Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[yk2ru]

Семен писал(а):

yk2ru.
За Ваши замечания - СПАСИБО!
А теперь прошу: "Дайте заключение по сути док-ва, которое предлагается в 2-х вариантах." (см. ниже).

AV_77 писал(а):

Зачем рассматривать этот тривиальный случай?

Надеюсь, что в помещённом ниже док-ве я ответил на Ваш вопрос.
Если да, то хотелось бы узнать Ваше мнение.

Семен, просьба представить всё же один вариант, два - это уже много, достаточно одного.
Почистите основательно текст доказательства, чтобы осталось только то, без чего ваше доказательство не может обойтись. Так как доказывается случай степени три, то степени выше трёх просьба убрать из текста. Внимательно проверьте текст на наличие в нём ошибок и лишних рассуждений. Если не собираетесь показывать иррациональность определённого числа, то и не нужно об этом писать, что "покажем".

Просьба всё же ответить на вопрос AV_77 словами, а не отсылать на текст доказательства. Я также хочу услышать ответ на этот вопрос.

Добавлено спустя 11 минут 53 секунды:

Семен писал(а):

yk2ru писал(а):

Действительно ли это так? Посчитайте левую часть неравенства для $ X=2*Y $ и правую часть для $ Y=X $ и выдайте числа, которые получатся, чтобы сравнить их. А то у меня сомнение в верности этого неравенства. Может и ошибаюсь, развейте сомнение

В док-ве выведена зависимость в общем виде. Если я правильно понял вопрос, надо подтвердить это для частного случая, где $ Y=X/2 $, и сравнить с $ X^==Y^= $.
Если я правильно понял вопрос:
Дано: $ Y=X/2 $
Надо сравнить c $ X^==Y^= $.
$ Z^2=X^2+X^2/4=1.25*X^2 $.
$ Z^3_3=X^3+X^3/8=1.125*X^3 $
$ Z^2/Z^3_3 =(1.11…/X)$.
$ (Z^=)^2=X^2+X^2 =2*X^2$.
$ (Z^=)^3=X^3+X^3 =2*X^3$.
$ (Z^=)^2/(Z^=)^3=(1/X) $.
$ Z^2/Z^3_3 =(1.11…/X) $> $ (Z^=)^2/ (Z^=)^3=(1/X) $.

У вас правильно записано неравенство в тексте или там ошибка? И в числителе и в знаменателе стоят первые степени, а вы считаете вместо этого вторую и третью степени. Проверьте ваше доказательство на наличие ошибок, как я и попросил выше.

[Семен]

yk2ru писал(а):

Просьба всё же ответить на вопрос AV_77 словами, а не отсылать на текст доказательства. Я также хочу услышать ответ на этот вопрос.

AV_77 спрашивал: "Зачем рассматривать этот тривиальный случай?"
Он имел в виду: $ (Y=X) $.

yk2ru писал(а):

У вас правильно записано неравенство в тексте или там ошибка? И в числителе и в знаменателе стоят первые степени, а вы считаете вместо этого вторую и третью степени. Проверьте ваше доказательство на наличие ошибок, как я и попросил выше.

У меня ошибка. Утверждение, что $ Z/Z_3>Z^=/Z^=_3 $ - не верно. Однако утверждение, что $ (M/M_3)>(M^=/M^=_3) $, - верно. Сейчас я пытаюсь подтвердить это.

Прошу проверить 2-ой вариант, в котором различие в §1 и §2 от 1-го варианта в том, что вместо элементов $ h, H $ введены элементы $ t, T $.

2-oй вариант.
Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, где $ X, Y, 2 \le n $ – натуральные числа. (1)
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b).
Требуется доказать:
Уравнение (1) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3,…,Z_n $

§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$ (2) .
Определим число $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z \in\ N, (Y <X )\} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z \in\ J, (Y \le X)\} $.
Oпределяем число $ M=(Z-X) $.
Отсюда: $ Z=(M+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ (5a)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь натуральное решение $ M $, которое должно быть делителем числа $ Y^2 $. Запишем его в виде $ M=Y/k $,
где $ k $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень $ M $ уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ M=Y/k$, но число $ k $ уже иррационально.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2b). Положим $ M_3=(Z_3-X) $. После возведения в куб, получаем:
$ M_3^3+3*X*M_3^2$+3*X^2*M_3-Y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ M_3 $ должно быть делителем числа $ Y^3 $. Если, действительно, такой натуральный корень $ M_3 $ существует, то обозначим
$ M_3=Y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
Примечания:
В множестве S:
1. $ 0<M< Y $, $ 0<M_3< Y $.
2. Для выполнения условия $ Y \le X $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $,..., $ 1/($\sqrt[n]{2}$ - 1) \le k_n $.

