Доказательство Великой теоремы ("по Ферма")

[Виктор Ширшов]

Сформулированная Ферма теорема сводится к неравенству $ z^n \ne x^n+y^n $ при $n \ne 2$, где x, y, z – целые числа.
Доказательство
а) в первой степени уравнение $z^n=x^n+y^n$ фактически сводится к сумме двух чисел (геометрических отрезков). Так как в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (строгое неравенство треугольника), в первой степени Диофантово уравнение – неравенство: z < x + y;
б) в квадрате исследуемое уравнение может принимать вид Пифагорова равенства, так как в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Во времена Диофанта, а тем более Ферма, это уже не надо было доказывать - $ z^2 = x^2+ y^2 $;
в) в кубе равенство снова становится неравенством, причём, знак неравенства меняется на противоположный. Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы: x<z>y. Поэтому будет неоспоримым авторское утверждение о том, что правая часть Диофантова выражения будет меньше левой, так как в правой части каждое из двух возводящихся в куб чисел x и y будет меньше куба третьего числа z. Это утверждение справедливо на том основании, что равенство сохраняется только в том случае, если обе его части умножить на одно и то же число (одно из свойств равенств). Таким образом, при n =3 и x<z>y, равенство $z^2 = x^2 + y^2$ приобретает вид неравенства $z^3>x^3 + y^3$;
г) в четвёртой степени («квадрато-квадрате» или «биквадрате») неравенство сохранится в силу одного и того же свойства, общего со свойством равенства: неравенство сохраняется, если обе его части умножить на одно и то же число. При n=4 неравенство $z^4 >x^4+ y^4$ совершенно очевидно, так как x<z>y;
д) в пятой и во всех последующих степенях, вплоть до n-й степени Диофантово уравнение будет неравенством $z^n> x^n + y^n$.
Отсюда следует, что $z^n \ne x^n + y^n$ $при n \ne 2$.
Таким образом, утверждение Ферма о том, «что никакая степень, кроме квадрата, не может быть разложена (разложить, значит, провести знак равенства- В. Ш.) на сумму двух таких же» доказано.
Более трёх с половиной веков многие знаменитости пытались решить БТФ. Л. Эйлер, сдавшийся перед Великой теоремой Ферма, в одном из своих частных писем написал следующее: «…Очевидно, для доказательства теоремы Ферма необходим свежий, независимый взгляд новичка в математике. Доказательство вероятнее всего, очень простое и лежит на поверхности, но специалист не допускает его, в виду необычности метода, или перешагивает через него, в виду его элементарности…». Великий математик оказался прозорлив.

[Руст]

$z^n<(z-1)^n+(z-2)^n$, если $z>2n+1$ а не наоборот.

[Виктор Ширшов]

Руст писал(а):

$z^n<(z-1)^n+(z-2)^n$, если $z>2n+1$ а не наоборот.

Отвечу завтра на все комментарии, только не надо ничего лишнего. Настольной книгой Ферма ыли "Начала" Евклида и "Арифметика" Диофанта.

[vlad239]

Руст писал(а):

$z^n<(z-1)^n+(z-2)^n$, если $z>2n+1$ а не наоборот.

И что? Ведь $z,z-1,z-2$ обычно не образуют пифагорову тройку.

Рассуждение все-таки проходит для чисел, образующих пифагоровы тройки. Не учитывая существования других чисел.

Влад.

[Jnrty]

Jnrty:

Виктор Ширшов, обратите внимание на надпись наверху страницы, сразу над названием темы. Прочтите также тему "Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться" и не удивляйтесь, что Ваша тема находится в Карантине.

Прочтите темы "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]." Исправьте запись всех формул, даже односимвольных. Для исправления есть кнопка . В будущем может быть полезна информация из темы "Цитирование и формулы."

Когда исправите, напишите об этом в теме "Сообщение в карантине исправлено", и Ваша тема будет возвращена в раздел "Дискуссионные темы (М)".

[Jnrty]

Jnrty:

Исправили, но не все формулы.
Знак $\neq$ кодируется как \ne или \neq.

