0,(9)=1

[ewert]

AGu в сообщении #229659 писал(а):

Если это не отождествление, то что?

Это -- изоморфизм плюс последующее переобозначение, оправданное именно изоморфизмом. Надеюсь, на все вопросы ответил?

[AGu]

epros в сообщении #229644 писал(а):

Всё в математике - это "всего лишь сокращённое обозначение" того, что происходит с предметами, которые соответствующей математикой описываются. Стоит это осознать, чтобы не мучиться со всякими "классами эквивалентности", пытаясь впихнуть в математику помимо "обозначений" ещё и какое-то "содержание".

Поверьте, epros, это Вы мучаетесь. Другие же просто наслаждаются свободой (ограниченной формализмом теории множеств или наивным формализмом наивной теории множеств и т.п.).

-- 2009.07.17 17:00 --

epros в сообщении #229644 писал(а):

Например, вот есть такая штука, как арифметика кардиналов. Согласно Вашему подходу, кардинальный номер мы должны понимать как "класс эквивалентности" множеств по отношению "равномощно". Причём, как я понимаю, слово "класс" здесь существенно, ибо "множеством" здесь никак не отделаться. Тут-то мы и выходим за пределы некоторых теоретико-множественных аксиоматик, типа ZFC, и вынуждны сочинять к ним всяческие "расширения" вроде "классов". То бишь, начинаем действовать не по заранее предписанным правилам, а "по понятиям"... Не нравится мне всё это...

При желании с классами можно научиться работать строго формально, не выходя за рамки ZFC. К сожалению, описывать соответствующий формализм у меня сейчас нет времени, но, зная Вашу любовь к синтаксическим играм, почти уверен: Вам, epros, это бы понравилось!

-- 2009.07.17 17:08 --

ewert в сообщении #229661 писал(а):

AGu в сообщении #229659 писал(а):

Если это не отождествление, то что?

Это -- изоморфизм плюс последующее переобозначение, оправданное именно изоморфизмом. Надеюсь, на все вопросы ответил?

Получается, что все Ваши возражения основаны на тонком различии смысла слов «отождествление» и «переобозначение». OK, всюду замените в том моем посте «отождествление» на «переобозначение», я не против. Теперь Вы готовы принять написанное? Или есть еще какие-то слова, которые мы понимаем по-разному?

[epros]

ewert в сообщении #229654 писал(а):

epros в сообщении #229644 писал(а):

Мне непонятны причины, по которым Вы отличаете "равенство" от "эквивалентности". По моим понятиям у нас просто есть значок $=$ для обозначения бинарного отношения,

Как минимум потому, что часто приходится одновременно говорить и о равенстве, и об эквивалентности, причём различая их. Например, при работе с измеримыми функции вполне распространены формулировки типа "эти две функции эквивалентны, хоть и не равны".

А почему бы не говорить о равенстве в разных смыслах, различая их?

ewert в сообщении #229654 писал(а):

epros в сообщении #229644 писал(а):

А я здесь не вижу необходимости упоминать какие-либо классы эквивалентности. В предметной теории есть вся необходимая аксиоматика для того, чтобы доказать равенство $2/3=4/6$,

Ну и как Вы собираетесь это доказывать, если у Вас на этот момент даже и операции деления-то нет?...

Как это нет, на какой момент? Я же Вам говорю о предметной теории, под названием "арифметика рациональных чисел". В ней должны быть необходимые аксиомы для доказательства этого равенства.

ewert в сообщении #229654 писал(а):

epros в сообщении #229644 писал(а):

Кстати, почему "класс"? Раз уж пошла речь о теоретико-множественной терминологии, то что мешает обойтись "множеством"? (Это "каверзный" вопрос. )

Так принято. В "наивной" теории множеств, поклонником которой я имею честь состоять, "классы", "множества", "совокупности" и т.п. -- это одно и то же, а выбирается в конкретном случае термин, обеспечивающий бОльшую внятность изложения.

Я слышал, что наивной теории множеств уж точно не существует. По тривиальной причине противоречивости оной.

AGu в сообщении #229662 писал(а):

Поверьте, epros, это Вы мучаетесь. Другие же просто наслаждаются свободой (ограниченной формализмом теории множеств или наивным формализмом наивной теории множеств и т.п.).

Не, не верю. А "неограниченная свобода", с моей колокольни больше похожа на неограниченный полёт фантазии.

AGu в сообщении #229662 писал(а):

При желании с классами можно научиться работать строго формально, не выходя за рамки ZFC. К сожалению, описывать соответствующий формализм у меня сейчас нет времени, но, зная Вашу любовь к синтаксическим играм, почти уверен: Вам, epros, это бы понравилось!

Я догадываюсь что Вы имеете в виду и мне это не кажется ответом. Множества всех множеств не существует, зато можно определить класс всех множеств (что и делает NBG). Но это и значит "расширить теорию". ZFC по определению не говорит ни о чём, кроме множеств. Я понимаю, что это расширение "чисто синтаксическое". Но, по существу, все нормальные расширения являются синтаксическими...