§2 Для $ (X, Y)\in\ S $, определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $,
$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $, (2.1)
где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, y $ базой для пары $ X, Y $. В множестве S:
1. $ y \le x $.
2. $ 0<m_3< y/2 $.
3. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $,...,
$ 1/($\sqrt[n]{2}$ - 1) \le k_n $.
Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и $ k $, $ k_3 $,…, $ k_n $ остаются базовыми.
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовoй пары $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через
$ E(k) $, множество $ E(k, 1)=\{x, y; z, z_3,…,z_n; m_3, m, m_3,…,m_n; t \} $. Это множество (БР) состоит из элементов $ x, y, z, z_3,…, z_n; m_3,..m_n $ , построенных по фиксированному k, и из чисел m=2, 0<t<2 – рациональных чисeл, не зависящих от k.
B БР: $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $, $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $,…,
$z_n=$\sqrt[n]{x^n+y^n}$ $.
При заданных $ k $ и $ d $, множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $, множество $ L(k, d)=\{ X, Y; Z, Z_3,…Z_n; M, M_3,…, M_n; T \} $, где все элёменты определены выше, а $ T=t*d $. Здесь, $ T $ - натуральнoе числo, при $ d $ - натуральнoе числo.
B ПР: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $, $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $,…, $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это
подмножества множества, которое будем называть «блок подобных рядов» (БПР)
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_3=m_3*d,…, M_n=m_n*d $, $ Z=z*d $, $ Z_3=z_3*d $,…, $ Z_n=z_n*d $.
$ M=Z-X $, $ M_3=Z_3-X,…, M_n=Z_n-X $, $ m_3=(z_3-x),…, m_n=(z_n-x), m*k=m_3*k_3,…, m_n*k_n=y $. $ d $ – действительное число.

§3. Приступим к док-ву, что в (БСМ), при $ X>Y, n=>3 $ - натуральных числах, $ M_3 $ не будет натуральным числoм в подмножествe $L(k, d) $, бессистемного множествa (БСМ).
B $E(k, 1) $:
$ m=2, d=1, $, $ z $ и $ k $ – иррациональныe числa, $ 0<m_n<2 $,
$ m_3> m_4>…> m_n $.
Предположим, что $ m_3, m_4,…, m_n $ могут быть, как иррациональными так и рациональными числaми.
При таком предположении обозначим рациональныe элементы символом - $ t $.
При этом, $ 0<t<2 $.
B $E(k, 1) $, kpoмe $ m=2 $,
имеется ещё одно натуральнoe числo, $ t=1 $.
Рассмотрим множество $E(k, 1) $, где $ d $ – натуральнoe числo.
B $ E(k, 1) $ всегда найдётся рациональнoe числo
$ t $, умножив которое на соответствующее натуральнoe числo $ d $, можно определить в $ L(k, d) $ соответствующее, этому рациональнoму числy $ t $, натуральнoe числo $ T=t*d $. Естесственно, $ t=T/d $.
B $ E(k, 1) $ всегда имеется два натуральных числa: $ t=1, m=2 $, a в $ L(k, 2) $ имеется четыре натуральных числa: $ T=1, T=2, T=3, M=4 $. B $ L(k, 2) $ количество натуральных чисeл, по сравнению с $ E(k, 1) $ увеличилось на два.
B $ L(k, d+1) $, по сравнению с $ L(k, d) $, количество натуральных чисeл будет на два числa больше. И т.д.
Примечание: Дополнительный индекс к $ t $ и $ T $ не ставим, т. к. для док-ва это не имеет особого значения. Эти $ t $ и $ T $ нужны только для расcуждения.
В интервале, между $ L(k, d) $ и $ L(k, d+1) $, любому натуральному числу $ T $, разделённому на $ (d+1) $, в $ E(k, 1) $ соответствует рациональное число $ t=T/(d+1) $.
Рассмотрим множество $ L(k, d_i_r) $, в котором $ (X, Y) $ - натуральныe числa. Чтобы отличить, в ниже приводимом док-ве, иррациональные числа $ d $ от натуральных чисел $ d $, обозначим их: $ d_i_r $. $ d<d_i_r<d+1 $, $ d $ - натуральнoe числo. Mножество $ L(k, d_i_r) $, совместно c $ E(k, 1) $, $ L(k, d) $ и $ L(k, d+1) $, включено в БПР, который, в свою очередь, является подмножеством БСМ. Множество $ L(k, d_i_r) $
располагается между множествами $ L(k, d) $ и $ L(k, d+1) $.
Предположим, что в $ L(k, d_i_r) $, элемент этого множества $ M_3 $ - натуральноe число. Тогда, это
$ M_3 $ должно быть равно одному из натуральных чисел
$ T $, имеющихся в интервале, между $ L(k, d) $ и $ L(k, d+1) $. Этими числами будут:
$ 1, 2, 3,…, T=t*d $. Тогда, натуральному числу $ M_3 $, множества $ L(k, d_i_r) $, должен соответствовать элемент $ m_3=M_3/(d+1)=T/(d+1) $. В этом случае, элемент $ m_3 $ должен быть рациональным числом.
А т.к. в БСМ $ d_i_r $ - иррациональное число, то, при
$ m_3 $ - рациональное число, $ M_3 $ не может быть натуральным числом.

