Заряженная жидкость на линейке.

[незваный гость]

Плотность заряда обратно пропорциональна расстоянию между шариками. Энергия стержня определяется (надеюсь, однозначно) его длинной и зарядом -- поэтому не нужна в условии.

[Шимпанзе]

В этом и проблема, в данной задаче ( задача как бы локальная) нельзя пренебрегать тем обстоятельством, что энергия зависит от распределения плотности заряда.

Шимпанзе

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
Плотность заряда обратно пропорциональна расстоянию между шариками. Энергия стержня определяется (надеюсь, однозначно) его длинной и зарядом -- поэтому не нужна в условии.

Плотность заряда зависит от диаметра стержня.
Следовательно, не задав диаметра стержня, Вы ничего не можете сказать об энергии.

[незваный гость]

Ну вот, совсем запинали.

1) Разумеется, энергия зависит от распределения плотности заряда. Но заряд распределяется таким образом, чтобы минимизировать энергию. Поэтому задавать ее не нужно. (Например, возьмем два электрона на стержне. Их растолкает по концам, и это определит энергию системы. И задавать ничего не надо.)

2) Вы правы, поверхностная плотности зависит от диаметра стержня. Но поскольку имеет место быть симметрия отностельно вращения стержня, можно говорить о линейной плотности заряда (заряд на единицу длины). Линейная плотность также зависит от диаметра стержня. И, соответственно, энергия зависит. Но я имел в виду не отсутствие зависимости энергиии от формы, а предопредленность энергии формой и зарядом. (Формулировка же "Плотность заряда обратно пропорциональна расстоянию между шариками" вообще ссылается предельный цилиндр диаметра 0 и дискретный заряд. В этом случае плотность -- это количество зарядов на единицу длины.)

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
Ну вот, совсем запинали.

1) Разумеется, энергия зависит от распределения плотности заряда. Но заряд распределяется таким образом, чтобы минимизировать энергию. Поэтому задавать ее не нужно. (Например, возьмем два электрона на стержне. Их растолкает по концам, и это определит энергию системы. И задавать ничего не надо.)

2) Вы правы, поверхностная плотности зависит от диаметра стержня. Но поскольку имеет место быть симметрия отностельно вращения стержня, можно говорить о линейной плотности заряда (заряд на единицу длины). Линейная плотность также зависит от диаметра стержня. И, соответственно, энергия зависит. Но я имел в виду не отсутствие зависимости энергиии от формы, а предопредленность энергии формой и зарядом. (Формулировка же "Плотность заряда обратно пропорциональна расстоянию между шариками" вообще ссылается предельный цилиндр диаметра 0 и дискретный заряд. В этом случае плотность -- это количество зарядов на единицу длины.)

Дело не в "симметрии".
Для того что бы запихнуть конечный заряд в трубку с бесконено малым радиусом придется совершить бесконечную работу, со всеми вытекающими из этого следствиями...

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

Для того что бы запихнуть конечный заряд в трубку с бесконено малым радиусом придется совершить бесконечную работу, со всеми вытекающими из этого следствиями...

Вообще-то, для того, чтобы выстроить конечное число электронов по линейке, нужно совершить конечную работу. При этом можно говорить о плотности заряда в упомянутом выше смысле.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:

Зиновий писал(а):

Для того что бы запихнуть конечный заряд в трубку с бесконено малым радиусом придется совершить бесконечную работу, со всеми вытекающими из этого следствиями...

Вообще-то, для того, чтобы выстроить конечное число электронов по линейке, нужно совершить конечную работу. При этом можно говорить о плотности заряда в упомянутом выше смысле.

Совершенно верно, при условии, что "линейка" позволяет разместить электрон конечного диаметра.
Мы обсуждаем вопросы тривиальной электростатики.
Неужели трудно прикинуть на пальцах, чему равен потенциал конечного заряда, размещенного в сфере с диаметром стремящимся к нулю.
Аналогичная задачка и струбкой нулевого диаметра.
Посчитайте электрическую емкость проводника конечной длины и конечного диаметра.
А за тем, устремите диаметр к нулю.
Это же совсем не трудно...

[незваный гость]

Боюсь, Зиновий, у меня возникает та же проблема. Почему бы Вам не опубликовать выкладки? Может, я (да и другие) научимся чему-нибудь. А то все какие-то пальцы, осьмые классы, тривиальности. Распальцовки, право слово.

Заметьте, что Ваши утверждения не противоречат моим. "Школьная" электростатика вполне допускает рассмотрение электрона как точки, и, пока среднее растояние между зарядами много больше диаметра трубки, вообще никаких проблем не возникает. Когда меньше -- становиться интереснее, но и тут возможны варианты.

Я, к моему сожалению, не имею на данный момент решения, на пальцах или без. Прямой, "в лоб", расчет ненпрерывного заряда на бесконечно-тонком стержне "школьными" методами не проходит. Расчеты Аурелиано Буэндиа меня не убедили (они, видимо, выходят за мой уровень понимания физики. Но -- не убедили). Численное моделирование показывает, что распределение скорее всего существует. Но это -- как верно заметил Аурелиано Буэндиа -- не доказательство.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
Боюсь, Зиновий, у меня возникает та же проблема. Почему бы Вам не опубликовать выкладки? Может, я (да и другие) научимся чему-нибудь. А то все какие-то пальцы, осьмые классы, тривиальности. Распальцовки, право слово.

