Полное решение континуум-проблемы

[Alexey Romanov]

Инт в сообщении #233688 писал(а):

в аксиомы поля аксиомы порядка не входят.

В аксиомы поля -- не входят. В аксиомы поля действительных чисел -- входят.

Если аксиомы порядка не выполняются, то какой смысл обозначать такое отношение $<$?

Инт в сообщении #233688 писал(а):

Если же рассматривать только сравнимые числа, то вообще всё нормально.

Сравнимые с чем?

[Инт]

Я согласен с тем, что про аксиомы порядка так же надо было упомянуть.

Alexey Romanov в сообщении #233696 писал(а):

Сравнимые с чем?

Сравнимые друг с другом.

[Alexey Romanov]

Инт в сообщении #233701 писал(а):

Сравнимые друг с другом.

1. Подмножеств сравнимых друг с другом чисел из этого множества можно выбрать сколько угодно; какое именно?
2. Если два числа входят в такое множество, это ещё не значит, что туда будут входить, например, их сумма или разность, так что могут нарушиться другие аксиомы поля. Пример: $2$ сравнимо c $j$, но несравнимо с $2 + j$.

[rishelie]

Проще все-таки через ультрафильтр строить Тогда они все сравнимы. Правда, ультрафильтров много...
К тому же, гипердействительным числом будет не последовательность, а класс эквивалентных последовательностей.

Инт, а какова все-таки цель этих дебатов?

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #233731 писал(а):

Проще все-таки через ультрафильтр строить Тогда они все сравнимы. Правда, ультрафильтров много...
К тому же, гипердействительным числом будет не последовательность, а класс эквивалентных последовательностей.

У него там какое-то странное определение, с равенством нулю предела. Он пишет $f \ll g$ совсем не в том смысле, в каком мы использовали это обозначение в соседней ветке.

[Инт]

rishelie в сообщении #233731 писал(а):

Проще все-таки через ультрафильтр строить Тогда они все сравнимы. Правда, ультрафильтров много...
К тому же, гипердействительным числом будет не последовательность, а класс эквивалентных последовательностей. Инт, а какова все-таки цель этих дебатов?

Про то, что гипердействительное число должно быть классом эквивалентности последовательностей, по существу и пояснялось. Цель для приложений, была такой, чтобы указать, как можно развивать неархмедов анализ, исходя из конкретной конструкции неархимедовой прямой.

-- Сб авг 08, 2009 20:58:57 --

Профессор Снэйп в сообщении #233752 писал(а):

У него там какое-то странное определение, с равенством нулю предела. Он пишет $f \ll g$ совсем не в том смысле, в каком мы использовали это обозначение в соседней ветке.

Ничего странного. Если последовательность не есть тождественный нуль и стремится к нулю, то её класс эквивалентности представляет ненулевое бесконечно малое число - бесконечно малую.

-- Сб авг 08, 2009 21:27:58 --

Alexey Romanov в сообщении #233726 писал(а):

1. Подмножеств сравнимых друг с другом чисел из этого множества можно выбрать сколько угодно; какое именно?
2. Если два числа входят в такое множество, это ещё не значит, что туда будут входить, например, их сумма или разность, так что могут нарушиться другие аксиомы поля. Пример: $2$ сравнимо c $j$, но несравнимо с $2 + j$.

Коротко сформулировать какое множество подходит для того, чтобы можно было развивать алгебру сравнимых величин, похоже нельзя. Можно строить по шагам. В качестве начального множества берём множество стационарных последовательностей. Затем, вводим какую-нибудь фиксированную бесконечно малую $\epsilon$. Производим все операции, которые можно произвести с этой бесконечно малой и с обычными действительными числами так, чтобы при операциях получались сравнимые величины. Затем, вводим другую бесконечно малую по таким же принципам. И т.д. Аналогично для бесконечно больших. Для несравнимых чисел аксиомы поля выполнить, видимо, проще. Аксиомы поля для гипердействительных чисел как для функций на натуральном ряду, вроде, не должны нарушаться при введении всё новых и новых функций. Хотя, Вы мою веру поколебали. Когда-то всё проверял, всё сошлось. Может быть я действительно, что упустил.