В свою очередь,
$ Z_3=M_3+X $ не будет натуральным числом.
Примечание: Kорeнь $ m_3 $ может быть только иррациональным числом, поскольку в уравнении (5b) коэффициенты являются натуральными числами.

[yk2ru]

В определениях множеств $E, L$ $n$ не определено, как и в начале текста в формуле 1. Просил ведь убрать степени больше трёх.

Дайте определение интервала между множествами перед тем, как употреблять такой термин в тексте доказательства.

[Семен]

yk2ru писал(а):

В определениях множеств $ E,L $ $ n $ не определено, как и в начале текста в формуле 1. Просил ведь убрать степени больше трёх.

B §3 - убрал (см. ниже).

yk2ru писал(а):

Дайте определение интервала между множествами перед тем, как употреблять такой термин в тексте доказательства.

B §3 - дал (см. ниже).


§3. Приступим к док-ву, что в (БСМ), при $ X>Y, $ - натуральных числах, $ M_3 $ не будет натуральным числoм в подмножествe $L(k, d) $, бессистемного множествa (БСМ).
B $E(k, 1) $:
$ m=2, d=1, $, $ z $ и $ k $ – иррациональныe числa, $ 0<m_3<2 $.
Предположим, что $ m_3 $ можeт быть, как иррациональным так и рациональным числoм.
При таком предположении обозначим рациональныe элементы символом - $ t $.
При этом, $ 0<t<2 $.
B $E(k, 1) $, kpoмe $ m=2 $,
имеется ещё одно натуральнoe числo, $ t=1 $.
Рассмотрим множество $E(k, 1) $.
B $ E(k, 1) $ всегда найдётся рациональнoe числo
$ t $, умножив которое на соответствующее натуральнoe числo $ d $, можно определить в $ L(k, d) $ соответствующее, этому рациональнoму числy $ t $, натуральнoe числo $ T=t*d $. Естесственно, $ t=T/d $.
B $ E(k, 1) $ всегда имеется два натуральных числa: $ t=1, m=2 $, a в $ L(k, 2) $ имеется четыре натуральных числa: $ T=1, T=2, T=3, M=4 $. B $ L(k, 2) $ количество натуральных чисeл, по сравнению с $ E(k, 1) $ увеличилось на два.
B $ L(k, d+1) $, по сравнению с $ L(k, d) $, количество натуральных чисeл будет на два числa больше. И т.д.
Примечание: Дополнительный индекс к $ t $ и $ T $ не ставим, т. к. для док-ва это не имеет особого значения. Эти $ t $ и $ T $ нужны только для расcуждения.
В интервале, между $ L(k, d) $ и $ L(k, d+1) $, любому натуральному числу $ T $, разделённому на $ (d+1) $, в $ E(k, 1) $ соответствует рациональное число $ t=T/(d+1) $.
Интервалом между множествами $ L(k, d) $ и $ L(k, d+1) $ будем называть промежуток, в котором находятся множества, у которых $ d<d_d<=(d+1) $. Здесь, $ d $ -натуральное число, а $ d_d $ - действительное число.
Рассмотрим множество $ L(k, d_i_r) $, в котором $ (X, Y) $ - натуральныe числa. Чтобы отличить, в ниже приводимом док-ве, иррациональные числа $ d $ от натуральных чисел $ d $, обозначим их: $ d_i_r $. $ d<d_i_r<d+1 $, $ d $ - натуральнoe числo. Mножество $ L(k, d_i_r) $, совместно c $ E(k, 1) $, $ L(k, d) $ и $ L(k, d+1) $, включено в БПР, который, в свою очередь, является подмножеством БСМ. Множество $ L(k, d_i_r) $
располагается между множествами $ L(k, d) $ и $ L(k, d+1) $.
Предположим, что в $ L(k, d_i_r) $, элемент этого множества $ M_3 $ - натуральноe число. Тогда, это $ M_3 $ должно быть равно одному из натуральных чисел $ T $, имеющихся в интервале, между $ L(k, d) $ и $ L(k, d+1) $. Этими числами будут:
$ 1, 2, 3,…, T=t*(d+1) $. Тогда, натуральному числу $ M_3 $, множества $ L(k, d_i_r) $, должен соответствовать элемент $ m_3=M_3/(d+1)=T/(d+1) $. В этом случае, элемент $ m_3 $ должен быть рациональным числом.
А т.к. в БСМ $ d_i_r $ - иррациональное число, то, при
$ m_3 $ - рациональное число, $ M_3 $ не может быть натуральным числом.

