2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.
 
 
Сообщение24.02.2009, 11:39 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal писал(а):
Ваш пассаж о "сумме никаких степеней" неверен. Например, $1^7 + 4^7=16385$ делится на 29, в то время как $1+4$ - нет.

Никакие суммы поочередно. Т.е. $$\frac{4^7+1}{4+1}\div 29$$, но не найдется никакой суммы 7-степеней, которая разделится на $17$. И т.д. никакой степени вообще, суммы которой поочередно разделятся на каждое из данных чисел.

Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды:

Руст писал(а):
Первое следует из $\frac{a^p+b^p}{a+b}=(a+b)[a^{p-2}-2a^{p-3}b+...-(p-1)b^{p-2}]+pb^{p-1}$ p- нечётное простое.
Второе из общеизвестного $p|\Phi_n(a,b)\to p=1\mod n$, здесь $$\Phi_n(a,b)=\prod_{(k,n)=1}(a-\epsilon^kb),  \epsilon =exp(\frac{2\pi i}{n})$$ круговой многочлен, вы используете круговой многочлен для $n=2p$.

Как же быть если $n$ - не простое? Например для уравнения: $x^{n-1}-y^{n-1}$, где $n$ - простое.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 11:47 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Мат в сообщении #189140 писал(а):
Никакие суммы поочередно. Т.е. $$\frac{4^7+1}{4+1}\div 29$$, но не найдется никакой суммы 7-степеней, которая разделится на $17$. И т.д. никакой степени вообще, суммы которой поочередно разделятся на каждое из данных чисел.

Ну так это тривиально, в виду того, что 17 - это простое число Ферма. Оно может делить $x^q + y^q$, не деля $x+y$, только если $q$ - четно. Но если это так, то делимость $x^q + y^q$ на 71 влечет делимость $x+y$ на 71.
А 29 здесь и не нужно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 11:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Мат писал(а):
Как же быть если $n$ - не простое? Например для уравнения: $x^{n-1}-y^{n-1}$, где $n$ - простое.

Ко второму не имеет отношения простота. Первое верно для всех нечётных - такое же разложение.$(a,b)=1\to (a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:05 


23/01/07
3415
Новосибирск
Мат писал(а):
А если $p$ - не простое?

Ну, Вы сами же пока только простые указываете: $=3, 11$.
На составные $n$ это утверждение не распространяется:
$ \dfrac{4^{15}+7^{15}}{4+7}\equiv 7\pmod {15} $.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:08 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Можно и без круговых многочленов - см. мое доказательство для 11-й степени: http://dxdy.ru/post189135.html#189135
Оно легко переносится и на другие простые степени.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal
$17$ можно поменять на $19$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
А для непростых степеней расклад такой: каждый простой делитель $x^n + y^n$, не делящий $x+y$, имеет вид $2pk+1$, где $p$ - некоторый простой делитель $n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:12 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Руст писал(а):
Ко второму не имеет отношения простота. Первое верно для всех нечётных - такое же разложение.$(a,b)=1\to (a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$.

Напишите, как по вашему выглядят простые множители полиномов:
$$\frac{a^k+b^k}{a+b}$$, $k$ - произведение каких-то множителей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:13 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Мат в сообщении #189151 писал(а):
$17$ можно поменять на $19$

Нельзя. $5^{21} + 59^{21}$ делится на 19, 29 и 71 одновременно, а вот $5+59$ не делится ни на одно из них.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:13 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal писал(а):
А для непростых степеней расклад такой: каждый простой делитель $x^n + y^n$, не делящий $x+y$, имеет вид $2pk+1$, где $p$ - некоторый простой делитель $n$.

Согласен, а точнее, допустим $k=2^m$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:15 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Мат писал(а):
maxal писал(а):
А для непростых степеней расклад такой: каждый простой делитель $x^n + y^n$, не делящий $x+y$, имеет вид $2pk+1$, где $p$ - некоторый простой делитель $n$.

Согласен, а точнее, допустим $k=2^m$.

В общем случае допущение $k=2^m$ неверно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:19 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Мат писал(а):
Руст писал(а):
Ко второму не имеет отношения простота. Первое верно для всех нечётных - такое же разложение.$(a,b)=1\to (a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$.

Напишите, как по вашему выглядят простые множители полиномов:
$$\frac{a^k+b^k}{a+b}$$, $k$ - произведение каких-то множителей.

Во первых (a,b)=1 иначе любые, во вторых k нечётное, иначе для (a,b)=1 выражение не целое.
В третьих уже всё написано ранее. Делители k и простые $p=1\mod 2k$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:36 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal писал(а):
Мат в сообщении #189151 писал(а):
$17$ можно поменять на $19$

Нельзя. $5^{21} + 59^{21}$ делится на 19, 29 и 71 одновременно, а вот $5+59$ не делится ни на одно из них.

Согласен, но $21$ - не простое, хотя я этого не потребовал. А значит, вы правы.

Добавлено спустя 4 минуты 9 секунд:

maxal писал(а):
Мат писал(а):
maxal писал(а):
А для непростых степеней расклад такой: каждый простой делитель $x^n + y^n$, не делящий $x+y$, имеет вид $2pk+1$, где $p$ - некоторый простой делитель $n$.

Согласен, а точнее, допустим $k=2^m$.

В общем случае допущение $k=2^m$ неверно.

$1249=2^5\cdot 3\cdot 13+1$-простое. Как выглядят простые делители числа:

$a^{1248}+b^{1248}$?

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

Руст писал(а):
Мат писал(а):
Руст писал(а):
Ко второму не имеет отношения простота. Первое верно для всех нечётных - такое же разложение.$(a,b)=1\to (a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$.

Напишите, как по вашему выглядят простые множители полиномов:
$$\frac{a^k+b^k}{a+b}$$, $k$ - произведение каких-то множителей.

Во первых (a,b)=1 иначе любые, во вторых k нечётное, иначе для (a,b)=1 выражение не целое.
В третьих уже всё написано ранее. Делители k и простые $p=1\mod 2k$.

Пусть будет $$\frac{a^k-b^k}{a-b}$$, $k$ - четно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 12:52 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Мат писал(а):
Пусть будет $$\frac{a^k-b^k}{a-b}$$, $k$ - четно.

Вообще то надо было начинать с этого, так как предыдущее частный случай k нечётное $\frac{a^k-(-b)^k}{a-(-b)}$. Всё, что было сказано ранее переносится и сюда. Соответственно, учитывая что ваше выражение для непростого k есть $\prod_{d|k,d>1}\Phi_d(a,b)$ простые делители этого выражения есть простые делители числа есть делители $(a-b,k)$ и простые $p=1\mod d$, d делитель числа k.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2009, 13:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Руст писал(а):
Соответственно, учитывая что ваше выражение для непростого k есть $\prod_{d|k,d>1}\Phi_d(a,b)$ простые делители этого выражения есть простые делители числа есть делители $(a-b,k)$ и простые $p=1\mod d$, d делитель числа k.

Очень расплывчато. Нарисуйте делители числа $a^{1248}\pm b^{1248}$, $1248 +1 = 1249$ - простое, $1248=2^5\cdot 3\cdot 13$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 182 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group