0,(9)=1

[epros]

ewert в сообщении #228762 писал(а):

Зачем показывать "только"? Вполне достаточно того, что это определение корректно и общепринято.

Это зависит от того, чего хочет топикстартер. Если его устраивает такой ответ, что $0.(9) = 1$ по общепринятому определению, тогда и разговора нет...

[Pripyat]

epros в сообщении #228755 писал(а):

Ну и дискуссия разгорелась...

А слабо было начать с определения отношения порядка для десятичных дробей?
Я, например, не вижу ничего противоестественного в том, чтоба определить так:
$a < b$ тогда и только тогда, когда старшая несовпадающая цифра у числа $a$ меньше, чем у числа $b$.

По такому определению $0.(9) < 1$, хотя это и противоречит тому, что принято в арифметике действительных чисел. Аргументы, типа того, что "укажите число между ними" не катят, потому что ... ну нет таких чисел, и что? Теоремы-то о том, что между любыми числами есть число, у нас в такой аксиоматике нет...

Как раз, то что это определение не выполняется для данного числа (и для всех с 9 в периоде), это определение можно назвать противоестественным.
Укажите число между ними - "ну нет таких чисел, и что?". Я слышал, что на аксиому Архимеда опирается одна из лемм: между любыми двумя рациональными числами, существует хотя бы одно вещественное.

Мне кажется, лучше ввести определение сравнения числа с 0, и свести то, что a<b к a-b<0.
Так как 0,(9) всё таки равно единице и это доказывается многими способами, то следовательно из 0,(9) и 1 ==> [0,(9)-1 = 0] и 0. Значит знак "=". Конечно теперь можно по-другому ввести отрицание...

[MGM]

Pripyat в сообщении #228068 писал(а):

Здравствуйте, скажите, правда ли, что 0,(9)=1. И если есть, какие нибудь доказательства того что это так, или не так. Я читал про то, что "Если 1/3=0,(3), то 1=1/3*3 = 0,(3)*3=0,(9). Мне показалось это достаточно убедительным, но некоторым моим собеседникам нет, поэтому хочу докопаться до истины. Заранее спасибо.

Вся загвоздка в том, что вот это 1/3=0,(3) либо верно, тогда и Ваше рассуждение верно, либо не верно.
По моему доказать 1/3=0,(3) труднее чем 0,(9)=1,
значит тема провокационная

[Pripyat]

А что неверного в таком доказательстве 0,(3): найдём рациональное число, выражаемое периодической дробью 0,(3)
x=0,(3)
10x=3,(3)
10x-x=9x=3
Значит x=1/3.

Кстати аналогично можно и 0,(9) также раскрывать:
x=0,(9)
10x=9,(9)
10x-x=9x=9
Значит x=1.

По моему это доказательство уже тут приводилось...

[LetsGOX]

О да, это очень знаменитое доказаетельсво
Пусть m/n=0,abc(d), тогда 10m/n=a,bc(d), и тогда 9m/n=a,(b-a)(c-d)(d-c) и тогда m/n=a,(b-a)(c-b)(d-c)/9
Ну и тогда все элементарно доказывается

А вообще метод Виктора Викторова самый лучший, потому что заставить найти число меджу 0,(9) и 1 - это непосильная и нерешимаыя задача

[epros]

LetsGOX в сообщении #228850 писал(а):

А вообще метод Виктора Викторова самый лучший, потому что заставить найти число меджу 0,(9) и 1 - это непосильная и нерешимаыя задача

Есть много непосильных и неразрешимых задач. Но эта ещё и из тех, которые не дают ответа на поставленный вопрос.

Я, например, могу сказать почему с точки зрения конструктивного анализа $0.(9) = 1$. Но этот ответ основан на определении действительных чисел и отношения равенства между ними, которое "классическим" математикам может не понравится. Хотелось бы услышать ответ на этот же вопрос и от "классических" математиков, основанный на их определении действительного числа. Пока, увы, такового не наблюдаю ...