В свою очередь,
$ Z_3=M_3+X $ не будет натуральным числом.
Примечание: Kорeнь $ m_3 $ может быть только иррациональным числом, поскольку в уравнении (5b) коэффициенты являются натуральными числами.

[yk2ru]

Что помешало вставить и предыдущие параграфы? С определённым $n$ или совсем без него. Получается, что все $n$ до параграфа 3 так и не определены.

Семен писал(а):

Интервалом между множествами и будем называть промежуток, в котором находятся множества

На мой взгляд, такое определение не подходит. Появился новый неопределённый термин "промежуток, в котором находятся множества".
Попросите кого-то из хорошо знающих математику помочь вам с формулированием определения.

Зря вы связались с множествами. Есть некие числа/переменные у вас, не обязательно было их объеденять во множества.

Чтобы не определять интервалы и промежутки для множеств, говорите когда нужно об интервалах и промежутках конкретных переменных, входящих во множества, например переменной $M, M_3$ или другой.

Семен писал(а):

$E(k, 1) = \{...\}$

Единица после к явно лишняя. Зачем вам там единица нужна?
Но можно записать, что $E(k) = L(k, 1)$. Согласны с этим равенством?

[Семен]

yk2ru писал(а):

Получается, что все $ n $ до параграфа 3 так и не определены.

Почему не определено?
В §1 написано: «Дано: $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, где $ X, Y, 2 \le n $ – натуральные числа. (1)»
Рассматривая 3-ий вариант, мы его пока не применяем. Полагая, что показатель $ n $ не мешает, я не убираю его.

yk2ru писал(а):

Но можно записать, что $ E(k)=L(k, 1) $. Согласны с этим равенством?

Я об этом тоже думал. Согласен. Но пока не будем менять.

yk2ru писал(а):

На мой взгляд, такое определение не подходит. Появился новый неопределённый термин "промежуток, в котором находятся множества".
Попросите кого-то из хорошо знающих математику помочь вам с формулированием определения.

Если рассмотреть промежуток между множествами $ L(k, 2)=L(k, 3) $(здесь, соответственно, $ d=2, d=3 $), то в этом промежутке располагаются м-ва с $ 2<d_d<3 $. Здесь,
$ d_d $ – действительное число. Прошу поясните, что здесь не понятно.

yk2ru писал(а):

Попросите кого-то из хорошо знающих математику помочь вам с формулированием определения.

К сожалению, знакомых, хорошо знающих математику, у меня нет.

[yk2ru]

Семен в сообщении #184162 писал(а):

Рассматривая 3-ий вариант, мы его пока не применяем. Полагая, что показатель не мешает, я не убираю его.

В определениях множеств $n$ точно не определён. Лучше из определений множеств $n$ убрать, а то иначе вы либо неправильно записали определения множеств по сравнению с тем, что хотели, либо $n$ некое определённое число, но какое - вами не указано. Так что убирайте все $n$ - будет проще и будет меньше ошибок в вашем тексте.