[rishelie]

Инт в сообщении #233793 писал(а):

Цель для приложений, была такой, чтобы указать, как можно развивать неархмедов анализ, исходя из конкретной конструкции неархимедовой прямой.

А я думал, это мы все к тому заявлению (http://sibmathnet.narod.ru/art_001.htm) подходим насчет того, что "мощность действительной прямой больше мощности любого вполне упорядоченного множества. Т.е. из аксиом следует, что континуум сколь угодно долго можно приводить в состояние вполне порядка, но этот процесс так и останется незавершённым".

-- Сб авг 08, 2009 23:31:11 --

Профессор Снэйп в сообщении #233752 писал(а):

У него там какое-то странное определение, с равенством нулю предела. Он пишет $f \ll g$ совсем не в том смысле, в каком мы использовали это обозначение в соседней ветке.

ну, это все-таки понятнее, чем сравнение "линий в секторе" по их "концам" или как-то так. Я вот все пытаюсь дочитать про это до конца...

[Инт]

rishelie в сообщении #233864 писал(а):

А я думал, это мы все к тому заявлению (http://sibmathnet.narod.ru/art_001.htm) подходим насчет того, что "мощность действительной прямой больше мощности любого вполне упорядоченного множества. Т.е. из аксиом следует, что континуум сколь угодно долго можно приводить в состояние вполне порядка, но этот процесс так и останется незавершённым".

А почему линии такие сложные для Вас? Линию можно задать функцией, отображающей единичный интервал в плоскость.

Теперь поясняю откуда следует утверждение о невозможности вполнеупорядочить континуум: Независимо от множества $HC$ определяется континуум $C_1$, как множество двоичных последовательностей длины $\aleph_1$. В множестве $C_1$ выделяется подмножество гиперрациональных чисел $B$, которое есть аналог множества рациональных чисел. Множество $B$ обладает всё теми же свойствами I и II. В множестве $HC$, используя свойства I и II, выделяется некоторое подмножество $HQ$, удовлетворяющее, с одной стороны, так же свойствам I и II, а с другой стороны, элементы $HQ$ взаимно однозначно и с сохранением порядка ставятся в соответствие элементам множества $B$. В результате, можно считать, что на границе сектора $D$ расположилась гиперпрямая $C_1$. В точках этой гиперпрямой, т.е. в точках множества $B$, заканчиваются линии множества $HQ$. Это последнее, есть факт канонической теории множеств, и если хотите факт математического анализа. Естественно после этого выдвинуть гипотезу, что по сектору $D$ можно провести линии и в остальные точки гиперпрямой $C_1$, т.е. не только в точки множества $B$. Такая гипотеза формулируется в виде аксиомы II. Мощность множества $C_1$ равна $2^{\aleph_1}$. Число линий множества $HC$ равно $2^{\aleph_0}$. Следовательно, $2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0} > \aleph_1$. Т.е. указанная гипотеза, т.е. аксиома II не может быть совместна с континуум-гипотезой Кантора. Видно, что свойства I и II можно обобщать, увеличивая мощность указанных там множеств. Отсюда, можно, хотя бы предположить, что на границе сектора $D$ располагаем в том числе одномерный континуум не только мощности $2^{\aleph_1}$, но мощности $2^{\aleph_2}, 2^{\aleph_3}$ и т.д. В итоге, $2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_{\nu}} > \aleph_{\nu}$, где $\nu$ - произвольный ординал. Результат $2^{\aleph_0} > \aleph_{\nu}$ независимо вытекает из аксиомы III, которая использует весьма простую трансформацию сектора $D$, сводящуюся к тому, что: 1) $\aleph_1$ линий, вполнеупорядоченных по отношению сравнения, которое для линий было определено, и заканчивающихся на дуге $C$, после трансформации, так же будут заканчиваться на этой дуге; 2)концы линий располагаются на дуге $C$ во вполне порядке и предельная точка для этих концов «вытягивается» в результате трансформации в отрезок; 3) трансформация непрерывна во внутрености сектора $D$. Пользуясь указанной трансформацией, можно указать ещё одну линию, не равную ни одной из указанных $\aleph_1$ линий. Такое извлечение всё новых и новых линий можно продолжать без ограничений, до любого кардинала. Благодоря своей очевидности, аксиомы II и III разрешают континуум-проблему, и именно по существу. Однако, для окончательного решения вопроса требуется построить необходимые линии каноническими, классическими методами математики. Это последнее делается в §5.

