Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1699485 писал(а):

Доказываем, что $\pi_{2}(p_{t}^2)>\pi_{2}(p_{s}^2)$.
Утверждаем, что так будет при любом, сколь угодно большом $r$.

Осталось доказать оба утверждения.
И доказать не про $\varphi_2()$, а именно про $\pi_2()$.
Пока же смотрю у Вас не получается адекватно выразить $\pi_2()$ через $\varphi_2()$, даже предел снизу. Та моя табличка доказательством не является.

-- 24.08.2025, 11:33 --

Dmitriy40 в сообщении #1699497 писал(а):

Та моя табличка доказательством не является.

Хотя бы потому что та Ваша формула скорее всего даёт завышенный результат уже для $10^{100}$ (а может и раньше). Ибо разница её с интегралом составляет уже $+0.0233\%$, а погрешность самого интеграла от точного $\pi_2()$ явно на много порядков меньше.
И это уже Вы точно можете сами посчитать, для любого числа, вольфрамальфа вполне считает такие интегралы и Вам он точно доступен и для понимания и для использования.

Заметьте кстати как слабо улучшается точность вашей формулы, с 0.043% до 0.023% при возрастании чисел на 80 порядков!
А для $10^{1000}$ погрешность 0.0252%, даже снова стала расти.

[Dmitriy40]

Впрочем, это всего лишь погрешность Вашей константы $2.641314233$ от более точного значения $4 \times C_2 = 4 \times 0.6601618158468695739278121100145 = 2.6406472633874782957112484400580$, как я там где-то и говорил.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1699504 писал(а):

Пока же смотрю у Вас не получается адекватно выразить $\pi_2()$ через $\varphi_2()$, даже предел снизу. Та моя табличка доказательством не является.

Ну, не получается, так не получается. Я за ту формулу не держусь.

Dmitriy40 в сообщении #1699504 писал(а):

Осталось доказать оба утверждения.

Я уже много раз говорил, что не пытаюсь что-то доказывать, а ищу лишь способы, как это можно было бы сделать.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1699497 писал(а):

Вы точно можете сами посчитать, для любого числа, вольфрамальфа вполне считает такие интегралы

Кстати https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... o+10%5E100 Результат совпадает и такая точность постоянной не нужна.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1699497 писал(а):

Батороев в сообщении #1699485 писал(а):

Доказываем, что $\pi_{2}(p_{t}^2)>\pi_{2}(p_{s}^2)$.
Утверждаем, что так будет при любом, сколь угодно большом $r$.

Осталось доказать оба утверждения.
И доказать не про $\varphi_2()$, а именно про $\pi_2()$.

Днем ранее Вы сами показали, что отношение $\dfrac {\pi_{2}(p_{t}^2)}{\pi_2(p_{s}^2)}>>1$.
Учитывая что простые числа бесконечны, то и $r$, и $s$, и $t$ -бесконечны.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1699960 писал(а):

Днем ранее Вы сами показали, что отношение $\dfrac {\pi_{2}(p_{s}^2)}{\pi_2(p_{t}^2)}>>1$.

Если Вы про это

Dmitriy40 в сообщении #1699437 писал(а):

и тогда формула упрощается до фактически $\pi_2(x)=ax+O(\sqrt{x})$, что явно не слишком адекватно.

то стоит дочитать до конца, последние 3 слова с частицей "не".
И это "доказательство" было не для $\pi_2()$, а лишь для Вашей приближённой формулы, которая к $\pi_2()$ может и не иметь никакого отношения при больших $r$ (раз уж порядок роста другой).

-- 28.08.2025, 16:28 --

Батороев в сообщении #1699960 писал(а):

Днем ранее Вы сами показали, что отношение $\dfrac {\pi_{2}(p_{t}^2)}{\pi_2(p_{s}^2)}>>1$.

Если бы я доказал что $\pi_2(x)>\pi_2(y)$ для любых натуральных $x>y$, то это стало бы доказательством бесконечности близнецов. Без всяких квадратов и примориалов.
Видимо Вас в очередной раз запутал знак равенства между $\pi_2()$ и вашим приближением справа от него. Они разумеется не равны. Лишь приблизительно совпадают, с большой ошибкой. И на основании свойств правого приближения делать выводы насчёт $\pi_2()$ - некорректно!