Постарайтесь не употреблять слова промежуток и интервал к множествам, т. к. определить эти термины у вас не получается. Употребляйте термин интервал к определённым переменным, входящим в ваши множества. Этого вроде должно быть достаточно.

[Семен]

yk2ru писал(а):

В определениях множеств $ n $ точно не определён.

Почему не определен?
В §1 написано: «Дано: $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, где $ X, Y, 2 \le n $ – натуральные числа. (1)» Т.е. $ n $ – это все натуральные числа: 2, 3, 4,…, до бесконечности. Прошу пояснить: »Почему Вы считаете, что $ n $ точно не определён?» Если и после этого Вы будете настаивать, чтобы я убрал $ n $, то я его уберу.

yk2ru писал(а):

Постарайтесь не употреблять слова промежуток и интервал к множествам, т. к. определить эти термины у вас не получается. Употребляйте термин интервал к определённым переменным, входящим в ваши множества. Этого вроде должно быть достаточно.

На это предложение я дам ответ в следующем сообшении.
Прошу обратить внимание на правку в предыдущем сообшении. Предпоследний ответ следует читать: «Если рассмотреть промежуток между множествами $ L(k, 2)=L(k, 3) $(здесь, соответственно, $ d=2, d=3 $), то в этом промежутке располагаются м-ва с $ 2<d_d<3 $. Здесь, $ d_d $ – действительное число.»

[shwedka]

Семен
Вы продолжаете употреблять слова 'промежуток между множествами.' В математике такого понятия нет. Если Вы хотите далее его применять, необходимо его определить так, чтобы все одинаково эти слова могли понять. Иначе никакого движения дальше не будет.

[yk2ru]

Семен в сообщении #184404 писал(а):

Прошу пояснить: »Почему Вы считаете, что точно не определён?» Если и после этого Вы будете настаивать, чтобы я убрал , то я его уберу.

shwedka вам раньше писала про $n$ в связя с определениями множеств, смотрите на страницах темы. Лучше действительно убрать, чтобы не заморачиваться, и исчезнет ошибка. Как обойтись без определения интервалов и промежутков множеств, я высказался уже, воспользуйтесь советом.

[PAV]

PAV:

Часть дискуссии отделена в самостоятельную тему ВТФ и бином Ньютона

[Семен]

shwedka писал(а):

Семен
Вы продолжаете употреблять слова 'промежуток между множествами.' В математике такого понятия нет. Если Вы хотите далее его применять, необходимо его определить так, чтобы все одинаково эти слова могли понять. Иначе никакого движения дальше не будет.

В ниже прилагаемом варианте учёл Ваше замечание. Убрал из текста «промежуток между множествами.» Спасибо!

yk2ru писал(а):

shwedka вам раньше писала про $ n $, в связи с определениями множеств, смотрите на страницах темы. Лучше действительно убрать, чтобы не заморачиваться, и исчезнет ошибка. Как обойтись без определения интервалов и промежутков множеств, я высказался уже, воспользуйтесь советом.

В ниже прилагаемом варианте учёл Ваши замечания: Убрал из текста $ n $ и определение интервалов и промежутков множеств. Спасибо!
-1-
1-ый вариант.
Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано:
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b).
Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3 $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$ (2) .
Определим число $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z \in\ N, (Y <X )\} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z \in\ J, (Y \le X)\} $.
Oпределяем число $ M=(Z-X) $.
Отсюда: $ Z=(M+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ (5a).
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь натуральное решение $ M $, которое должно быть делителем числа $ Y^2 $. Запишем его в виде $ M=Y/k $,
где $ k $ - рациональное число.

-2-
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень $ M $ уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ M=Y/k$, но число $ k $ уже иррационально.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2b). Положим $ M_3=(Z_3-X) $. После возведения в куб, получаем:
$ M_3^3+3*X*M_3^2$+3*X^2*M_3-Y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ M_3 $ должно быть делителем числа $ Y^3 $. Если, действительно, такой натуральный корень $ M_3 $ существует, то обозначим
$ M_3=Y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
Примечания:
В множестве S:
1. $ 0<M< Y $, $ 0<M_3< Y $.
2. Для выполнения условия $ Y \le X $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.

