Задача двух тел.
Рассмотрим эту задачу в общей постановке. Поскольку в ней не рассматриваются собственные кинетические моменты тел, то по существу это задача о движении двух материальных точек взаимодействующих по закону:
Полагается, что функция (1) непрерывна и имеет непрерывные производные. Мы не будем ограничиваться видом функции (1) и отношением масс
и
. Существенно отметить, что взаимодействие (1) это не вектор! Взаимодействие предполагает наличие двух векторов сил равных по модулю и противоположно направленных, т.е.
, где
сила, действующая на точку
со стороны точки
. Чтобы ввести в рассмотрение векторы (сил, скоростей и т.п.) нужно предварительно определить систему отсчёта (координат) с осями которой можно было бы связать базисную тройку векторов. Чтобы пользоваться законами Ньютона необходимо, чтобы система отсчёта была инерциальная.
Будем исходить из теоремы: система отсчёта, связанная с центром масс изолированной системы материальных точек, оси которой не вращаются в пространстве, является инерциальной системой отсчёта.
Если система двух точек изолирована, то главный момент внешних сил, действующих на систему равен нулю. Отсюда следует, что кинетический момент изолированной системы точек, есть постоянная величина.
Начальные условия движения системы зависят от наличия кинетического момента
системы.
Движение точек рассмотрим в полярной системе координат. Начало полярной системы координат совместим с центром масс системы. Если система обладает кинетическим моментом
,что мы и будем предполагать, то прямая, проходящая через точки
, поворачивается с течением времени в пространстве. В момент времени
эта прямая имеет вполне определённую ориентацию. Зададим на этой прямой направление от точки с меньшей массой, к точке с большей массой, и примем эту прямую за полярную ось. За положительное направление отсчёта полярного угла
, примем поворот радиус-вектора точки от полярной оси против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора
Положение точек
определяются полярными радиус-векторами
, поскольку они проведены из центра масс, то:
.
Дифференцируя (3) два раза, получим:
,
Равенство (4) выражает закон сохранения количества движения для изолированной системы, равенство (5) говорит о том, что сила действия равна и противоположно направлена силе противодействия.
Векторы
и
лежат на прямой, проходящей через точки
и центр масс
. Векторы
Лежат на этой же прямой, поскольку это силы взаимодействия и их линии действия проходят через центр масс. Векторы
коллинеарные, поскольку их векторная сумма (4) равна нулю, и лежат в плоскости содержащей точки
следовательно, все эти векторы лежат в одной плоскости – плоскости движения. Эта плоскость нормальна вектору
, это следует из векторного равенства
.
Плоскость движения не поворачивается в инерциальном пространстве потому, что для изолированной системы
Заметим, что в (6) кинетические моменты
постоянны т.к. сила, действующая на точку
со стороны точки
центральная и не может создать момента сил. То же самое справедливо и для точки
Сформулируем задачу.
Дано: изолированная система двух точек с известными массами
взаимодействующих по закону (1), имеет кинетический момент
Известно, что в момент времени
расстояние между точками было равно
.
Составить дифференциальные уравнения движения точки
.
Дифференциальные уравнения движения точки m2 можно получить, воспользовавшись теоремой Кориолиса и представив движение точки как сложное, состоящее из переносного и относительного движений. Для этого умножим ускорения по теореме Кориолиса на массу точки
, чтобы получить уравнение сил:
где:
- сила, действующая на точку
, которая обеспечена законом взаимодействия (1), направлена по радиусу;
- сила, связанная с переносным движением, имеет две составляющие: по радиусу и перпендикулярно радиусу;
- сила связанная с относительным движением, направлена по радиусу;
- сила Кориолиса, направлена перпендикулярно радиусу.
Спроектируем векторное равенство (7) на направление вектора
и перпендикулярное ему. Учтём, что: "проекция вектора ускорения
а какую-либо ось равнв алгебраической сумме проекций ускорений
на ту же ось" (Воронков И.М. "Курс теоретической механики"). Учтём, также, что сумма проекций сил на направление перпендикулярное радиусу
равна нулю, т.к. мы знаем, что результирующая сила направлена по радиусу, и её линия действия лежит на прямой, проходящей через точки
и
. Получим:
.
Вопрос: что можно сказать по поводу полученных дифференциальных уравнений?
Я получил ответ на предыдущий вопрос, в уравнениях (8) была моя ошибка. Уравнения (8) должны быть такими:
.