... впрочем, к "впрочем", в этой теме топик не заслуживает уважения...

[anik]

Задача двух тел.
Рассмотрим эту задачу в общей постановке. Поскольку в ней не рассматриваются собственные кинетические моменты тел, то по существу это задача о движении двух материальных точек взаимодействующих по закону:

$F_{12} = F_{12}(t)$ (1)

Полагается, что функция (1) непрерывна и имеет непрерывные производные. Мы не будем ограничиваться видом функции (1) и отношением масс $m_1$ и $m_2$. Существенно отметить, что взаимодействие (1) это не вектор! Взаимодействие предполагает наличие двух векторов сил равных по модулю и противоположно направленных, т.е.

$\vec F_{12} + \vec F_{21} = 0$ (2)

, где $\vec F_{12}(\vec F_{21})$ сила, действующая на точку $m_1 (m_2)$ со стороны точки $m_2 (m_1)$. Чтобы ввести в рассмотрение векторы (сил, скоростей и т.п.) нужно предварительно определить систему отсчёта (координат) с осями которой можно было бы связать базисную тройку векторов. Чтобы пользоваться законами Ньютона необходимо, чтобы система отсчёта была инерциальная.
Будем исходить из теоремы: система отсчёта, связанная с центром масс изолированной системы материальных точек, оси которой не вращаются в пространстве, является инерциальной системой отсчёта.
Если система двух точек изолирована, то главный момент внешних сил, действующих на систему равен нулю. Отсюда следует, что кинетический момент изолированной системы точек, есть постоянная величина.
Начальные условия движения системы зависят от наличия кинетического момента $\vec H$ системы.
Движение точек рассмотрим в полярной системе координат. Начало полярной системы координат совместим с центром масс системы. Если система обладает кинетическим моментом $\vec H$ ,что мы и будем предполагать, то прямая, проходящая через точки $m_1, m_2$, поворачивается с течением времени в пространстве. В момент времени $t = t_0$ эта прямая имеет вполне определённую ориентацию. Зададим на этой прямой направление от точки с меньшей массой, к точке с большей массой, и примем эту прямую за полярную ось. За положительное направление отсчёта полярного угла $\varphi$, примем поворот радиус-вектора точки от полярной оси против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора $\vec H$
Положение точек $m_i$ определяются полярными радиус-векторами $\vec R_i$, поскольку они проведены из центра масс, то:

$m_1\vec R_1 + m_2\vec R_2 = 0$ (3)

.
Дифференцируя (3) два раза, получим:

$m_1\vec\dot R_1 + m_2\vec\dot R_2 = 0$ (4)

,

$m_1\vec\ddot R_1 + m_2\vec\ddot R_2 = 0$ (5)

Равенство (4) выражает закон сохранения количества движения для изолированной системы, равенство (5) говорит о том, что сила действия равна и противоположно направлена силе противодействия.
Векторы $m_1\vec R_1$ и $m_2\vec R_2$ лежат на прямой, проходящей через точки $m_1, m_2$ и центр масс $C$. Векторы $m_1\vec\ddot R_1$ $m_2\vec\ddot R_2$ Лежат на этой же прямой, поскольку это силы взаимодействия и их линии действия проходят через центр масс. Векторы $m_1\vec R_1$ $m_2\vec R$коллинеарные, поскольку их векторная сумма (4) равна нулю, и лежат в плоскости содержащей точки $m_1, m_2$ следовательно, все эти векторы лежат в одной плоскости – плоскости движения. Эта плоскость нормальна вектору $\vec H$ , это следует из векторного равенства

$\vec H = \vec H_1 + \vec H_2 = \vec R_1\times m_1\vec R_1 + \vec R_2\times m_2\vec R_2$ (6)

.
Плоскость движения не поворачивается в инерциальном пространстве потому, что для изолированной системы $\vec H - const$ Заметим, что в (6) кинетические моменты $\vec H_1, \vec H_2$ постоянны т.к. сила, действующая на точку $m_1$ со стороны точки $m_2$ центральная и не может создать момента сил. То же самое справедливо и для точки $m_2$
Сформулируем задачу.
Дано: изолированная система двух точек с известными массами $m_1$ $m_2$ взаимодействующих по закону (1), имеет кинетический момент $\vec H$ Известно, что в момент времени $t = t_0$ расстояние между точками было равно $S_{12}(0)$.
Составить дифференциальные уравнения движения точки $m_2$.
Дифференциальные уравнения движения точки m2 можно получить, воспользовавшись теоремой Кориолиса и представив движение точки как сложное, состоящее из переносного и относительного движений. Для этого умножим ускорения по теореме Кориолиса на массу точки $m_2$, чтобы получить уравнение сил:

