0,(9)=1

[Pripyat]

Здравствуйте, скажите, правда ли, что 0,(9)=1. И если есть, какие нибудь доказательства того что это так, или не так. Я читал про то, что "Если 1/3=0,(3), то 1=1/3*3 = 0,(3)*3=0,(9). Мне показалось это достаточно убедительным, но некоторым моим собеседникам нет, поэтому хочу докопаться до истины. Заранее спасибо.

[Утундрий]

$0,(9) + 10^{ - \infty } = 1,(0)$
Так сойдет?

[fiktor]

0.(9) это по определению предел выражений вида $0.999...999 = 1 - 0.000...001 = 1-10^{-n}$ (здесь n --- количество девяток в 0.999...999)
$10^{-n}$ стремится к нулю. Поэтому 1-10^{-n} стремится к единице.
А 0.(9) равен пределу вышеописанных выражений, который в свою очередь равен 1.

[luitzen]

Или так как-нибудь:

$x = 0,(9)$
$9x = 10x - x = 9,(9) - 0,(9) = 9,(0)$
$x = 1,(0)$

[Pripyat]

Для меня самое главное: равны? или хоть сколько нибудь, но различаются! Но насколько я понял, они всё таки равны (и это в принципе гораздо правдоподобно). Спасибо большое.

[Виктор Викторов]

Pripyat в сообщении #228068 писал(а):

правда ли, что 0,(9)=1

fiktor в сообщении #228075 писал(а):

0.(9) это по определению предел выражений вида $0.999...999 = 1 - 0.000...001 = 1-10^{-n}$ (здесь n --- количество девяток в 0.999...999)
$10^{-n}$ стремится к нулю. Поэтому 1-10^{-n} стремится к единице.
А 0.(9) равен пределу вышеописанных выражений, который в свою очередь равен 1.

Раскрывая определение предела, предложите Вашим собеседникам указать число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1. А затем сравните указанное число с 0,(9) по каждому десятичному знаку.

[AGu]

Pripyat в сообщении #228079 писал(а):

Для меня самое главное: равны?

Осмелюсь предположить, что подавляющее большинство математиков, считающих, что 0,(9) является десятичной записью вещественного числа, считают, что это число равно 1.
С другой стороны, многие математики считают, что 0,(9) не является десятичной записью вещественного числа. Но это уже дело десятое. Точнее, девятое.

[ewert]

Pripyat в сообщении #228079 писал(а):

Для меня самое главное: равны? или хоть сколько нибудь, но различаются!

При разложении вещественного числа в бесконечную десятичную дробь (или вообще в любую позиционную) неизбежно возникает неоднозначность. Поэтому дроби, оканчивающиеся на "девятки", всегда отождествляются с соответствующими дробями, оканчивающимися нулями.

На каком основании отождествляются?... А просто есть более осознанные (математически) способы определения вещественных чисел, которые и приводят к такому отождествлению. Вейерштрассов подход, опирающийся на дроби -- всего лишь наиболее наглядный. И, слава богу, эквивалентный всем остальным.

[MGM]

Виктор Викторов в сообщении #228083 писал(а):

Pripyat в сообщении #228068 писал(а):

правда ли, что 0,(9)=1

fiktor в сообщении #228075 писал(а):

0.(9) это по определению предел выражений вида $0.999...999 = 1 - 0.000...001 = 1-10^{-n}$ (здесь n --- количество девяток в 0.999...999)
$10^{-n}$ стремится к нулю. Поэтому 1-10^{-n} стремится к единице.
А 0.(9) равен пределу вышеописанных выражений, который в свою очередь равен 1.

Раскрывая определение предела, предложите Вашим собеседникам указать число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1. А затем сравните указанное число с 0,(9) по каждому десятичному знаку.

Строго меньше чем 0.(9) - число в студию.
0 например.
И что?

[Виктор Викторов]

MGM в сообщении #228165 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #228083 писал(а):

Pripyat в сообщении #228068 писал(а):

правда ли, что 0,(9)=1

fiktor в сообщении #228075 писал(а):

0.(9) это по определению предел выражений вида $0.999...999 = 1 - 0.000...001 = 1-10^{-n}$ (здесь n --- количество девяток в 0.999...999)
$10^{-n}$ стремится к нулю. Поэтому 1-10^{-n} стремится к единице.
А 0.(9) равен пределу вышеописанных выражений, который в свою очередь равен 1.

Раскрывая определение предела, предложите Вашим собеседникам указать число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1. А затем сравните указанное число с 0,(9) по каждому десятичному знаку.

Строго меньше чем 0.(9) - число в студию.
0 например.
И что?

Написано "число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1."

[H14sk]

Помнится в школьном учебнике было что-то вроде: 1 => 1/3 = 0,(3) => 1 = 3*1/3 = 3*0,(3) = 0,(9)

[MGM]

Виктор Викторов

Цитата:

Написано "число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1."

Ничуть не лучше.
Точнее, Вы привели доказательство, что топикстартер написал неправду:
0,(9) не равно 1, а строго меньше.

[Pripyat]

MGM в сообщении #228250 писал(а):

Виктор Викторов

Цитата:

Написано "число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1."

Ничуть не лучше.
Точнее, Вы привели доказательство, что топикстартер написал неправду:
0,(9) не равно 1, а строго меньше.

И чему же равна их разность. Кроме того, хочется узнать число лежащее между 0,(9) и 1!
И мне почему то кажется что вы не найдёте такого ...

[ewert]

Pripyat в сообщении #228287 писал(а):

хочется узнать число лежащее между 0,(9) и 1!И мне почему то кажется что вы не найдёте такого ...

Правильно кажется. Эти числа совпадают просто по определению вещественного числа как бесконечной десятичной дроби. Конечно, после этого надо ещё доказывать, что это определение корректно, т.е. удовлетворяет всем стандартным аксиомам. Что ж, надо -- значит, надо; чисто техническая работа.

[AGu]

MGM, Вы, кажись, просто не просекли фишку. Pripyat попросил помочь убедить его собеседников:

Pripyat в сообщении #228068 писал(а):

правда ли, что 0,(9)=1. [...] Мне показалось это достаточно убедительным, но некоторым моим собеседникам нет

... и Виктор Викторов предложил вариант:

Виктор Викторов в сообщении #228083 писал(а):

предложите Вашим собеседникам указать число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1.

Т.е. это один из способов убеждения -- от противного: мол, если уж вы считаете, что они не равны, то попробуйте-ка сделать то-то и то-то. Не получилось? То-то и оно.