0,(9)=1

[epros]

ewert в сообщении #229423 писал(а):

С моей личной точки зрения (я её никому не навязываю), конструктивного анализа не существует. То и имею в виду.

А с моей личной точки зрения (которую я тоже никому не навязываю), не существует классической логики (ибо понятие истинности не определено) и множеств (ибо бОльшая часть аксиом теории множеств являются плодом слишком богатой фантазии).

Извиняюсь за офтоп. По теме: готов пояснить топикстартеру определение действительного числа в конструктивном анализе. С моей точки зрения проблема $0.(9)=1$ в нём разрешима тривиальным образом (в отличие от классического анализа, объяснение которого мне до конца не понятны).

[ewert]

epros в сообщении #229426 писал(а):

(в отличие от классического анализа, объяснение которого мне до конца не понятны).

А что конкретно непонятно?

[epros]

ewert в сообщении #229427 писал(а):

epros в сообщении #229426 писал(а):

(в отличие от классического анализа, объяснение которого мне до конца не понятны).

А что конкретно непонятно?

Что Вы меня-то раскручиваете на вопросы по классическому анализу? Меня и объяснения конструктивного анализа устраивают. Вы лучше топикстартера раскручивайте.

А непонятно мне вот что. Вы пишете:

ewert в сообщении #229180 писал(а):

две фундаментальные последовательности объявляются "эквивалентными", если разность между ними стремится к нулю

что вполне сооветствует определению конструктивного анализа. И нам остаётся только:

ewert в сообщении #229180 писал(а):

(естественно, доказывая при этом, что определение корректно, т.е. что это -- и впрямь отношение эквивалентности)

в чём и заключается вся соль, ибо "доказывать" Вы, очевидно, будете с помощью классической логики и аксиом теории множеств, которые мне и "непонятны".

[ewert]

epros в сообщении #229443 писал(а):

в чём и заключается вся соль, ибо "доказывать" Вы, очевидно, будете с помощью классической логики и аксиом теории множеств, которые мне и "непонятны".

Вы знаете, нет! Как-то не увлекает меня ни матлогика, ни тем более аксиоматика теории множеств. Но вот ровно по тем же причинам -- ещё менее увлекает конструктивный анализ.

Если же Вы намекаете на то, что я "говорю прозой" -- не спорю.

[epros]

ewert в сообщении #229449 писал(а):

Если же Вы намекаете на то, что я "говорю прозой" -- не спорю.

Говорить прозой не грех.
Но и в прозе проскакивают некоторые словосочетания, которые "не из того языка". Вот например, согласно Вашему определению, действительное число - это "класс эквивалентности". А что это за зверь? В конструктивном анализе действительное число - это просто формула, определяющая фундаментальную последовательность (она же - последовательность Коши, ссылку привожу для топикстартера). И, да, для этих формул определяется отношение эквивалентности.

[ewert]

epros в сообщении #229455 писал(а):

Согласно Вашему определению, действительное число - это "класс эквивалентности". А что это за зверь?

epros в сообщении #229455 писал(а):

И, да, для этих формул определяется отношение эквивалентности.

Подождите, но ведь и вам придётся сделать некий логический пируэт, чтобы перейти от какого-то набора формул (пусть эквивалентных) к собственно числу.

Это во-первых. А во-вторых: не могли бы Вы привести конструктивное определение "формулы, задающей фундаментальную последовательность" -- и доказательство эквивалентности таких формул?
Просто так, для сравнения.

[epros]

ewert в сообщении #229459 писал(а):

Подождите, но ведь и вам придётся сделать некий логический пируэт, чтобы перейти от какого-то набора формул (пусть эквивалентных) к собственно числу.

Этот пирует примерно тот же самый как тогда, когда мы пишем в любой теории $a=b$, используя неравные значки в левой и правой частях равенства. Например, 2/3=4/6 согласно теории рациональных чисел. Суть пируета в том, что теория, которая видит неравенство значков, это одна теория (мететеория), а теория, которая утверждает равенство, это другая теория (предметная теория, определённая этой метатеорией).

ewert в сообщении #229459 писал(а):

А во-вторых: не могли бы Вы привести конструктивное определение "формулы, задающей фундаментальную последовательность" -- и доказательство эквивалентности таких формул?
Просто так, для сравнения.