-- 28.08.2025, 16:31 --

Батороев в сообщении #1699960 писал(а):

Учитывая что простые числа бесконечны, то и $r$, и $s$, и $t$ -бесконечны.

Да. Только это ничего не говорит о бесконечности $\pi_2()$! Во всяком случае пока не представили точную формулу $\pi_2(r,s,t)$. Точную! Или как минимум доказанную оценку снизу.

[Батороев]

Dmitriy40
Я же признал, что мои формулы не корректны. Ваши точнее, спору нет.

Я про фактический расклад:

$p_{r}\# = p_{5}\#=11\#$

$p_{s}=47$

$\pi_{2}(p_{s}^2)=67$

$p_{s}\#=p_{15}\#=47\#$

$p_{t}=784149077$

$\pi_{2}(p_{t}^2)=509456730123583$

$\dfrac{\pi_{2}(p_{t}^2)}{\pi_{2}(p_{s}^2)} = \dfrac {509456730123583}{67} >> 1$

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1699966 писал(а):

$\dfrac{\pi_{2}(p_{t}^2)}{\pi_{2}(p_{s}^2)} = \dfrac {509456730123583}{67} >> 1$

Это для конкретного $r=5$, но отсюда не следует что оно останется верным для любых больших $r,s$: если количество простых близнецов таки ограничено, то когда-то станет $\pi_2(x)=\pi_2(x_0)$ для всех $x>x_0$.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1699968 писал(а):

Это для конкретного $r=5$, но отсюда не следует что оно останется верным для любых больших $r,s$: если количество простых близнецов таки ограничено, то когда-то станет $\pi_2(x)=\pi_2(x_0)$ для всех $x>x_0$.

Имеем формулу расчета количества чисел, взаимно простых примориалу в этом же примориале:

$$ \varphi_{2} (p_{i}\#)=1\cdot (p_{2}-2)\cdot (p_{3}-2)\cdot...\cdot (p_{i}-2)\eqno (1)$$

Чтобы определить плотность таких чисел в примориале, поделим на этот примориал:

$$\dfrac { \varphi_{2} (p_{i}\#)}{p_{i}\#}= \dfrac {1\cdot (p_{2}-2)\cdot (p_{3}-2)\cdot...\cdot (p_{i}-2)}{p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot... \cdot p_{i}} =\dfrac {1}{p_{1}}\cdot \dfrac{p_{2}-2}{p_{2}}\cdot \dfrac {p_{3}-2}{p_{3}}\cdot...\cdot \dfrac {p_{i}-2}{p_{i}}\egno (2)$$

второе равенство в (2) возможно в виду мультипликативности функции $\varphi_{2}(p_{i}\#) $ (3).
Умножив (2) на $p_{i}\#$ и развернув его, получаем:

$$\varphi_{2}(p_{i}\#)=p_r\#\cdot \left(1-\dfrac {1}{p_{1}}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{1}\#)}{p_{2}\#}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{2}\#)}{p_{3}\#}-...-\dfrac {\varphi_{2}(p_{i-1}\#)}{p_{i}\#}\right)\eqno (4)$$

Допустим, имеется примориал $p_{r}\#$.
Определяем простое число $p_s$ - ближайшее меньшее $\sqrt {p_{r}\#}$. Тогда можно записать (4) для приморила $p_{s}\#$:

$$\varphi_{2}(p_{s}\#)=p_s\#\cdot \left(1-\dfrac {1}{p_{1}}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{1}\#)}{p_{2}\#}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{2}\#)}{p_{3}\#}-...-\dfrac {\varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}-...-\dfrac {\varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right)\egno (5)$$

Перепишем (5) в несколько ином виде:

$$\varphi_{2}(p_{s}\#)=p_s\#\cdot \left[\left(1-\dfrac {1}{p_{1}}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{1}\#)}{p_{2}\#}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{2}\#)}{p_{3}\#}-...-\dfrac {\varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-\left(...+\dfrac {\varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right)\right]\egno (6)$$

Первая круглая скобка - это количество чисел, взаино простых с примориалом $p_{r}\#$, в примориале $p_{s}\#$. Вторая круглая скобка описывает количество чисел (от "действия" простых от $p_{r+1}$ до $p_{s}$), на которое уменьшится количество первой скобки в примориале $p_{s}\#$.
Число в первой скобке существенно больше, чем число во второй.
Поэтому то, о чем Вы пишете, просто не может случиться.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1699998 писал(а):

Поэтому то, о чем Вы пишете, просто не может случиться.