$m_2\vec w_{a2} = m_2\vec w_{e2} + m_2\vec w_{r2} + m_2\vec w_{k2}$ (7)

где: $m_2\vec w_{a2}$ - сила, действующая на точку $m_2$, которая обеспечена законом взаимодействия (1), направлена по радиусу;
$m_2\vec w_{e2}$ - сила, связанная с переносным движением, имеет две составляющие: по радиусу и перпендикулярно радиусу;
$m_2\vec w_{r2}$ - сила связанная с относительным движением, направлена по радиусу;
$m_2\vec w_{k2}$ - сила Кориолиса, направлена перпендикулярно радиусу.
Спроектируем векторное равенство (7) на направление вектора $\vec R_2$ и перпендикулярное ему. Учтём, что: "проекция вектора ускорения $w_a$ а какую-либо ось равнв алгебраической сумме проекций ускорений $\vec w_e, \vec w_r, \vec w_k$ на ту же ось" (Воронков И.М. "Курс теоретической механики"). Учтём, также, что сумма проекций сил на направление перпендикулярное радиусу $R_2$ равна нулю, т.к. мы знаем, что результирующая сила направлена по радиусу, и её линия действия лежит на прямой, проходящей через точки $m_1$ и $m_2$. Получим:
$ \left\{ \begin{array}{l} 2m_2\dot R_2\dot\varphi + m_2R_2\ddot\varphi = 0,\\ m_2R_2\dot\varphi^2 + m_2\ddot R_2 = F(t), \end{array} \right. $ (8).
Вопрос: что можно сказать по поводу полученных дифференциальных уравнений?

Я получил ответ на предыдущий вопрос, в уравнениях (8) была моя ошибка. Уравнения (8) должны быть такими:
$ \left\{ \begin{array}{l} 2\dot R_2\dot\varphi + R_2\ddot\varphi = 0,\\ m_2\ddot R_2 - m_2R_2\dot\varphi^2 = F(t), \end{array} \right. $ (8).

[Nik_Svan]

anik писал(а):

Задача двух тел...

Вам сначала следует уразуметь задачу об одном теле, а именно задачу о материальной точке.

[jetyb]

Жуть. Эта задача решается в пять строчек без всяких моментов и вращающихся систем отсчета.

[anik]

Вопрос: что можно сказать по поводу полученных дифференциальных уравнений?

[jetyb]

В уравнениях должны присутствовать только $R_1,\varphi$и $t$. Мне неясно, что вы понимаете под $F(t)$. А пока на глазок мне не нравится асимметрия между $R_1$ и $R_2$, $m_1$ и $m_2$. Правильность составления не проверял.

[anik]

У меня была описка, в первом члене первого уравнения должно быть $2m_2\dot R_2\dot\varphi$, а было $2m_2\dot R_1\dot\varphi$. Я откорректировал это сообщение.
Во втором уравнении вместо $m_2R_2\dot\varphi^2$, было $m_2 R_2\varphi^2$. Прошу прощения, я ещё раз откорректировал сообщение.
-- Пт сен 04, 2009 18:53:43 --

jetyb в сообщении #240477 писал(а):

В уравнениях должны присутствовать только $R_1,\varphi$и $t$. Мне неясно, что вы понимаете под $F(t)$. А пока на глазок мне не нравится асимметрия между $R_1$ и $R_2$, $m_1$ и $m_2$. Правильность составления не проверял.

Под $F_{12}(t)$ я понимаю зависимость сил взаимодействия от времени, вместо $F_{12}(t)$ можно подставить позиционную силу, (зависящую от расстояния): пропорциональную этому расстоянию, обратно пропорциональную квадрату расстояния или какую-нибудь другую зависимость силы от времени. От какой бы координаты сила ни зависила, она всё равно зависит от времени.
Поскольку полярная ось направлена от центра масс к точке $m_2$, то составлены дифференциальные уравнения движения точки $m_2$ вокруг центра масс. Чтобы получить дифференциальные уравнения движения точки $m_1$, Нужно в приведённых уравнениях везде заменить индекс 2 на индекс 1, и к углу $\varphi$добавить величину $\pi$.
Первое уравнение из (8) можно сократить на $m_2$.

[Vallav]

anik в сообщении #240480 писал(а):

У меня была описка, в первом члене первого уравнения должно быть $2m_2\dot R_2\dot\varphi$, а было $2m_2\dot R_1\dot\varphi$. Я откорректировал это сообщение.

Если исправить ошибку во втором уравнении, то можно сказать
следующее - это всего навсего - второй закон Ньютона,
записанный для точки, движущейся в центральном поле сил. То есть $m\vec a=\vec F $.
Но записанный в полярных координатах.

[anik]

Vallav в сообщении #240505 писал(а):

Если исправить ошибку во втором уравнении, то можно сказать

Да, я её исправил.