Определение фундаментальной последовательности абсолютно то же самое: Последовательность рациональных (в данном случае) чисел, такая, что для любого положительного рационального числа существует такой номер элемента последовательности, что любые элементы с бОльшими номерами попарно отличаются друг от друга меньше, чем на это число. Можно я не буду записывать это формально?

Т.е., по просту говоря, "сходящаяся" последовательность рациональных чисел. Естественно, последовательность записывается формулой (или, если хотите, кодом алгоритма). Например, вот так:
$x(0)=0 \wedge \forall n \in \mathbb{N} ~ x(n+1) = x(n) + \frac{9}{10^{n+1}}$ - определение числа $0.(9)$.

[ewert]

epros в сообщении #229483 писал(а):

Этот пирует примерно тот же самый как тогда, когда мы пишем в любой теории $a=b$, используя неравные значки в левой и правой частях равенства. Например, 2/3=4/6 согласно теории рациональных чисел.

А вот как раз и нет. Дроби 2/3 и 4/6 изначально вовсе не равны, а эквивалентны. И рациональное число -- это вовсе не дробь, а класс эквивалентных дробей. Это -- логический пируэт. А вот следующий пируэт -- уже не логический, а чисто семантический: используется общепринятая договорённость, согласно которой каждый из классов, участвующих в данном выражении, обозначается каким-либо его представителем. Это -- всего лишь сокращение обозначений, вполне безобидное, т.к. не влечёт за собой никаких противоречий.

[AGu]

ewert в сообщении #229488 писал(а):

epros в сообщении #229483 писал(а):

Этот пирует примерно тот же самый как тогда, когда мы пишем в любой теории $a=b$, используя неравные значки в левой и правой частях равенства. Например, 2/3=4/6 согласно теории рациональных чисел.

А вот как раз и нет. Дроби 2/3 и 4/6 изначально вовсе не равны, а эквивалентны. И рациональное число -- это вовсе не дробь, а класс эквивалентных дробей. Это -- логический пируэт. А вот следующий пируэт -- уже не логический, а чисто семантический: используется общепринятая договорённость, согласно которой каждый из классов, участвующих в данном выражении, обозначается каким-либо его представителем. Это -- всего лишь сокращение обозначений, вполне безобидное, т.к. не влечёт за собой никаких противоречий.

Я все это, кажется, понимаю и отчасти принимаю, но лишь отчасти. При таком подходе использование записей вида 2/3 мне не представляется обоснованным. Чем 2/3 отличается от просто пары (2,3)? Если ничем, то зачем вводить новое обозначение? Какой смысл Вы вкладываете в термин «дробь»? Как бы Вы определили дроби 2/3 и 4/6, чтобы они оказались различными объектами? (Я имею в виду определение в нашей любимой теории множеств или какой-либо ее «наивной» версии.) А в качестве благодарности я обещаю поделиться своим определением, если оно не совпадет с Вашим.

[ewert]

AGu в сообщении #229495 писал(а):

Чем 2/3 отличается от просто пары (2,3)?

Изначально -- ничем, первое просто удобнее своей привычностью.

AGu в сообщении #229495 писал(а):

Как бы Вы определили дроби 2/3 и 4/6, чтобы они оказались различными объектами?

Они по определению разные, поскольку изначально дроби -- это просто пары и ничего большего. Интерпретация их как дробей формально возникает позже -- после факторизации и определения на фактор-множестве арифметических операций.

[AGu]

ewert в сообщении #229498 писал(а):

AGu в сообщении #229495 писал(а):

Чем 2/3 отличается от просто пары (2,3)?

Изначально -- ничем, первое просто удобнее своей привычностью.

AGu в сообщении #229495 писал(а):

Как бы Вы определили дроби 2/3 и 4/6, чтобы они оказались различными объектами?

Они по определению разные, поскольку изначально дроби -- это просто пары и ничего большего. Интерпретация их как дробей формально возникает позже -- после факторизации и определения на фактор-множестве арифметических операций.

Понял. Спасибо.

Мне как раз не нравится, что «интерпретация их как дробей формально возникает позже -- после факторизации». Формализм тут, как мне кажется, еще тот, за ушки притянутый. Что бы и как бы мы потом ни факторизовывали, дроби $n/m$ при таком подходе формально остаются парами $(n,m)$. Просто до факторизации мы их считали «просто парами», а потом стали считать «парами, отождествляемыми с фактор-классами». Я бы не назвал такое отождествление формальным. Скорее наоборот, это уход от формализма.