[ewert]

epros в сообщении #229670 писал(а):

А почему бы не говорить о равенстве в разных смыслах, различая их?

Но ведь Вы их как раз и не различаете, используя один и тот же значок. Вот если бы Вы использовали какой-нибудь "= с хвостиком", тогда дело другое. Ну так это и есть эквивалентность.

epros в сообщении #229670 писал(а):

Как это нет, на какой момент? Я же Вам говорю о предметной теории, под названием "арифметика рациональных чисел". В ней должны быть необходимые аксиомы для доказательства этого равенства.

Т.е. Вы собираетесь определять рациональные числа, исходя из того, что они уже определены?... Ну-ну.

epros в сообщении #229670 писал(а):

Я слышал, что наивной теории множеств уж точно не существует. По тривиальной причине противоречивости оной.

Ничего-ничего: при минимальной аккуратности вполне существует.

[AGu]

epros в сообщении #229670 писал(а):

AGu в сообщении #229662 писал(а):

Поверьте, epros, это Вы мучаетесь. Другие же просто наслаждаются свободой (ограниченной формализмом теории множеств или наивным формализмом наивной теории множеств и т.п.).

Не, не верю.

Мне остается лишь пожалеть Вас.

epros писал(а):

А "неограниченная свобода", с моей колокольни больше похожа на неограниченный полёт фантазии.

Заметьте, я не говорил о неограниченной свободе.

epros писал(а):

AGu в сообщении #229662 писал(а):

При желании с классами можно научиться работать строго формально, не выходя за рамки ZFC. К сожалению, описывать соответствующий формализм у меня сейчас нет времени, но, зная Вашу любовь к синтаксическим играм, почти уверен: Вам, epros, это бы понравилось!

Я догадываюсь что Вы имеете в виду и мне это не кажется ответом. Множества всех множеств не существует, зато можно определить класс всех множеств (что и делает NBG). Но это и значит "расширить теорию". ZFC по определению не говорит ни о чём, кроме множеств. Я понимаю, что это расширение "чисто синтаксическое". Но, по существу, все нормальные расширения являются синтаксическими...

На этот раз подвела Вас Ваша телепатия. Я сказал именно то, что хотел сказать, без оговорок. Повторяю:
При желании с классами можно научиться работать строго формально, не выходя за рамки ZFC.

[epros]

ewert в сообщении #229675 писал(а):

epros в сообщении #229670 писал(а):

А почему бы не говорить о равенстве в разных смыслах, различая их?

Но ведь Вы их как раз и не различаете, используя один и тот же значок.

По-моему, Вы путаете различение "смыслов" с различением "значков". Значок один, а смысл его зависит от того, внутри он кавычек или нет.

Это элементарно, Ватсон. (с)

ewert в сообщении #229675 писал(а):

epros в сообщении #229670 писал(а):

Как это нет, на какой момент? Я же Вам говорю о предметной теории, под названием "арифметика рациональных чисел". В ней должны быть необходимые аксиомы для доказательства этого равенства.

Т.е. Вы собираетесь определять рациональные числа, исходя из того, что они уже определены?... Ну-ну.

Я не "собираюсь определять", я просто утверждаю, что можно записать формальную теорию рациональных чисел, в которой эта строка и аналогичные ей будут теоремами. Теория - это просто набор строк под названием "аксиомы" плюс некоторое количество правил вывода. И никаких Вам рассуждений про "классы эквивалентности" и т. п.

ewert в сообщении #229675 писал(а):

epros в сообщении #229670 писал(а):

Я слышал, что наивной теории множеств уж точно не существует. По тривиальной причине противоречивости оной.

Ничего-ничего: при минимальной аккуратности вполне существует.

Эту аккуратность неплохо было бы предварительно как-то определить.

[ewert]

epros в сообщении #229698 писал(а):

По-моему, Вы путаете различение "смыслов" с различением "значков". Значок один, а смысл его зависит от того, внутри он кавычек или нет.

Кажется, я Вас понял. Вы хотите сказать, что $f=g$ означает равенство функций, в то время как $f\,\text{ -- уже их эквивалентность.

epros в сообщении #229698 писал(а):

, я просто утверждаю, что можно записать формальную теорию рациональных чисел, в которой эта строка и аналогичные ей будут теоремами.

Никто и не спорит с тем, что рациональные числа можно ввести аксиоматически. Речь совсем о другом -- как их построить, имея в своём распоряжении только средства целочисленной арифметики. Значка "/" среди них нет.

epros в сообщении #229698 писал(а):

Эту аккуратность неплохо было бы предварительно как-то определить

, но необязательно. Достаточно её проявлять.

[epros]

ewert в сообщении #229703 писал(а):

Кажется, я Вас понял. Вы хотите сказать, что $f=g$ означает равенство функций, в то время как $f\,\text{ -- уже их эквивалентность.

А здесь я Вас не понял. В конструктивном анализе под "функцией" понимается алгоритм, генерирующий значение для любого заданного ему аргумента. Естественно, коды алгоритмов могут быть не равны, но при этом функции будут равны в смысле равенств значений для равных аргументов. Вы предлагаете первое называть "эквивалентностью"? Или второе? Или что?

