Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[Гаджимурат]

Семен в сообщении #199528 писал(а):

,$M_3=y/k_3$, где$k_3$ некоторое рациональное число.

Извините,раньше не было времени просмотреть Вашу тему.
Т.как у Вас $M_3=z-x$, а для решения ур-ния Ф. для $n=3$ требется выполнение условия: $z-x=m_3^3$, а $y=bcm_3+m_3^3$ ,(здесь принято,что $x$ делится на 3 , а $z-y=\frac{b^3}3$ и $x+y=c^3$) то $k_3m_3^3=y=bcm_3+m_3^3$ .Проведите анализ полученного! Сделайте выводы. Все изложенное относится для любой степени $n$. ( $m_3$ принята Вами).

[Виктор Ширшов]

Семён: $z_3$=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$.
Может быть,Вам следует обратиться к закономерности $x^3+y^3$=$(x+y)(xy+k^2)$, где $k=y-x$. Если Вы получите целое число, придёте к выводу,что Ферма ошибся, если не получите, докажете правоту француза для третьей степени.

[Семен]

shwedka писал(а):

Семен в сообщении #199528 писал(а):
А в 1-ом и во 2-ом вариантах не может быть натуральным числом.

shwedka писал(а):

не доказано

Примем: $ X^==Y^==1 $. Тогда:
$ M_3^==Z^=_3-X^= =($\sqrt[3]{2}$ - 1) $ - иррациональное число.
$ k_3^==Y^=/M^=_3=1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) $ - иррациональнoе число.
Уважаемая shwedka, буду Вам благодарен, если Вы рассмотрите расположенный ниже вариант док-ва и сообщите замечания.

Примем: $ M_3=1 $, $ X $ - натуральное число. Тогда: $ Z_3=(X+1) $, $ k_3=Y/M_3 $. Определим $ Y $: $ Y^3=Z^3-X^3=(X+1)^3-X^3=(3*X^2+3*X+1) $. Здесь, по моему мнению, если это не верно – поправьте меня, $ Y $ не может быть рациональным числом.
Поэтому $ k_3=Y/M_3=Y/1=Y $ - иррациональное число.

[shwedka]

Семен в сообщении #223331 писал(а):

расположенный ниже вариант док-ва

варианта или какого-либо подобия доказательства не наблюдается.

Семен в сообщении #223331 писал(а):

десь, по моему мнению

есть выраженное мнение.
и, думаете вы, форум помнит ВАши многочисленные обозначения и переобозначения??

[Виктор Ширшов]

А нельзя как-то попроще?
Один заслуженый участник в topic22109.html утверждал, что $1^n + 1^n =2$, другой такой же - $1^2+1^2 =2$.

Семён! Взяв эти уравнения за основу, Вы могли установить, что при $n>1$ $Z$ - иррациональное число и без введения новых чисел. В самом деле, если $X=Y=1$, то $1^n + 1^n$ равно не просто 2, а $(\sqrt[n]{2})^n$

[Семен]

Семен в сообщении #223331 писал(а):

расположенный ниже вариант док-ва

shwedka писал(а):

варианта или какого-либо подобия доказательства не наблюдается.

Семен в сообщении #223331 писал(а):
Здесь, по моему мнению

shwedka писал(а):

есть выраженное мнение.
и, думаете вы, форум помнит ВАши многочисленные обозначения и переобозначения??

Извините. Задам вопрос так: "Можно ли утверждать, что
$ Y $ - иррациональное число в уравнении
$ Y^3=Z_3^3-X^3=(X+1)^3-X^3=(3*X^2+3*X+1) $, где
$ X $ и $ Z_3=(X+1) $ - натуральные числа. "

[TOTAL]

Семен в сообщении #224434 писал(а):

Извините. Задам вопрос так: "Можно ли утверждать, что
$ Y $ - иррациональное число в уравнении
$ Y^3=Z_3^3-X^3=(X+1)^3-X^3=(3*X^2+3*X+1) $, где
$ X $ и $ Z_3=(X+1) $ - натуральные числа. "

Надо сначала решить уравнение, только затем утверждать.

[shwedka]

Семен в сообщении #224434 писал(а):

Задам вопрос так: "Можно ли утверждать, что
$ Y $ - иррациональное число в уравнении
$ Y^3=Z_3^3-X^3=(X+1)^3-X^3=(3*X^2+3*X+1) $, где
$ X $ и $ Z_3=(X+1) $ - натуральные числа. "

Отвечаю
1.Утверждать можно что угодно.
2.Дополнительный вопрос: будет ли такое утверждение верно?
Я говорю, что да, это известно еще со времен Эйллера.


Но если хотите быть оригинальным, давайте доказательство.
- У Вас я доказательства не наблюдаю.