Как обещал, делюсь тем определением дробей (и рациональных чисел), которое мне, как занудствующему по поводу и без повода формалисту, гораздо больше нравится.

На множестве пар $\mathcal Q=\{(n,m)\in{\mathbb Z}^2 : m\ne0\}$ введем отношение эквивалентности $\sim$, полагая $(n,m)\sim(n',m')$ в случае $nm'=n'm$ и положим $\mathbb Q:=\mathcal Q/{\sim}$. Для $(n,m)\in\mathcal Q$ обозначим символом $\tfrac nm$ (единственный) элемент $\mathbb Q$, содержащий пару $(n,m)$. Иными словами, для $(n,m)\in\mathcal Q$ положим $\tfrac nm := \{(n',m')\in\mathcal Q : (n,m)\sim(n',m')\}$.

При таком подходе мы имеем

(a) $\mathbb Q=\bigl\{\tfrac nm\,:\, n,m\in\mathbb Z,\ m\ne0\bigr\}$;
(b) для всех $n,n',m,m'\in\mathbb Z$, $m,m'\ne0$, равенство $\tfrac nm=\tfrac{n'}{m'}$ равносильно равенству $nm'=n'm$.

Дело вкуса, конечно, но (a) и (b) мне нравятся.
И при этом, что лично мне особенно приятно, (a) и (b) возникают строго формально, без какого-либо отождествления формально не совпадающих объектов.

Ну а дальше, разумеется, на построенном таким способом $\mathbb Q$ можно смело вводить структуру упорядоченного поля, причем получается это довольно элегантно и формально (без оговорок по поводу каких-либо отождествлений):

$\dfrac nm + \dfrac{n'}{m'} := \dfrac{nm'+n'm}{mm'}$;

$\dfrac nm \cdot \dfrac{n'}{m'} := \dfrac{nn'}{mm'}$;

$\dfrac nm \geqslant0\ \Leftrightarrow\ nm\geqslant0$;

$\dfrac nm\geqslant\dfrac{n'}{m'}\ \Leftrightarrow\ \dfrac nm-\dfrac{n'}{m'}\geqslant0$.

Ну и, как полагается, ложка дегтя. Как бы симпатично все это ни выглядело, рано или поздно нужно «вложить» $\mathbb Z$ в $\mathbb Q$. И тут уже приходится выбирать из двух зол: либо жертвовать формальностью ради удобства и отождествлять $n$ с $\frac n1$, либо портить симпатичное $\mathbb Q$, заменяя в нем все $\tfrac n1$ на $n$ (и соответствующим образом изменяя операции и отношение порядка). Подходом к вложению $\mathbb Z$ в $\mathbb Q$, сочетающим формализм с удобством, я, к сожалению, не владею.

[ewert]

AGu в сообщении #229618 писал(а):

Просто до факторизации мы их считали «просто парами», а потом стали считать «парами, отождествляемыми с фактор-классами».

Вы, может, и считали, а я -- даже и не пытался.

И дальше у Вас путаница. В частности:

Цитата:

(a) $\mathbb Q=\bigl\{\tfrac nm\,:\, n,m\in\mathbb Z,\ m\ne0\bigr\}$;

-- нехорошо. Элементы, выписываемые между фигурными скобками, должны быть разными, а у Вас многие из них совпадают. Вы фактически потеряли факторизацию, которую только что сами же и ввели. Или:

Цитата:

Как бы симпатично все это ни выглядело, рано или поздно нужно «вложить» $\mathbb Z$ в $\mathbb Q$. И тут уже приходится выбирать из двух зол:
. . . . . . . . . . . .

Нет никаких зол. $\mathbb Z$ вкладывается в $\mathbb Q$ автоматически: это подмножество $\mathbb Q$, состоящее из тех и только тех классов, среди представителей которых есть пара с единичным "знаменателем".

