Вот я открыл учебник по алгебре за 8 класс (сейчас вроде один учебник в России?). Глава I, пункт 9, пример 3 как раз содержит деление с остатком. Там, правда, делят на многочлен первой степени, но это работает для всех многочленов одной переменной.
В общем виде вся эта наука, включая теорему Безу (число

является корнем многочлена

тогда и только тогда, когда

делится на

), — это университетская алгебра первого семестра. Школьникам сложно рассказывать про существование и единственность разложения натуральных чисел на простые, а многочленов одной переменной — на неприводимые.
Если коротко: любой ненулевой многочлен

с вещественными коэффициентами имеет разложение на сомножители вида

и

, во втором случае с отрицательным дискриминантом, причём такое разложение единственно с точностью до пропорциональности. Для решения уравнений вида

и сокращения алгебраических дробей вида

имеет смысл пытаться хоть как-то разложить многочлены на множители, чем меньше степени сомножителей — тем лучше. Поэтому как только вы находите корень

уравнения

, надо сразу же делить

на

.