Я говорил о вот этом примере:
«2/3»=«4/6» - значок равенства вне кавычек - один смысл.
«2/3=4/6» - значок равенства внутри кавычек - другой смысл.

ewert в сообщении #229703 писал(а):

epros в сообщении #229698 писал(а):

, я просто утверждаю, что можно записать формальную теорию рациональных чисел, в которой эта строка и аналогичные ей будут теоремами.

Никто и не спорит с тем, что рациональные числа можно ввести аксиоматически. Речь совсем о другом -- как их построить, имея в своём распоряжении только средства целочисленной арифметики. Значка "/" среди них нет.

Что значит "только средства целочисленной арифметики"? Вы запрещаете нам при формулировке теории рациональных чисел выходить за пределы синтаксиса арифметики Пеано?
Зачем? Нормальные люди при записи рациональных чисел используют дополнительные значки (типа "/" или горизонтальной черты). Наверное, они не математики, им не приходит в голову создавать себе искусственные синтаксические ограничения.

ewert в сообщении #229703 писал(а):

epros в сообщении #229698 писал(а):

Эту аккуратность неплохо было бы предварительно как-то определить

, но необязательно. Достаточно её проявлять.

Чтобы быть уверенными в том, что Вы её проявляете, нам нужно быть уверенными в достаточном уровне Вашей квалификации. А если это же потребуется от пока что мало знающего студента, то как он сможет научиться у Вас этой аккуратности, если Вы не хотите раскрывать перед ним её явное определение?

[ewert]

epros в сообщении #229716 писал(а):

Я говорил о вот этом примере:«2/3»=«4/6» - значок равенства вне кавычек - один смысл.«2/3=4/6» - значок равенства внутри кавычек - другой смысл.

А я говорил вовсе не о конструктивном анализе и уж тем более не о каких-то формальных записях логических утверждений. Речь шла о ситуации, когда "равенство" функций в обычном смысле и их "эквивалентность" употребляются в одинаковых контекстах, т.е., говоря формально -- стоят между кавычками одного и того же уровня.

epros в сообщении #229716 писал(а):

Зачем? Нормальные люди при записи рациональных чисел используют дополнительные значки (типа "/" или горизонтальной черты). Наверное, они не математики, им не приходит в голову создавать себе искусственные синтаксические ограничения.

Хорошо. Рассмотрим операцию $a\heartsuit b$. Является ли она, ну например, коммутативной?

epros в сообщении #229716 писал(а):

Чтобы быть уверенными в том, что Вы её проявляете, нам нужно быть уверенными в достаточном уровне Вашей квалификации.

Что ж, "не уверен -- не обгоняй".

epros в сообщении #229716 писал(а):

А если это же потребуется от пока что мало знающего студента, то как он сможет научиться у Вас этой аккуратности, если Вы не хотите раскрывать перед ним её явное определение?

И впрямь. Как сможет передвигаться сороканожка, пока не задумается -- а как, собственно, она это делает?...

[Pripyat]

Надо бы эквивалентные отношения и дроби 2/3=4/6 как то стянуть к нашему равенству, которое в отличие от 2/3=4/6 не кажется столь очевидным. (под очевидностью я имею ввиду очевидность простого школьника или студента, который всю жизнь считал что 2/3=4/6 абсолютно идентичны и тонкость аксиоматики рациональных чисел ему неизвестна)

[ewert]

Дело тут вот в чём. Конечно, простому школьнику, простому академику и даже простому ежу вполне понятно, что 2/3=4/6. Но вот когда школьник, или академик, или ёж сталкивается с процедурой факторизации -- им бы (всем троим) не помешало бы осознание того, что это не есть нечто мистическое, а, напротив, ходовой и шаблонный математический приём. И привыкать к нему можно -- ну вот, хотя бы и на примере рациональных чисел.

[Pripyat]

И часто школьники сталкиваются с процедурой факторизации?
Ну на простые то множители раскладывали числа, тупо по шаблону, но если честно - не каждый знает, что он занимался !!! факторизацией!

[LetsGOX]

Цитата:

Хорошо. Рассмотрим операцию $a\heartsuit b$. Является ли она, ну например, коммутативной?

Что это за синтаксический прикол?

И кстати давно хотел спросить (Сильно не бить
В какойто из аксиом ZFC, утверджается существование пустого $\varnothing$ и бесконечного множества, причем бесконечное множество чтото типа $\varnothing, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\}, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\} \ ... $ или както так
А потом я слышал что сие множество, является множество натуральных чисел !!!
Как это моет быть вообще связано?

[ewert]

Pripyat в сообщении #229781 писал(а):

Ну на простые то множители раскладывали числа, но тупо по шаблону, и если честно - не каждый знает, что он занимался !!! факторизацией!

(меланхолически) собственно, никто не знал -- ведь тут-то факторизация и не при чём...

[Pripyat]

странно тогда, что в википедии это также как еще в одной книжке по алгебре это называют факторизацией - специально посмотрел.