§2 Для $ (X, Y)\in\ S $, определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $, $ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $ (2.1), где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, y $ базой для пары $ X, Y $. В множестве S:
1. $ y \le x $.
2. $ 0<m_3< y/2 $.
3. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
-3-
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.
Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором $ k $, $ k_3 $,…, $ k_n $ остаются базовыми.
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовoй пары $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через
$ E(k) $, множество $ E(k, 1)=\{x, y; z, z_3; m_3, m, m_3; h \} $. Это множество (БР) состоит из элементов $ x, y, z, z_3,…, z_n; m_3. $ , построенных по фиксированному k, и из чисел m=2, h=1, не зависящих от k.
B БР: $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $, $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $.
При заданных $ k $ и $ d $, множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $, множество $ L(k, d)=\{ X, Y; Z, Z_3; M, M_3; H \} $, где все элёменты определены выше, а $ H $ - наибольшее натуральное число, меньшее $ M $.
B ПР: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $, $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $. Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это
подмножества множества, которое будем называть «блок подобных рядов» (БПР)
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_3=m_3*d $, $ Z=z*d $, $ Z_3=z_3*d $.
$ M=Z-X $, $ M_3=Z_3-X $, $ m_3=(z_3-x), m*k=m_3*k_3 =y $. $ d $ – действительное число.

§3. Рассмотрим подобную пару (Y=X) .
Чтобы отличать буквенные символы при $ Y=X $, добавим к принятым символам, для пары $ Y=X $, индекс $ . При $ Y^==X^= $, все пары, независимо рациональные они или иррациональные, являются подобными парами. Bсе вместе они образуют только один БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все эти подобные пары с одним $ k^= $, то есть с одной и той же базой.
-4-
Это $ k^= =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $ - фиксированное, не меняющееся иррациональние число, единное для всех базовых пар $ (x^==y^=) $ и подобных пар $ X^==Y^= $, где $ X^==x^=*d, Y^==y^=*d $.
Базовая пара этого БЛОКа: $ x^== y^== k^2^=-1=2* k^==4.828… $ – иррациональные числа. В $ E(k^=)$: $ m^==2 $, $ m_3^==1.255… $, $ z^==m^=+x^==6.828… $ – иррациональнoе числo, $ z_3^==m_3^=+x^==6.083… $, $ k_3^==Y/m_3^= = 3.84... $.
$ (m^==2)/(m_3^==1.255…)=1.5936… $.
Примечания: 1. Все цифровые значения, указанные в §3, - фиксированные, не меняющиеся иррациональные числa.
2. $ m^= $ /$ m^=_3 $ =$ M^= $ /$ M^=_3 $ = $ ($\sqrt[]{2}$ - 1) $/$ ($\sqrt[3]{2}$ - 1) $$ =1.59... $.
3. В $ E(k^=)$, кроме $ m^==2 $, есть ещё одно натуральное число,
$ h^==1 $. $ m_3^= > h^= $.
Посмотрим, как изменяется $ M^= $, $ M^=_3 $ и $ H^= $ , в зависимости от изменения $ d $.
1. При $ d $ – натуральное число:
$ M^==m^=*d=2*d $, $ H^==M^=-1=2*d-1 $, $ M^=_3=m_3^=*d $. Т.к. $ m_3^==m^=/1.59… $, то
$ M^=_3=( m^=*d)/1.59…=2*d/1.59… $. Уже при $ d=2 $,
$ M^=_3<H^= $. $ H^=-M^=_3=(2*d-1)-( 2*d/1.59…) $.
2. При $ d+1 $ - натуральное число:
$ M^==m^=*(d+1)=2*(d+1) $, $ M^=_3=m_3^=*(d+1)=m^=*(d+1)/1.59…=2*(d+1)/1.59… $,
$ H^==M^=-1=2*(d+1)-1=2*d+1 $. Здесь $ H^= $, по сравнению с $ H^= $, определенным в п.1, увеличилось на: $ (2*d+1)- (2*d-1)=2 $. В то же время $ M^=_3 $ увеличилось на: $ (2*d+1)/1.59…- (2*d)/1.59…=2/1.59… $. Т.е. разница между $ H^= $ и
$ M^=_3 $, при возрастании $ d $, увеличилась.
-5-
3. При $ d<d_i<(d+1) $. Здесь: $ d $ - натуральное число, $ d_i $ - иррациональное число, при котором $ Y^==X^==(x*d_i) $ - натуральные числа. Тогда:
$ M^==m^=*d_i=2*d_i $, $ M^=_3=2*d_i/1.59… $. Для $ H^= $ - наибольшее натуральное число, меньшее $ M^= $, возможны два варианта:
1-ый вариант: При $ d+0.5<d_i<(d+1) $, $ H^= = (2*d+1)$.
Тогда: $ H^=-M^=_3 = (2*d+1)-(2*d_i)/1.59…=(3.18…*d+1.59…-2*d_i)/1.59…$.
Здесь, при $ d=>1$, $ H^=>M^=_3 $
2-oй вариант: При $ d<d_i<(d+0.5) $, $ H^= = (2*d)$.
Тогда: $ H^=-M^=_3 = (2*d)-(2*d_i)/1.59…=(3.18…*d-2*d_i)/1.59…$.
Здесь, при $ d=>1$, $ H^=>M^=_3 $.
Поскольку в уравнении (5b) коэффициенты являются натуральными числами, то и все рациональные корни должны быть натуральными числами.
А в 1-ом и во 2-ом вариантах $ M^=_3 $ не может быть натуральным числом.
Значит $ M_3^= $ не может быть рациональным корнeм в множестве $ L(k^=, d_i) $.
Значит, $ M^=_3 $ – иррациональное число. А т.к. $ Z^=_3=(X^=+M^=_3) $, то $ Z^=_3 $ – иррациональное число.