[Инт]

nikov в сообщении #233374 писал(а):

доказательство Коэна проводится в расширенной системе, состоящей из аксиом ZFC + "ZFC непротиворечива". Эта одна из тех систем, которые Коэн называет естественными расширениями ZFC. ... процесс расширения можно продолжать неограниченно (и при этом, по словам Коэна, получаются интуитивно истинные системы аксиом), нет никаких оснований предполагать, что в одном из таких расширений не обнаружится доказательство континуум-гипотезы (или ее отрицания).

Каким образом аксиома о непротиворечивости теории может дать какое-то средство разрешения задач? Вряд ли ведь, что она несёт новую информацию. Есть ли примеры, разрешения задачи с помощью такой аксиомы? Думаю, в случае с Коэном всё гораздо хуже. Его рассуждения есть набор условностей, принятых по мотивам, не относящимся к математике. Т.е. попросту говоря, выводы Коэна - ложны. Доказательство в §5 это окончательно устанавливает.

[rishelie]

Инт в сообщении #234020 писал(а):

Каким образом аксиома о непротиворечивости теории может дать какое-то средство разрешения задач? Вряд ли ведь, что она несёт новую информацию. Есть ли примеры, разрешения задачи с помощью такой аксиомы?

Утверждение о непротиворечивости говорит о наличии модели ZFC внутри ZFC, т.е. некоторого множества и отношения на нем, удовлетворяющим аксиомам ZFC (отношение соответствует отношению принадлежности). На основании этой модели строится модель, где КГ верна, и другая модель, где она не верна. Из чего делается вывод о ее независимости от ZFC.

Если правильно помню, пример с геометрией, где нарушается 5 постулат Евклида, строится на евклидовой же плоскости в круге. Тем самым, непротиворечивость геометрии Евклида влечет непротиворечивость геомерии Лобачевского. Впрочем, может быть, для построения той модели пятый постулат и не нужен, т.е. модель для неевклидовой геометрии строится при условии непротиворечивости первых четырх аксиом. Если же предположение о непротиворечивости отбрасывать вовсе, то тогда смысл доказательства теряется, ибо в противоречивой системе можно доказать любое суждение - как независомость 5 постулата (или гипотезы континуума), так и его выводимость или противоречивость.

[Инт]

rishelie в сообщении #234193 писал(а):

Утверждение о непротиворечивости говорит о наличии модели ZFC внутри ZFC, т.е. некоторого множества и отношения на нем, удовлетворяющим аксиомам ZFC (отношение соответствует отношению принадлежности). На основании этой модели строится модель, где КГ верна, и другая модель, где она не верна. Из чего делается вывод о ее независимости от ZFC.

Так выявляются логически независимые утверждения, и это не ответ на мой вопрос, т.е. не пример разрешения задачи. При построении модели Пуанкаре для неевклидовой плоскости предположение о непротиворечивости евклидовой геометрии никак не используется, хотя подразумевается просто потому, что противоречивая теория делает всё бессмысленным. Но такая непротиворечивость подразумевается и просто при развитии любой другой теории, например, при развитии евклидовой геометрии. А вот как можно использовать предположение о непротиворечивости евклидовой геометрии для разрешения её задач? Думаю, что никак.

[rishelie]

для задач, не связанных с непротиворечивостью, никак. вообще, утверждение о совместности той или иной теории, вроде как, отностися к метаязыку теории. тут лучше пусть Профессор Снэйп пояснит или AGu.