[Семен]

shwedka писал(а):

Семен в сообщении #224434 писал(а)
Задам вопрос так: "Можно ли утверждать, что $ Y $ - иррациональное число в уравнении
$ Y^3=Z_3^3-X^3=(X+1)^3-X^3=(3*X^2+3*X+1) $, где
$ X $ и $ Z_3=(X+1) $ - натуральные числа. "

shwedka писал(а):

Отвечаю
1.Утверждать можно что угодно.
2.Дополнительный вопрос: будет ли такое утверждение верно?
Я говорю, что да, это известно еще со времен Эйллера.

Учитывая Ваш положительный ответ, предлагается следующее доказательcтво:


Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.

Дано: $Z_n^n=X^n+Y^n $, $Z^2=X^2+Y^2 $, $Z_3^3=X^3+Y^3 $. $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, (1)
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b).
Требуется доказать:
Уравнение (1) однобременно не имеет решений для натуральных чисел $ (X, Y, Z_3), (X, Y, Z_4),…,(X, Y, Z_n) $.


§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$ (2) .
Определим число $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z \in\ N, (Y <X )\} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z \in\ J, (Y \le X)\} $,


Примечание: 1. При доказательстве можно принимать:
$ (X, Z_n) $ - натуральные числа, a $ Y $ -иррациональное число.

Oпределяем число $ M=(Z-X) $.
Отсюда: $ Z=(M+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ (5a)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь натуральное решение $ M $, которое должно быть делителем числа $ Y^2 $. Запишем его в виде $ M=Y/k $,
где $ k $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень $ M $ уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ M=Y/k$, но число $ k $ уже иррационально.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2b). Положим $ M_3=(Z_3-X) $. После возведения в куб, получаем:
$ M_3^3+3*X*M_3^2$+3*X^2*M_3-Y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ M_3 $ должно быть делителем числа $ Y^3 $. Если, действительно, такой натуральный корень $ M_3 $ существует, то обозначим
$ M_3=Y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
Примечания:
В множестве S:
1. $ 0<M< Y $, $ 0<M_3< Y $.
2. Для выполнения условия $ Y \le X $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $,..., $ 1/($\sqrt[n]{2}$ - 1) \le k_n $.

§2 Для $ (X, Y)\in\ S $, определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $,
$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $, (2.1)
где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, y $ базой для пары $ X, Y $. В множестве S:
1. $ y \le x $.
2. $ 0<m_3< y/2 $.
3. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $,...,
$ 1/($\sqrt[n]{2}$ - 1) \le k_n $.
Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и $ k $, $ k_3 $,…, $ k_n $ остаются базовыми.
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовoй пары $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через
$ E(k) $, множество $ E(k, 1)=\{x, y; z, z_3,…,z_n; m_3, m, m_3,…,m_n; \} $. Это множество (БР) состоит из элементов $ x, y, z, z_3,…, z_n; m_3,..m_n $ , построенных по фиксированному $ k $, и из числa $ m=2 $, не зависящего от $ k $.


B БР: $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $, $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $,…,
$z_n=$\sqrt[n]{x^n+y^n}$ $.
При заданных $ k $ и $ d $, множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $, множество $ L(k, d)=\{ X, Y; Z, Z_3,…Z_n; M, M_3,…, M_n; \} $, где все элёменты определены выше.
B ПР: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $, $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $,…, $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это
подмножества множества, которое будем называть «блок подобных рядов» (БПР)
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_3=m_3*d,…, M_n=m_n*d $, $ Z=z*d $, $ Z_3=z_3*d $,…, $ Z_n=z_n*d $.
$ M=Z-X $, $ M_3=Z_3-X,…, M_n=Z_n-X $, $ m_3=(z_3-x),…, m_n=(z_n-x), m*k=m_3*k_3,…, m_n*k_n=y $. $ d $ – действительное число.



§3 Принимаем: $ X $ - натуральное число,
$ M_3=1 $. Тогда: $ Z_3=(X+M_3)=(X+1) $
Из уравнения $Z_3^3=X^3+Y^3 $
следует: $ Y^3=Z_3^3-X^3=(X+1)^3-X^3=(3*X^2+3*X+1) $. Тогда: $ Y=$\sqrt[3]{3*X^2+3*X+1}$ $ - иррациональное число. B §1 определено, что $ M_3=Y/k_3 $. Отсюда: $ k_3=Y/M_3 $. А т.к. $ M_3=1 $, то $ k_3 $ - иррациональное число. Из вышеизложенного следует, что, при $ M_3=1 $, в $ L(k,d) $: элементы $ X,Y,Z_3 $, не могут быть одновременно натуральными числами.
Если же принять, что $ M_3=2, M_3=3, M_3=4 $ и т.д., то получим множества, элементы которых $ X,Y,Z_3 $ увеличатся во столько раз, во сколько раз принятое $ M_3 $ больше $ M_3=1 $.
При этом: увеличенные $ X,Z_3 $ останутся натуральными числами, а увеличенное $ Y $ будет иррациональным числом. При этом: $ k_3=Y/M_3 $ будет иррациональным числом.