§4. Проверим предположение, что $ M_3 $ – иррациональное число, при $ Y=(X- A) $. Здесь $ A $ - натуральнoе числo в подобном ряду.
Сначала докажем, что при $ Y=(X - A) $, отношение $ (M/ M_3) $ БОЛЬШЕ, чем фиксированное, не меняющееся отношение
$ M^=/ M^=_3 $, равное $ 1.5936… $ .
Выше определено, что $ M^=_3=M^=/1.5936…=(2*d_i/1.5936…) $.
Приняв, $ Y/X=g $, получим: $ M/ M_3= $ $ ($\sqrt[]{1+g^2}$ - 1)/ ($\sqrt[3]{1+g^3}$ - 1) $.

-6-
При $ g=1 $, $ M/ M_3= $ $ M^=/ M^=_3 $.
При $ g>1 $, $ (M/ M_3 )<$ $( M^=/ M^=_3) $.
При $ g<1 $, $ (M/ M_3 )>$ $( M^=/ M^=_3) $.
Т.к. в доказательстве принято, что $ X>Y $, то $ 0<g<1 $.
Поэтому $ (M/ M_3 )>$ $( M^=/ M^=_3) $
T. к. $ M^== Z^= - X^= $, $ M^=_3 = Z^=_3 - X^= $, a
$ M= Z - X $, $ M_3= Z_3 - X $, то можно сделать вывод, что при одном и том же $ X $ (имеется в виду, что $ X^==X $), $ (M/ M_3) $>$ ( M^= / M^=_3) =1.5936… $.
Причём, число $ m^=_3=2/1.5936… =1.255…$ будет больше числа $ m_3 $. При увеличении чисeл $ A $ число $ M_3 $ и число $ m_3 $ уменьшаются.
Учитывая вышеизложенное, сравнивая показатели при $ (Y^= =X^=) $ с аналогичными показателями при $ Y =(X- A) $, приходим к выводу, что $ M_3 $ и $ m_3 $ – иррациональные числа, как в БСМ, так и в СМ. В связи с этим: $ Z _3=( M_3 +X) $ и
$ z_3=( m_3 +x) $ – иррациональные числа, при $ X, Y $ – натуральныx числax, как в БСМ, так и в СМ.

[shwedka]

Семен в сообщении #199528 писал(а):

А в 1-ом и во 2-ом вариантах $ M^=_3 $ не может быть натуральным числом.

не доказано

Цитата:

показатели при $ (Y^= =X^=) $ с аналогичными показателями при $ Y =(X- A) $,

понятие показателя при... не определено.

Семен в сообщении #199528 писал(а):

Учитывая вышеизложенное, сравнивая показатели при $ (Y^= =X^=) $ с аналогичными показателями при $ Y =(X- A) $, приходим к выводу, что $ M_3 $ и $ m_3 $ – иррациональные числа, как в БСМ, так и в СМ.

В этом месте у Вас скороговорка.ОЧЕНЬ подробно, напишите,
как Вы приходите к выводу.

[MOMOKA]

Господа! а как вы смотрите на это? http://physics.nad.ru/matboard/themes/22506.html

[Brukvalub]

MOMOKA в сообщении #200633 писал(а):

Господа! а как вы смотрите на это?

Как на спамовый бред.
Нет, скорее, как на бредовый спам.