Я пишу про $\pi_2(x)$, Вы пишете про $\varphi_2(x)$. Это разные вещи! Или приведите точную доказанную связь второго с первым (хотя бы чтобы с некоторого большого $x_0$ для всех $x>x_0$ всегда выполнялось $0<\varphi_2(x)<\pi_2(x)$). Иначе Ваши утверждения про $\varphi_2()$ ничего не доказывают про $\pi_2()$.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1700014 писал(а):

Я пишу про $\pi_2(x)$,

Про $\pi_{2}()$ я Вам привел пример на основе же Вашего расчета.

Батороев в сообщении #1699966 писал(а):

Dmitriy40


$\dfrac{\pi_{2}(p_{t}^2)}{\pi_{2}(p_{s}^2)} = \dfrac {509456730123583}{67} >> 1$

Затем Вы сделали предположение:

Dmitriy40 в сообщении #1699968 писал(а):

если количество простых близнецов таки ограничено,

Я Вам показал, что этого не может быть.
До этого я заявлял:

Батороев в сообщении #1699518 писал(а):

Я уже много раз говорил, что не пытаюсь что-то доказывать, а ищу лишь способы, как это можно было бы сделать.

Я считаю, что все раскладки в пользу предлагаемого способа, выдал. Разжевывать тому, кто захочет найти доказательство, следуя по данному способу, я не буду.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1700032 писал(а):

Про $\pi_{2}()$ я Вам привел пример на основе же Вашего расчета.

Один пример не является доказательством при отсутствии формулы.

Батороев в сообщении #1700032 писал(а):

Я Вам показал, что этого не может быть.

Не показали.
Это было бы фактически доказательством бесконечности простых близнецов. Но очевидно не стало.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1700036 писал(а):

Один пример не является доказательством при отсутствии формулы.

Но есть же формула с интегралом, которую Вы использвали. Вы ее тоже считаете не корректной?
В той дроби, которую я привел для примера, погрешность числителя может быть хотя бы и $(-90\%)$, а знаменателя $(+1000\%)$, все равно знак неравенства не изменится.

Dmitriy40 в сообщении #1700036 писал(а):

Это было бы фактически доказательством бесконечности простых близнецов.

Мне оно без надобности.
Мне интересно искать и находить новые подходы к каким-нибудь проблемам.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1700100 писал(а):

Но есть же формула с интегралом, которую Вы использвали. Вы ее тоже считаете не корректной?

Корректной. Но не доказанной! Потому она и гипотеза, а не теорема. Иначе уже она была бы доказательством бесконечности простых близнецов (потому что очевидно что на любом интервале больше 3 интеграл больше нуля).
Вы вообще что ли уже забыли со школы смысл "математического доказательства"? Не отвечайте, и так понятно, "вам это не интересно".

Батороев в сообщении #1700100 писал(а):

В той дроби, которую я привел для примера, погрешность числителя может быть хотя бы и $(-90\%)$, а знаменателя $(+1000\%)$, все равно знак неравенства не изменится.

Эта фраза вообще "ни к селу, ни к городу". Лишь лишняя иллюстрация вашего непонимания что можно доказать (или опровергнуть) численным примером, а что нельзя.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1700103 писал(а):

Вы вообще что ли уже забыли со школы смысл "математического доказательства"? Не отвечайте, и так понятно, "вам это не интересно".

Да, как же не отвечать, если вы уже дошли до того, что подвергаете сомнениям мои школьные знания?
Я закончил одну из лучших школ в г. Новосибирске, конкретно - в Академгородке СОАН СССР. По математике был отличником.
Это вы не понимаете, что численный пример я привел конкретно для вас, и продолжаете напирать на доказательство, не смотря на мои увещевания, что я только предложил возможный СПОСОБ.