Элементарная алгебра для отстающих

[wrest]

horda2501 в сообщении #1675163 писал(а):

попросту Y нужно было вынести и далее оставшееся в скобках решить для второго корня.

Да, но после деления на $y$ остается кубическое уравнение, а у него от одного до трёх корней (в вашем случае два, т.к. один из корней $y=3$ кратный). Если вы кубические уравнения уже умеете решать - ну и здорово

-- 17.02.2025, 15:41 --

horda2501 в сообщении #1675163 писал(а):

Суперсекретные умения? Мне нравится эта идея, но я не поняла как оно работает.

Деление многочленов "столбиком" работает так же как и деление чисел столбиком. Очень просто. Но в школе этого не рассказывают (наверное). Умение делить столбиком пригождается вам таким образом.
Подбором/угадыванием вы нашли корень $y=-1$ и теперь вам надо вынести за скобки $y+1$ из $y^3-3y^2+5y+9$
Ну так это и значит: разделить один мноогочлен на другой.

[horda2501]

А почему в школе не рассказывают про такие деления? Это уже ВУЗовская программа?

[dgwuqtj]

Вот я открыл учебник по алгебре за 8 класс (сейчас вроде один учебник в России?). Глава I, пункт 9, пример 3 как раз содержит деление с остатком. Там, правда, делят на многочлен первой степени, но это работает для всех многочленов одной переменной.

В общем виде вся эта наука, включая теорему Безу (число $a$ является корнем многочлена $f(x)$ тогда и только тогда, когда $f(x)$ делится на $x - a$), — это университетская алгебра первого семестра. Школьникам сложно рассказывать про существование и единственность разложения натуральных чисел на простые, а многочленов одной переменной — на неприводимые.

Если коротко: любой ненулевой многочлен $f(x)$ с вещественными коэффициентами имеет разложение на сомножители вида $a x - b$ и $p x^2 + q x + r$, во втором случае с отрицательным дискриминантом, причём такое разложение единственно с точностью до пропорциональности. Для решения уравнений вида $f(x) = 0$ и сокращения алгебраических дробей вида $\frac{f(x)}{g(x)}$ имеет смысл пытаться хоть как-то разложить многочлены на множители, чем меньше степени сомножителей — тем лучше. Поэтому как только вы находите корень $a$ уравнения $f(x) = 0$, надо сразу же делить $f(x)$ на $x - a$.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1675193 писал(а):

А почему в школе не рассказывают про такие деления?

Ну потому, наверное, что без обоснования это выглядит как магия. А обоснование явно за рамками школьной программы. На мой взгляд. Но продвинутым школьникам (спецклассы) наверняка эту тайну открывают. Ну вот теперь приобщились и вы
А кстати, вы про формулы Виета/теорему Виета слыхали? В школе не рассказывают (ну вот мне на "обычных" уроках не рассказывали), что они (формулы) действуют не только для квадратных уравнений/многочленов. А и для любых (натуральных) степеней. В частности, в вашем случае многочлена $y^3-5y^2+3y+9$, произведение корней равно $-9$, а их сумма равна $5$. Что, в школьном случае (обычно целочисленных корней), существенно упрощает подбор/угадывание. Это ещё одно суперсекретное знание школьных олимпиоников! Пользуйтесь!

[horda2501]

Здравствуйте! Часто получается, что пройденные темы "уходят под воду", вот и сейчас столкнулась с этим досадным явлением.
Цитата: "$(3x+y)^2=9$, далее получается либо $3x+y=3$, либо $3x+y=-3$"

На основании чего получилось данное преобразование? Куда делся показатель степени? Это ведь не выражение вида $a^n=a^k$, где можно сократить показатели, так как основания одинаковые.

[dgwuqtj]

Если $a^2 = b^2$, то $a = b$ или $a = -b$. Более общо, если $a^n = b^n$ и $n$ чётно, то $a = \pm b$, а если $n$ нечётно, то просто $a = b$.

[horda2501]

У меня возникли вопросы:
1) Какая это тема? Я не проходила такого ранее (сейчас в 9 классе и эта тема "Метод алгебраического сложения" и объяснение примера к ней). В свойствах степени с натуральным показателем этого нет.

2) Почему если $n$ нечётно, то просто b, ведь, например, $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$ это отрицательное число?

[Booker48]

horda2501
А вы полагаете, что число $-b$ отрицательно?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1680314 писал(а):

На основании чего получилось данное преобразование?

На основании того, что "минус на минус даёт плюс".
$3\cdot 3=(-3)\cdot(-3)=(-3)^2=3^2=9$

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1680319 писал(а):

Какая это тема?

Квадратные корни. Вроде в 8-м проходятся.

[horda2501]

Dedekind в сообщении #1680322 писал(а):

horda2501 в сообщении #1680319 писал(а):

Какая это тема?

Квадратные корни. Вроде в 8-м проходятся.

Возможно, что в моей программе именно этот момент авторы не осветили достаточно ярко на момент прохождения. Возможно и то, что я подзабыла, конечно. Законспектирую пока тезисно, так сказать. Благодарю за помощь!

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1680319 писал(а):

Почему если $n$ нечётно, то просто b, ведь, например, $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$ это отрицательное число?

Ну, $a^3=b^3$ равносильно $a=b$.
В частности, при $b=-2$, получаем, что $a^3=(-2)^3$ равносильно $a=-2$.

А например $a^2=b^2$ равносильно $(a=b$ или $a=-b)$.
В частности, $a^2=(-2)^2$ равносильно $(a=-2$ или $a=-(-2)=2)$

[horda2501]

Здравствуйте! В упражнении на метод сложения в результате сложения получилось уравнение с двумя переменными в квадрате.
$4x^2-y^2+8x+5=0$
Что с ним делать?

[Dedekind]

horda2501
Выделить полный квадрат.

[horda2501]

К сожалению, я испытываю затруднение в решении Во-первых, я не понимаю какое именно преобразование нужно выполнить. Собрать в скобки квадратное уравнение без игрека? Разложить на скобки квадрат разности? Или как-то даже квадрат разности получить? Во-вторых, не пойму что дальше нужно будет делать. Не могли бы вы более развёрнуто пояснить какие шаги нужно предпринять для решения?