[Инт]

Согласен. Но приведу и то, что писал в дополнение. Допустим, в какой-то метатеории (не имеет значения в какой) выражены аксиомы теории множеств и введён предикат Д(Ф), которой означает формула Ф доказуема. Утверждение о непротиворечивости теории можно сформулировать так: не Д(0), где 0 - тождественно ложное высказывание. Интуитивно, такое высказывание - простая тавтология. В самом деле, рассуждаем от противного: Предположим, что Д(0), тогда верно 0. Противоречие. Следовательно, верно не Д(0). Ну ладно, пусть так, ну и что? Ясно, что такой ход не может дать полезной информации о математических объектах теории. В лучшем случае, могут быть доказаны какие-то новые теоремы, использующие символ Д, но не более. Однако, разрешения то требуют формулы, не использующие символ Д.

[Droog_Andrey]

Инт в сообщении #233873 писал(а):

$2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0}$

Если я правильно понял, этот результат получен Вами в предположении о справедливости аксиомы ограниченного (мощностью континуума) выбора, верно?

[Someone]

nikov в сообщении #233374 писал(а):

доказательство Коэна проводится в расширенной системе, состоящей из аксиом ZFC + "ZFC непротиворечива". Эта одна из тех систем, которые Коэн называет естественными расширениями ZFC. ... процесс расширения можно продолжать неограниченно (и при этом, по словам Коэна, получаются интуитивно истинные системы аксиом), нет никаких оснований предполагать, что в одном из таких расширений не обнаружится доказательство континуум-гипотезы (или ее отрицания).

Доказательство проводится средствами ZF без дополнительных предположений. То есть, средствами ZF строится модель, в которой выполняются дополнительные утверждения (аксиома выбора или её отрицание, континуум-гипотеза или её отрицание, причём, рассматриваются все 4 возможных комбинации). После чего делается метатеоретическое утверждение об относительной непротиворечивости: если ZF непротиворечива, то непротиворечива и ZF с дополнительными аксиомами.

Инт в сообщении #234020 писал(а):

Каким образом аксиома о непротиворечивости теории может дать какое-то средство разрешения задач? Вряд ли ведь, что она несёт новую информацию.

На самом деле в теории множеств или в арифметике невозможно сформулировать утверждение о непротиворечивости самой теории множеств или арифметики. Это утверждение можно сформулировать только в метатеории. Затем средствами метатеории это утверждение кодируется, и получается некоторое утверждение о множествах или о числах (в зависимости от того, идёт ли речь о теории множеств или об арифметике). Только в метатеории известно, что это утверждение выражает непротиворечивость соответствующей теории, в самой же теории об этом ничего неизвестно, это обычное утверждение об объектах теории. Средствами метатеории доказывается, что в рассматриваемой теории это утверждение недоказуемо. Поэтому оно несёт новую информацию об объектах теории, не содержащуюся в аксиомах. Так что использование этого утверждения в качестве новой аксиомы увеличивает число доказуемых утверждений (хотя бы оно само становится доказуемым).

Инт в сообщении #234020 писал(а):

Думаю, в случае с Коэном всё гораздо хуже. Его рассуждения есть набор условностей, принятых по мотивам, не относящимся к математике. Т.е. попросту говоря, выводы Коэна - ложны. Доказательство в §5 это окончательно устанавливает.

Вам не следует ничего думать о том, чего Вы не читали и заведомо не понимаете.

В § 5 у Вас никакого доказательства нет, но подробное объяснение этого требует много времени. Если когда-нибудь у меня будет такое желание и много свободного времени, постараюсь Вам это растолковать. Пока же ограничусь следующим.

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Someone в сообщении #233215 писал(а):

INT в сообщении #218474 писал(а):

Аксиома. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых меньше или равна $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б...

Из этой аксиомы, если её добавить к ZFC, действительно следует отрицание континуум-гипотезы. Ну и что? Таких аксиом можно придумать воз и маленькую тележку.

Уважаемый Someone насчёт "воза и тележки" это шапкозакидательство. Придумайте хотя бы одну аксиому, только Вашу, оригинальную, а не взятую от кого-нибудь.

Запросто.
Аксиома. Существует хаусдорфово бикомпактное расширение натурального ряда, не являющееся расширением волмэновского типа.

