Доказательство теоремы Ферма

[Мат]

maxal писал(а):

Ваш пассаж о "сумме никаких степеней" неверен. Например, $1^7 + 4^7=16385$ делится на 29, в то время как $1+4$ - нет.

Никакие суммы поочередно. Т.е.

$$\frac{4^7+1}{4+1}\div 29$$

, но не найдется никакой суммы 7-степеней, которая разделится на $17$. И т.д. никакой степени вообще, суммы которой поочередно разделятся на каждое из данных чисел.

Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды:

Руст писал(а):

Первое следует из $\frac{a^p+b^p}{a+b}=(a+b)[a^{p-2}-2a^{p-3}b+...-(p-1)b^{p-2}]+pb^{p-1}$ p- нечётное простое.
Второе из общеизвестного $p|\Phi_n(a,b)\to p=1\mod n$, здесь

$$\Phi_n(a,b)=\prod_{(k,n)=1}(a-\epsilon^kb), \epsilon =exp(\frac{2\pi i}{n})$$

круговой многочлен, вы используете круговой многочлен для $n=2p$.

Как же быть если $n$ - не простое? Например для уравнения: $x^{n-1}-y^{n-1}$, где $n$ - простое.

[maxal]

Мат в сообщении #189140 писал(а):

Никакие суммы поочередно. Т.е.

$$\frac{4^7+1}{4+1}\div 29$$

, но не найдется никакой суммы 7-степеней, которая разделится на $17$. И т.д. никакой степени вообще, суммы которой поочередно разделятся на каждое из данных чисел.

Ну так это тривиально, в виду того, что 17 - это простое число Ферма. Оно может делить $x^q + y^q$, не деля $x+y$, только если $q$ - четно. Но если это так, то делимость $x^q + y^q$ на 71 влечет делимость $x+y$ на 71.
А 29 здесь и не нужно.

[Руст]

Мат писал(а):

Как же быть если $n$ - не простое? Например для уравнения: $x^{n-1}-y^{n-1}$, где $n$ - простое.

Ко второму не имеет отношения простота. Первое верно для всех нечётных - такое же разложение.$(a,b)=1\to (a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$.

[Батороев]

Мат писал(а):

А если $p$ - не простое?

Ну, Вы сами же пока только простые указываете: $=3, 11$.
На составные $n$ это утверждение не распространяется:
$ \dfrac{4^{15}+7^{15}}{4+7}\equiv 7\pmod {15} $.

[maxal]

Можно и без круговых многочленов - см. мое доказательство для 11-й степени: http://dxdy.ru/post189135.html#189135
Оно легко переносится и на другие простые степени.

[Мат]

maxal
$17$ можно поменять на $19$.

[maxal]

А для непростых степеней расклад такой: каждый простой делитель $x^n + y^n$, не делящий $x+y$, имеет вид $2pk+1$, где $p$ - некоторый простой делитель $n$.

[Мат]

Руст писал(а):

Ко второму не имеет отношения простота. Первое верно для всех нечётных - такое же разложение.$(a,b)=1\to (a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$.

Напишите, как по вашему выглядят простые множители полиномов:

$$\frac{a^k+b^k}{a+b}$$

, $k$ - произведение каких-то множителей.

[maxal]

Мат в сообщении #189151 писал(а):

$17$ можно поменять на $19$

Нельзя. $5^{21} + 59^{21}$ делится на 19, 29 и 71 одновременно, а вот $5+59$ не делится ни на одно из них.

[Мат]

maxal писал(а):

А для непростых степеней расклад такой: каждый простой делитель $x^n + y^n$, не делящий $x+y$, имеет вид $2pk+1$, где $p$ - некоторый простой делитель $n$.

Согласен, а точнее, допустим $k=2^m$.

[maxal]

Мат писал(а):

maxal писал(а):

А для непростых степеней расклад такой: каждый простой делитель $x^n + y^n$, не делящий $x+y$, имеет вид $2pk+1$, где $p$ - некоторый простой делитель $n$.

Согласен, а точнее, допустим $k=2^m$.

В общем случае допущение $k=2^m$ неверно.

[Руст]

Мат писал(а):

Руст писал(а):

Ко второму не имеет отношения простота. Первое верно для всех нечётных - такое же разложение.$(a,b)=1\to (a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$.

Напишите, как по вашему выглядят простые множители полиномов:

$$\frac{a^k+b^k}{a+b}$$

, $k$ - произведение каких-то множителей.

Во первых (a,b)=1 иначе любые, во вторых k нечётное, иначе для (a,b)=1 выражение не целое.
В третьих уже всё написано ранее. Делители k и простые $p=1\mod 2k$.

[Мат]

maxal писал(а):

Мат в сообщении #189151 писал(а):

$17$ можно поменять на $19$

Нельзя. $5^{21} + 59^{21}$ делится на 19, 29 и 71 одновременно, а вот $5+59$ не делится ни на одно из них.

Согласен, но $21$ - не простое, хотя я этого не потребовал. А значит, вы правы.

Добавлено спустя 4 минуты 9 секунд:

maxal писал(а):

Мат писал(а):

maxal писал(а):

А для непростых степеней расклад такой: каждый простой делитель $x^n + y^n$, не делящий $x+y$, имеет вид $2pk+1$, где $p$ - некоторый простой делитель $n$.

Согласен, а точнее, допустим $k=2^m$.

В общем случае допущение $k=2^m$ неверно.

$1249=2^5\cdot 3\cdot 13+1$-простое. Как выглядят простые делители числа:

$a^{1248}+b^{1248}$?

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

Руст писал(а):

Мат писал(а):

Руст писал(а):

Ко второму не имеет отношения простота. Первое верно для всех нечётных - такое же разложение.$(a,b)=1\to (a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$.

Напишите, как по вашему выглядят простые множители полиномов:

$$\frac{a^k+b^k}{a+b}$$

, $k$ - произведение каких-то множителей.

Во первых (a,b)=1 иначе любые, во вторых k нечётное, иначе для (a,b)=1 выражение не целое.
В третьих уже всё написано ранее. Делители k и простые $p=1\mod 2k$.

Пусть будет

$$\frac{a^k-b^k}{a-b}$$

, $k$ - четно.

[Руст]

Мат писал(а):

Пусть будет

$$\frac{a^k-b^k}{a-b}$$

, $k$ - четно.

Вообще то надо было начинать с этого, так как предыдущее частный случай k нечётное $\frac{a^k-(-b)^k}{a-(-b)}$. Всё, что было сказано ранее переносится и сюда. Соответственно, учитывая что ваше выражение для непростого k есть $\prod_{d|k,d>1}\Phi_d(a,b)$ простые делители этого выражения есть простые делители числа есть делители $(a-b,k)$ и простые $p=1\mod d$, d делитель числа k.

[Мат]

Руст писал(а):

Соответственно, учитывая что ваше выражение для непростого k есть $\prod_{d|k,d>1}\Phi_d(a,b)$ простые делители этого выражения есть простые делители числа есть делители $(a-b,k)$ и простые $p=1\mod d$, d делитель числа k.

Очень расплывчато. Нарисуйте делители числа $a^{1248}\pm b^{1248}$, $1248 +1 = 1249$ - простое, $1248=2^5\cdot 3\cdot 13$