Дело не в "распальцовке".
Прошу понять меня правильно.
Просто, я полагал, что делать подобные выкладки на форуме МЕХМАТ-а, в точности эквивалентно, тому, как если бы я надумал излагать здесь таблицу умножения.
Мне просто неудобно перед аудиторией.
Однако, если Вы настаиваете, пожалуйста.
Речь идет о следствиях, все той же, теоремы Остроградского-Гаусса.
Площадь поверхности цилиндра равна:
а. Для одномерного пространства - S = 2*пи R^2.
б. Для трехмерного пространства - S = 2*пи R^2 + 2пиR * L
Вектор электрического смещения D = Q/S.
Где:
R - радиус цилиндра,
L - длина цилиндра,
Q - электрический заряд конечной величины, размещенный в цилиндре.
Полагая R бесконечно малой, или равной нулю, Вы приходите к бесконечно большому значению вектора электрического смещения D а, следовательно, к бесконечно большому значению вектора электрической напряженности и бесконечному значению электрического потенциала трубки.
Больше ничего тут нет.
Если Вы говорите о возможности выстроить в ряд конечное число электронов, то трубка должна иметь диаметр, как минимум, равный диаметру электрона, но не ноль.
В случае одномерного пространства, диаметр трубки равен нулю, по определению, со всеми вытекающими последствиями.
Т.е. можно говорить о линейном распределении заряда, но не с условием R = 0, т.к. при этом, задача теряет физический смысл и математическую корректность.

[незваный гость]

1) Давайте сформулируем условие задачи

В трехмерном пространстве находится проводящий стержень длиной $2a$ (радиуса $r$) имеющий заряд $Q$. Определить размещение заряда при малом (потенциально -- бесконечно малом $r$).

2) Вы привели начало выкладок, и дальше -- ничего. Почему бы Вам не продолжить и не показать расчет до конца -- формулы напряженности поля, энергии, плотности заряда для конечного $r$. Потом мы перейдем к пределу и увидим, что происходит с бесконечно-тонким стержнем.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
1) Давайте сформулируем условие задачи

В трехмерном пространстве находится проводящий стержень длиной $2a$ (радиуса $r$) имеющий заряд $Q$. Определить размещение заряда при малом (потенциально -- бесконечно малом $r$).

2) Вы привели начало выкладок, и дальше -- ничего. Почему бы Вам не продолжить и не показать расчет до конца -- формулы напряженности поля, энергии, плотности заряда для конечного $r$. Потом мы перейдем к пределу и увидим, что происходит с бесконечно-тонким стержнем.

Я не привел дальнейших выкладок потому, что уже из полученных результатов видно, что при предельном переходе R0 стремящемся к нулю, от функции 1/R0 нельзя получить ограниченное значение.
Или Вам очень важно, что бы я написал выражение вектора электрической напряженности Е через вектор электрического смещения D?
Ну а если говорить о вещах принципиальных, т.е. где именно расположен электрический заряд и что это такое, то, на этот вопрос, сегодня ответов нет.
Из условия минимальности энергии системы, действительно, следует разведение зарядов на края трубки, что обеспечивает постоянство потенциала по поверхности трубки.
Однако, поток вектора D, нормальный к боковой поверхности трубки, есть и он не равен нулю, что интерпретируется как распределение заряда по боковой стенке.
Но если заряд распределен по боковой стенке, то, вдоль трубки конечной длины должен возникнуть градиент потенциала, чего нет.
Этот парадокс не объясняется в рамках сегодняшней физики и уходит в вопрос "что такое электрический заряд?"

[незваный гость]

Мне неочевидно все, что вы говорите -- особенно без формул. Поэтому для меня -- да, важно, чтобы вы написали выражения и их вывод, особенно до перехода к пределу.Не теоретические выражения, а конкретные, для тонкого стержня. Как я не старался, у меня не получилось "расталкивания" заряда. В некотором смысле меня не интересует переход к пределу. Может быть, предел и не существует. Но стержень-то можно зарядить, не правда ли? И распределение заряда на стержне далеко от "полярного". И, в конце-концов, даже "ксперимент" поставить можно.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
Мне неочевидно все, что вы говорите -- особенно без формул. Поэтому для меня -- да, важно, чтобы вы написали выражения и их вывод, особенно до перехода к пределу.Не теоретические выражения, а конкретные, для тонкого стержня. Как я не старался, у меня не получилось "расталкивания" заряда. В некотором смысле меня не интересует переход к пределу. Может быть, предел и не существует. Но стержень-то можно зарядить, не правда ли? И распределение заряда на стержне далеко от "полярного". И, в конце-концов, даже "ксперимент" поставить можно.

Предлагаю, на сегодня, закончить обсуждение, т.к. я просто валюсь из кресла и продолжить завтра.
На мой взгляд, эта тема уже никому не интересна и, может быть, есть смысл перенести обсуждение на E-Mail.
Как Вы к этому отнесетесь?

[photon]

Зиновий писал(а):

На мой взгляд, эта тема уже никому не интересна

1) Почему же? Я с удовольствием продолжаю наблюдать за развитием дискуссии.

2) Зиновий, используйте тег math

[Mopnex]

Зиновий, из ваших многочисленных постов неявно вытекает бессмысленность постановки задачи для трехмерного пространства. Ответте пожалуста четко - да или нет.