Уважаемая shwedka!
Будет ли верно утверждение, что $ Y $ - иррациональное число в уравнении
$ Y^n=Z_n^n-X^n=(X+1)^n-X^n=(n*X^{n-1}+…+n*X+1) $, где
$ X $ и $ Z_n=(X+1) $ - натуральные числа. " ?

[jetyb]

Семен в сообщении #225903 писал(а):

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.

Дано: $Z_n^n=X^n+Y^n $, $Z^2=X^2+Y^2 $, $Z_3^3=X^3+Y^3 $. $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, (1)
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b).
Требуется доказать:
Уравнение (1) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3,…,Z_n $.

Вы это доказываете? Это не теорема Ферма.

Семен в сообщении #225903 писал(а):

Если же принять, что $ M_3=2, M_3=3, M_3=4 $ и т.д., то получим множества, элементы которых $ X,Y,Z_3 $ увеличатся во столько раз, во сколько раз принятое $ M_3 $ больше $ M_3=1 $.

Откуда это следует?

Зачем Вам нужны первые два параграфа, если в них вы ничего не выводите и в третьем на них не ссылаетесь? Из них я почерпнул только определение числа $M_3$. Вы написали попытку доказательства теоремы Ферма для n=3. Где доказательство для больших n?

[yk2ru]

Когда Семён докажет для 3, будет доказывать и для больших. Такой был уговор.

Не понял примечания 1. Вверху утверждалось, что $Y$ натуральное, а в примечании его сделали вдруг иррациональным.

[sceptic]

jetyb в сообщении #225924 писал(а):

Зачем Вам нужны первые два параграфа, если в них вы ничего не выводите и в третьем на них не ссылаетесь? Из них я почерпнул только определение числа $M_3$. Вы написали попытку казательства теоремы Ферма для n=3. Где доказательство для больших n?

Считайте, что здесь принят такой порядок "защиты" доказательств ТФ . Сначала предъявить доказательство для $n=3$. Если оно будет принято - только после этого показывать доказательство для $n>3$.

[shwedka]

Семен в сообщении #225903 писал(а):

Если же принять, что $ M_3=2, M_3=3, M_3=4 $ и т.д., то получим множества, элементы которых $ X,Y,Z_3 $ увеличатся во столько раз, во сколько раз принятое $ M_3 $ больше $ M_3=1 $.

Увеличатся по сравнению с чем???

[Семен]

shwedka писал(а):

Семен в сообщении #225903 писал(а):
Если же принять, что $ M_3=2, M_3=3, M_3=4 $ и т.д., то получим множества, элементы которых $ X,Y,Z_3 $ увеличатся во столько раз, во сколько раз принятое $ M_3 $ больше $ M_3=1 $.

shwedka писал(а):

Увеличатся по сравнению с чем???

В начале §3 принято произвольное натуральное число $ X $ и $ M_3=1 $. Естесственно, что, в этом случае, $ Z_3= X+1 $. В результате получили
$ Y=$\sqrt[3]{3*X^2+3*X+1}$ $ - иррациональное число. Все эти элементы являются элементами множества
$ L(k, d)=\{ X, Y, Z, Z_3=(X+1), M, M_3=1, k_3 \} $.
Это подобный ряд, в котором, при
$ X, Z_3=(X+1), M_3=1,$ - натуральных числах,
$ Y, d, k_3 $ - иррациональные числa.
Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что не только для
$ M_3=1 $ действительно вышеприведённое доказательство, но что оно действительно для всех остальных
$ M_3 $ - натуральных чисел. А именно:
$ M_3=2, M_3=3, M_3=4 $ и т.д.
Например: Увеличив $ M_3=1 $ в два раза, мы получим множество, подобное множеству $ L(k, d)=\{ X, Y, Z, Z_3=(X+1), M, M_3=1, k_3 \} $, элементы которого
удвоятся, за исключением $ k, k_3 $.
Это множество будет выглядеть так: $ L(k, d)=\{2*X, 2*Y, 2*Z, Z_3=2*X+2, 2*M, M_3=2, k_3 \} $.

[shwedka]

Семен в сообщении #226043 писал(а):

Например: Увеличив $ M_3=1 $ в два раза, мы получим множество, подобное множеству $ L(k, d)=\{ X, Y, Z, Z_3=(X+1), M, M_3=1, k_3 \} $, элементы которого
удвоятся, за исключением $ k, k_3 $.
Это множество будет выглядеть так: $ L(k, d)=\{2*X, 2*Y, 2*Z, Z_3=2*X+2, 2*M, M_3=2, k_3 \} $.

Недостаточно. пропущено рассмотрение случая, когда $2X$-- целое, но нечетное. Тогда никакие результаты, относящиеся к целому $X$, сюда отношения не имеют.

Более того, Результат об иррациональности $((X+1)^3-X^3)^{1/3}$ вам недоступен, и сам лишь ненамного слабее ТФ для трех.