Элементарная алгебра для отстающих

[wrest]

horda2501 в сообщении #1675163 писал(а):

попросту Y нужно было вынести и далее оставшееся в скобках решить для второго корня.

Да, но после деления на $y$ остается кубическое уравнение, а у него от одного до трёх корней (в вашем случае два, т.к. один из корней $y=3$ кратный). Если вы кубические уравнения уже умеете решать - ну и здорово

-- 17.02.2025, 15:41 --

horda2501 в сообщении #1675163 писал(а):

Суперсекретные умения? Мне нравится эта идея, но я не поняла как оно работает.

Деление многочленов "столбиком" работает так же как и деление чисел столбиком. Очень просто. Но в школе этого не рассказывают (наверное). Умение делить столбиком пригождается вам таким образом.
Подбором/угадыванием вы нашли корень $y=-1$ и теперь вам надо вынести за скобки $y+1$ из $y^3-3y^2+5y+9$
Ну так это и значит: разделить один мноогочлен на другой.

[horda2501]

А почему в школе не рассказывают про такие деления? Это уже ВУЗовская программа?

[dgwuqtj]

Вот я открыл учебник по алгебре за 8 класс (сейчас вроде один учебник в России?). Глава I, пункт 9, пример 3 как раз содержит деление с остатком. Там, правда, делят на многочлен первой степени, но это работает для всех многочленов одной переменной.

В общем виде вся эта наука, включая теорему Безу (число $a$ является корнем многочлена $f(x)$ тогда и только тогда, когда $f(x)$ делится на $x - a$), — это университетская алгебра первого семестра. Школьникам сложно рассказывать про существование и единственность разложения натуральных чисел на простые, а многочленов одной переменной — на неприводимые.

Если коротко: любой ненулевой многочлен $f(x)$ с вещественными коэффициентами имеет разложение на сомножители вида $a x - b$ и $p x^2 + q x + r$, во втором случае с отрицательным дискриминантом, причём такое разложение единственно с точностью до пропорциональности. Для решения уравнений вида $f(x) = 0$ и сокращения алгебраических дробей вида $\frac{f(x)}{g(x)}$ имеет смысл пытаться хоть как-то разложить многочлены на множители, чем меньше степени сомножителей — тем лучше. Поэтому как только вы находите корень $a$ уравнения $f(x) = 0$, надо сразу же делить $f(x)$ на $x - a$.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1675193 писал(а):

А почему в школе не рассказывают про такие деления?

Ну потому, наверное, что без обоснования это выглядит как магия. А обоснование явно за рамками школьной программы. На мой взгляд. Но продвинутым школьникам (спецклассы) наверняка эту тайну открывают. Ну вот теперь приобщились и вы
А кстати, вы про формулы Виета/теорему Виета слыхали? В школе не рассказывают (ну вот мне на "обычных" уроках не рассказывали), что они (формулы) действуют не только для квадратных уравнений/многочленов. А и для любых (натуральных) степеней. В частности, в вашем случае многочлена $y^3-5y^2+3y+9$, произведение корней равно $-9$, а их сумма равна $5$. Что, в школьном случае (обычно целочисленных корней), существенно упрощает подбор/угадывание. Это ещё одно суперсекретное знание школьных олимпиоников! Пользуйтесь!