Мне кажется, что у Вас проблемы связаны с каким-то непонятным пристрастием к какому-то непонятному "отождествлению". Нет никакого отождествления. Переход к рациональным числам -- это именно факторизация, т.е. построение новых математических объектов (в рамках уже существующей математической структуры). До сих пор их не было, а тут вдруг мы их бац -- и ввели.
С целыми числами ситуация другая -- они уже были, и мы хотим как-то согласовать их с вновь построенными. Но и это никакое не "отождествление" (так часто говорят, но это лишь жаргон), это -- изоморфизм. Просто устанавливается взаимно однозначное соответствие между исходным $\mathbb Z$ и соответствующим подмножеством вновь построенного $\mathbb Q$, сохраняющее одноимённые операции и отношения, и всё.

Теперь насчёт

AGu в сообщении #229618 писал(а):

Формализм тут, как мне кажется, еще тот, за ушки притянутый.

Во-первых, это ровно тот самый формализм, который и Вы сами предложили, но (на мой взгляд) неаккуратно. Во-вторых, схема факторизации встречается в математике на каждом шагу, только часто её с ходу не углядеть в силу привычки. Я уж не говорю о пополнениях метрических пространств (и, как частный случай, канторово определение вещественных чисел). Но вот, к примеру: а что такое векторы (обычные, геометрические)? -- Не что иное, как результат факторизации множества направленных отрезков по отношению эквивалентности, связанному с параллельным переносом.

[epros]

ewert в сообщении #229488 писал(а):

А вот как раз и нет. Дроби 2/3 и 4/6 изначально вовсе не равны, а эквивалентны.

Мне непонятны причины, по которым Вы отличаете "равенство" от "эквивалентности". По моим понятиям у нас просто есть значок $=$ для обозначения бинарного отношения, и мы в разговорной речи именуем его "равенством" или "эквивалентностью объектов" в зависимости от того, что нам удобнее произносить.

Например, у нас есть некая метатеория, в которой мы намерены определить предметную теорию под названием "арифметика рациональных чисел". Эта метатеория определяет алфавит предметной теории, в котором есть символы $0$, $1$, ... , $9$, $/$ и $=$. Таким образом, вот это:
$2/3$
$4/6$
$2/3=4/6$
- всё строки в предметном алфавите. Сама метатеория, естественно, тоже желает судить о равенстве или неравенстве объектов, с которыми она работает, т.е. строк в предметном алфавите. И вполне разумно, если она будет использовать для обозначения такового равенства тот же самый символ $=$ (а зачем придумывать что-то новое?). Чтобы не путать его с символом предметного языка, существует масса простых и вполне стандартных способов. Например, использование специальных символов для выделения в метаутверждениях строк в предметном алфавите:
«2/3»=«4/6» - высказывание в метаязыке (ложное) о равенстве двух строк предметного языка
«2/3=4/6» - употреблённое в метатязыке, данное выражение означает просто строку предметного языка (по совместительству - теорему рассматриваемой предметной теории).

Как видите, смысл одного и того же символа равенства различен в зависимости от того, употреблён он внутри кавычек или вне, и это не вызывает никаких недоразумений.

ewert в сообщении #229488 писал(а):

И рациональное число -- это вовсе не дробь, а класс эквивалентных дробей.

А я здесь не вижу необходимости упоминать какие-либо классы эквивалентности. В предметной теории есть вся необходимая аксиоматика для того, чтобы доказать равенство 2/3=4/6, в то время как в метатеории ложность «2/3»=«4/6» тоже вполне очевидна.

Кстати, почему "класс"? Раз уж пошла речь о теоретико-множественной терминологии, то что мешает обойтись "множеством"? (Это "каверзный" вопрос. )

ewert в сообщении #229488 писал(а):

Это -- всего лишь сокращение обозначений, вполне безобидное, т.к. не влечёт за собой никаких противоречий.

Всё в математике - это "всего лишь сокращённое обозначение" того, что происходит с предметами, которые соответствующей математикой описываются. Стоит это осознать, чтобы не мучиться со всякими "классами эквивалентности", пытаясь впихнуть в математику помимо "обозначений" ещё и какое-то "содержание".

Например, вот есть такая штука, как арифметика кардиналов. Согласно Вашему подходу, кардинальный номер мы должны понимать как "класс эквивалентности" множеств по отношению "равномощно". Причём, как я понимаю, слово "класс" здесь существенно, ибо "множеством" здесь никак не отделаться. Тут-то мы и выходим за пределы некоторых теоретико-множественных аксиоматик, типа ZFC, и вынуждны сочинять к ним всяческие "расширения" вроде "классов". То бишь, начинаем действовать не по заранее предписанным правилам, а "по понятиям"... Не нравится мне всё это...