[ewert]

epros в сообщении #228976 писал(а):

Хотелось бы услышать ответ на этот же вопрос и от "классических" математиков, основанный на их определении действительного числа. Пока, увы, такового не наблюдаю ...

Ну берите, скажем, стандартное канторово определение вещ. числа как результата факторизации фундаментальных последовательностей. И доказывайте на этом основании, что $0,(9)=1$ (а заодно и что оба выражения осмысленны). В чём проблемы-то?...

[epros]

ewert в сообщении #228979 писал(а):

Ну берите, скажем, стандартное канторово определение вещ. числа как результата факторизации фундаментальных последовательностей. И доказывайте на этом основании, что $0,(9)=1$ (а заодно и что оба выражения осмысленны). В чём проблемы-то?...

Вы топикстартера спросите: ему понятно?

[Pripyat]

Результат факторизации фундаментальных последовательностей - не понятно

[ewert]

Pripyat в сообщении #229171 писал(а):

Результат факторизации фундаментальных последовательностей - не понятно

Вещественные числа так или иначе строются (если не иметь в виду чисто аксиоматический подход) как некоторое расширение множества рациональных чисел. Которые оказываются нехороши с разных точек зрения, и наиболее неприятная (с прицелом на дальнейший анализ) нехорошесть -- это что не любая фундаментальная последовательность имеет предел.

Так вот, канторов подход к определению вещественных чисел решает эту проблему грубо и в лоб, применяя стандартную (т.е. уже потом ставшую стандартной, конечно) процедуру "пополнения". А именно: две фундаментальные последовательности объявляются "эквивалентными", если разность между ними стремится к нулю (естественно, доказывая при этом, что определение корректно, т.е. что это -- и впрямь отношение эквивалентности). Тогда множество всех фундаментальных последовательностей разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности. Каждый такой класс и объявляется вещественным числом, т.е. отождествляется с ним.

Конечно, после этого ещё предстоит возня с арифметикой, и с отождествлением подмножества вновь построенных чисел с уже имеющимися рациональными, и с доказательством того, что проблемы со сходимостью фундаментальных последовательностей тем самым решены, но это уже техника, и достаточно банальная.

[Pripyat]

Неужели различные определения вещественных чисел не эквивалентны? Вот как с пределом, есть по Гейне, есть по Коши, но они эквивалентны. Да и странно было бы называть одним названием "предел" две разные вещи и с разными способами работы с ними.
Т.е. от того, как определять вещественные числа зависит и результаты простейших арифметических вычислений, а также и данный факт с периодическими дробями??? Хм, интересная штука ...

[ewert]

Pripyat в сообщении #229238 писал(а):

Неужели различные определения вещественных чисел не эквивалентны?

Эквивалентны.

[Лукомор]

MGM в сообщении #228809 писал(а):

По моему доказать 1/3=0,(3) труднее чем 0,(9)=1,
значит тема провокационная

А доказать, что 0=0,(0) ???

[epros]

ewert в сообщении #229245 писал(а):

Pripyat в сообщении #229238 писал(а):

Неужели различные определения вещественных чисел не эквивалентны?

Эквивалентны.

Что Вы имеете в виду? Например, определение конструктивного анализа не эквивалентно классическому в том смысле, например, что отсутствует утверждение о разрешимости равенства, т.е. о том, что $a=b$ либо истинно, либо ложно для любых $a$ и $b$. (И есть примеры, когда равенство не разрешается).

Но равенство $0.(9)=1$ разрешимо и в конструктивном анализе, причём тривиальным образом по определению.

[ewert]

epros в сообщении #229420 писал(а):

Например, определение конструктивного анализа не эквивалентно классическому в том смысле

С моей личной точки зрения (я её никому не навязываю), конструктивного анализа не существует. То и имею в виду.