[photon]

photon:

Возвращено

[Руст]

vlad239 писал(а):

Руст писал(а):

$z^n<(z-1)^n+(z-2)^n$, если $z>2n+1$ а не наоборот.

И что? Ведь $z,z-1,z-2$ обычно не образуют пифагорову тройку.

Рассуждение все-таки проходит для чисел, образующих пифагоровы тройки. Не учитывая существования других чисел.

Влад.

Для пифагоровых чисел $x^2+y^2=z^2\to z^n>x^n+y^n,n>2$ очевидно. Но доказывать надо что отсутствует решение для всех натуральных троек, а не только очевидное, что пифагоровы тройки не являются решениями.

[Виктор Ширшов]

В доказательстве рассматривается случай, когда $z<x+y$. Возможны также и такие, когда $z >x+y$ или $z = x+y$. Исследование Диафантова уравнения «методом подъёма степеней» показывает, что уже при при $n>1$ оно - неравенство, так как в обоих нерассмотренных случаях $x<z>y$. В случае $z > x+y$ это видно из условия, а когда $z=x +y$ из того, что сумма всегда больше слагаемого. Ферма эти случаи, несомненно "опустил", ибо это выводит на путь доказательства его теоремы.
P.S. Я уже сказал, что настольной книгой Ферма были «Начала» Евклида, в которой изложено учение пифагорейцев, находившихся «в плену числа». Они всегда стремились к точному обоснованию своих математических утверждений и делали это с помощью геометрических образов. Две точки определяли у них прямую линию, одномерный образ; три точки, не лежащие на одной прямой, - треугольник или плоскость – двумерный образ; четыре точки, не лежащие на одной плоскости – пирамиду – трёхмерный образ.
Важный факт: древнегреческие математики открыли и соизмеримые отрезки. Чтобы получить для их отношений числовые значения, пифагорейцы изображали целые числа с помощью соизмеримых отрезков, которым придавали геометрическую форму. Соизмеримыми назывались отрезки, имеющие общую меру. Согласно доктрине пифагорейцев, тремя соизмеримыми отрезками можно задать только треугольник (плоскость). В «Началах» изложена вся эта своеобразная геометрическая алгебра. В XVII веке действительные числа были основным объектом исследования. Тогда с ними оперировали на основе наглядных представлений.

[photon]

Виктор Ширшов в сообщении #186696 писал(а):

В доказательстве рассматривается случай, когда $<x+y$

И

Виктор Ширшов в сообщении #186337 писал(а):

приобретает вид неравенства $z^3>x^3 + y^3$

Например $x=10$, $y=11$, $z=12$ удовлетворяет Вашим условиям $x,y<z<x+y$, но отнюдь не обеспечивает $z^3>x^3+y^3$. Похоже, что Вы пытаетесь доказать, что $z^n\neq x^n+y^n$ для троек $(x,y,z)$, для которых выполняется равенство $z^2=x^2+y^2$, но это очевидно и это не теорема Ферма.

[Виктор Ширшов]

Действительно, в доказательстве рассматривается только случай, когда $z<x+y$, но и для двух других случаев доказательство справедливо.

[TOTAL]

Виктор Ширшов писал(а):

Действительно, в доказательстве рассматривается только случай

Вы что доказать хотите? Сформулируйте точно.

[Виктор Ширшов]

Что и Ферма. Как известно, он утверждал: «Ни куб на два куба, ни квадрато-квадрат, и вообще никакая степень, кроме квадрата, не может быть разложена (нельзя разложить, значит, нельзя поставить знак равенства – В.Ш.) на сумму таких же».

[TOTAL]

То есть не можете даже сформулировать. Печально.

[photon]

Виктор Ширшов в сообщении #186706 писал(а):

Действительно, в доказательстве рассматривается только случай, когда $z<x+y$, но и для двух других случаев доказательство справедливо.

Для двух других оно несомненно справедливо, а вот для этого случая - нет, это не доказательство, я привел Вам контрпример