[ewert]

epros в сообщении #229644 писал(а):

Мне непонятны причины, по которым Вы отличаете "равенство" от "эквивалентности". По моим понятиям у нас просто есть значок $=$ для обозначения бинарного отношения,

Как минимум потому, что часто приходится одновременно говорить и о равенстве, и об эквивалентности, причём различая их. Например, при работе с измеримыми функции вполне распространены формулировки типа "эти две функции эквивалентны, хоть и не равны".

epros в сообщении #229644 писал(а):

А я здесь не вижу необходимости упоминать какие-либо классы эквивалентности. В предметной теории есть вся необходимая аксиоматика для того, чтобы доказать равенство $2/3=4/6$,

Ну и как Вы собираетесь это доказывать, если у Вас на этот момент даже и операции деления-то нет?...

epros в сообщении #229644 писал(а):

Кстати, почему "класс"? Раз уж пошла речь о теоретико-множественной терминологии, то что мешает обойтись "множеством"? (Это "каверзный" вопрос. )

Так принято. В "наивной" теории множеств, поклонником которой я имею честь состоять, "классы", "множества", "совокупности" и т.п. -- это одно и то же, а выбирается в конкретном случае термин, обеспечивающий бОльшую внятность изложения.

[AGu]

ewert в сообщении #229638 писал(а):

AGu в сообщении #229618 писал(а):

Просто до факторизации мы их считали «просто парами», а потом стали считать «парами, отождествляемыми с фактор-классами».

Вы, может, и считали, а я -- даже и не пытался.

Неужели? Я было подумал, что следующее было написано Вами:

ewert в сообщении #229498 писал(а):

AGu в сообщении #229495 писал(а):

Чем 2/3 отличается от просто пары (2,3)?

Изначально -- ничем, первое просто удобнее своей привычностью.

ewert в сообщении #229488 писал(а):

Дроби 2/3 и 4/6 изначально вовсе не равны [...] А вот следующий пируэт -- уже не логический, а чисто семантический: используется общепринятая договорённость, согласно которой каждый из классов, участвующих в данном выражении, обозначается каким-либо его представителем. Это -- всего лишь сокращение обозначений, вполне безобидное, т.к. не влечёт за собой никаких противоречий.

У нас завелся клон «ewert»?

ewert писал(а):

И дальше у Вас путаница. В частности:

Цитата:

(a) $\mathbb Q=\bigl\{\tfrac nm\,:\, n,m\in\mathbb Z,\ m\ne0\bigr\}$;

-- нехорошо. Элементы, выписываемые между фигурными скобками, должны быть разными,

Опять хотите поспорить об определениях? Пустое это занятие, поверьте. Например, я считаю запись $\{1,1\}$ законным синонимом записи $\{1\}$. Вы -- видимо, так не считаете. Это Ваше право (хоть оно, на мой взгляд, и смахивает на мазохизм: Вы сознательно лишаете себя довольно удобного технического средства).

ewert писал(а):

Нет никаких зол.

Я рад за Вас. Вы не страдаете излишним занудством.

ewert писал(а):

С целыми числами ситуация другая -- они уже были, и мы хотим как-то согласовать их с вновь построенными. Но и это никакое не "отождествление" (так часто говорят, но это лишь жаргон), это -- изоморфизм.

Ах вона как? Ясно. Стало быть, Вы не считаете, что $1\in\mathbb Q$, а вместо $1+0.5$ всюду пишете «$\varphi(1)+0.5$, где $\varphi$ -- естественное изоморфное вложение $\mathbb Z$ в $\mathbb Q$». Тут я уже за Вас не рад. Тут я Вам сочувствую. Если же вместо $\varphi(1)$ Вы все же пишете $1$ и считаете, что $1\in\mathbb Q$, то Вы тем самым отождествляете $1$ и $\varphi(1)$. Если это не отождествление, то что? Соглашение? Безобидное переобозначение? Называйте как хотите, но суть от этого не изменится.

ewert писал(а):

Во-вторых, схема факторизации встречается в математике на каждом шагу [...]

Со всем остальным согласен (хотя и не вижу особой связи с обсуждаемым сейчас вопросом).