Элементарная алгебра для отстающих

[horda2501]

Здравствуйте! Я столкнулась с непонятной ситуацией при решении системы уравнений. Вот она:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+4x-5y=92 \\ x^2-2x+y=32 \\ \end{array} \right.$
Я умножила второе выражение на 5 и сложила их. Далее умножила на $\frac{1}{6}$ для удобства получившееся квадратное уравнение $6x^2-6x-252=0$ и решила его. Корни $14$ и $-12$.

Потом подставила во второе выражение системы. Получилось интересное решение, где иксы разные, а игреки одинаковые. Пара чисел $(14;-136)$ и $(-12;-136)$. При подстановке всё сходится, получается $32$. Однако, в ответах даны совсем другие пары чисел и они тоже подходят. Это $(7;-3)$ и $(-6;-16)$. Как это понимать?

[drzewo]

арифметическую ошибку надо искать очевидно

[Booker48]

Ошиблись при решении квадратного уравнения.

[horda2501]

Ах, да Я забыла разделить на два, так как перепутала с частным случаем формулы корней квадратного уравнения для чётных средних коэффициентов. Спасибо!

[horda2501]

Здравствуйте! Нужно решить систему методом введения новой переменной, но я не могу понять как в данном случае это сделать.
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{9}{(x+y)^2}=2 \\ \frac{4}{(x-y)}-\frac{3}{(x+y)}=3\\ \end{array} \right.$

Со второй парой вроде понятно, если во втором уравнении второй одночлен это $t$, то в первом уравнении второй одночлен это $t^2$. А вот что делать с первой парой не пойму.

[Dedekind]

horda2501
Так то же самое же. Только 4-ку во втором уравнении записать отдельно.

[miflin]

horda2501 в сообщении #1685464 писал(а):

А вот что делать с первой парой не пойму.

Пожертвуйте для этой пары ещё одну букву.

[horda2501]

Dedekind в сообщении #1685465 писал(а):

horda2501
Так то же самое же. Только 4-ку во втором уравнении записать отдельно.

Поняла

-- 09.05.2025, 17:54 --

miflin в сообщении #1685469 писал(а):

horda2501 в сообщении #1685464 писал(а):

А вот что делать с первой парой не пойму.

Пожертвуйте для этой пары ещё одну букву.

Не поняла

[miflin]

horda2501 в сообщении #1685478 писал(а):

Не поняла

Вы для первых членов уравнений тоже собираетесь использовать букву $t$?

[horda2501]

Нет, другую. В учебнике предлагается решать системы введением 2 разных переменных и подстановкой их в оба уравнения. Правда, есть и другой вариант - 1 переменная в 1 уравнение, но это вряд ли подойдёт здесь.

[miflin]

Я написал на всякий случай, потому что здесь "переменная" упомянута в единственном числе:

horda2501 в сообщении #1685464 писал(а):

введения новой переменной

но здесь всё ОК:

horda2501 в сообщении #1685482 писал(а):

введением 2 разных переменных

[horda2501]

Здравствуйте! Возникли затруднения с решением СУ методом введения НП. Вот эта система, далее привожу свой ход решения. В определённый момент зашла в тупик и не понимаю что происходит. Возможно, что я вообще не так начала решать в принципе. Нужна помощь.

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x+2y}{x-2y}+\frac{6x-12y}{x+2y}=5 \\ xy=6 \\ \end{array} \right.$
Далее я увидела и ввела две новые переменные $z=x+2y$ и $t=x-2y$. Следующие шаги:

1) Получившееся уравнение $\frac{z}{t}+\frac{6t}{z}-5=0$ я не поняла как решать и ввела ещё одну переменную для того чтобы получилось квадратное уравнение как во многих предыдущих примерах. (Возможно именно на этом этапе ошибка, ранее такого решения не было, обычно либо две переменные в двух уравнениях, либо одна в одном, но я не увидела другого решения, кроме такой вот "матрёшки").

2) С новой переменной $Q=\frac{t}{z}$, получается квадратное уравнение $6Q^2-5Q+1=0$. Его корни $Q1=\frac{1}{3}$ и $Q2=\frac{1}{2}$.

3) Далее, если сделать шаг назад и вернуться к $Q=\frac{t}{z}$ и ещё один шаг к $z=x+2y$ и $t=x-2y$, то получится два варианта:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x+2y=3 \\ x-2y=1 \\ \end{array} \right.$ и $\left\{ \begin{array}{rcl} x+2y=2 \\ x-2y=1 \\ \end{array} \right.$

Здесь мое решение начинает "виснуть" Я запуталась в ходе мысли/матрёшки, видимо, либо решение изначально неправильное. Грубо перебирая, не получаю правильный ответ. Их 4 пары, 2 сложные с корнями, а 2 простые, это $(6;1)$ и $(-6;-1)$.

Где ошибка?

[Mihr]

Я бы в первом уравнении исходной системы выполнил такую замену $\dfrac{x+2y}{x-2y}=t$. Тогда оно примет вид

$$t+\dfrac{6}{t}=5$$

Помножив это равенство на $t$, придём к квадратному уравнению. Далее, мне кажется, всё должно быть очевидно.

-- 18.05.2025, 14:15 --

Кстати, это весьма близко к Вашему решению. Сейчас попробую найти, где Вы ошиблись.

-- 18.05.2025, 14:20 --

Кажется, я понял. Вы считаете, что если дробь равна $\dfrac{1}{3}$, то её числитель 1, а знаменатель 3. Именно это неверно. Проверьте, например, на дроби $\dfrac{4}{12}$

Обязательно используйте и второе уравнение данной Вам системы. Без этого ничего не получится.

[horda2501]

Спасибо! Я потом осознала, что нужно обязательно второе уравнение включать, но не выходило нужное решение. Но в принципе такими "матрёшками" можно решать, правильно? Вы не могли подсказать, что нужно было бы делать с последними двумя системами, если бы там верными были 1 и 3, например? Там правильным было бы применить сложение и далее результат ($x=2$, например) решать в одной системе со вторым уравнением изначальной системы? То есть, в итоге должно было свестись к:
$\left\{ \begin{array}{rcl} (x+2y)+(x-2y)=3+1 \\ xy=6 \\ \end{array} \right.$

[Mihr]

horda2501 в сообщении #1686290 писал(а):

Вы не могли подсказать, что нужно было бы делать с последними двумя системами, если бы там верными были 1 и 3, например?

Речь об этих?
$\left\{ \begin{array}{rcl} x+2y=3 \\ x-2y=1 \\ \end{array} \right.$ и $\left\{ \begin{array}{rcl} x+2y=2 \\ x-2y=1 \\ \end{array} \right.$

Я бы сложил и вычел эти уравнения.

-- 18.05.2025, 15:19 --

Или Вы про эти?
$\left\{ \begin{array}{rcl} (x+2y)+(x-2y)=3+1 \\ xy=6 \\ \end{array} \right.$
Из первого уравнения выражаем одну неизвестную через другую, результат подставляем во второе уравнение. Приходим к квадратному уравнению.