Это утверждение равносильно отрицанию континуум-гипотезы, что доказано в моей работе (Решение основной задачи о биком­пактных расширениях волмэнов­ского типа. ДАН СССР, 1977, 233, № 6, стр. 1056-1059). Разумеется, в статье это утверждение не формулируется в виде аксиомы. Зачем бы мне это могло понадобиться?

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Кроме того, моя аксиома сильнее простого отрицания континуум-гипотезы.

А Вы знаете, что это означает: утверждение $A$ сильнее утверждения $B$? Это означает, что существует модель теории, в которой утверждение $B$ истинно, а $A$ ложно. В применении к Вашему случаю это означает, что существует модель теории множеств, в которой имеет место отрицание континуум-гипотезы, а Ваша аксиома ложна. Это действительно так, что следует из результатов, которые получил S.H.Hechler в 1969 году (Independence results concerning a problem of N.Lusin. Math. System Theory, 1970, 4, № 3, стр. 316-321). Утверждение, ложное в какой-нибудь интерпретации теории, доказать в этой теории нельзя (если, конечно, теория непротиворечива). Вы же претендуете на то, что Ваша аксиома является теоремой ZFC.

Здесь хочу сделать замечание о терминологии. Вспомогательные утверждения, которые следуют из аксиом теории, не принято называть аксиомами. Их называют Леммами, Утверждениями, Предложениями, Теоремами, но никак не Аксиомами. Если Вы заявляете, что Ваше утверждение о семействах линий доказуемо в ZFC, то называть его аксиомой не следует.

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Проста ли она, сложная, неважно. ... В геометрическом варианте её вообще невозможно отрицать.

Ну, я ещё прошлый раз сказал, что Вы пали жертвой геометрической очевидности. Эта самая геометрическая очевидность порой подталкивает к ложным выводам даже в простых школьных задачах, а уж в данной задаче она обманывает гарантированно.

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Хорошая теория проходит две стадии (по Пуанкаре) первая стадия: теория нелепа и абсурдна, вторая стадия: теория тривиальна. Неужели переходим ко второй?

Не надейтесь. Ваша "теория" навсегда останется на этапе безграмотного графоманского сочинения.

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Someone в сообщении #233215 писал(а):

Теоремой ZFC Ваша аксиома совершенно точно не является

Совершенно точно, что Вы не подумали, прежде чем написать эту фразу. Ваше утверждение ложно. Моя аксиома уж теоремой ZFC является точно.

Доказательства нет. Напротив, из упомянутых выше давних результатов Хехлера следует, что такое доказательство невозможно.

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Someone в сообщении #233215 писал(а):

Ох уж эти Ваши трансформации....

Эмоции к делу отношения не имеют. Идею трансформаций прочитали математики самой высокой квалификации в теории множеств. Возражений не последовало.

Эти трансформации - просто гомеоморфизмы $\text{Э}\setminus Z$ в себя, удовлетворяющие определённым (плохо сформулированным) условиям. Поскольку дуга $C$ всё время остаётся сама собой, то Ваше утверждение, что "в состоянии $\Omega_{\nu}\text{Э}$ на дуге $C$ присутствует больше точек, чем в состоянии $\Omega_{\mu}\text{Э}$", выглядит весьма странно. Впрочем, Ваши "трансформации" в § 5 не определены (и уже поэтому доказательства нет), только описано (достаточно невнятно), чего Вы от них хотите. Нетрудно также показать (хотя и довольно длинно), что последовательность трансформаций $\Omega_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, никакого предела иметь не будет.

Что касается "математиков самой высокой квалификации в теории множеств", то это на меня впечатления не производит. К тому же, таких математиков во всём мире очень мало, а в России их вообще можно буквально пересчитать по пальцам. Где уж Вы на них вышли, и почему они, заявив, что у Вас всё правильно, не дали Вам рекомендацию для публикации такого эпохального, сенсационного результата в каком-нибудь престижном математическом журнале? Почему Вы публикуете это на своём сайте и на форуме? Я на своём сайте никаких научных статей не публикую.