"Физическая" задача распространения продольных колебания стержня решается с помощью математического метода разделения переменных. У тебя есть уравнение гиперболического типа (второго порядка и по координате, и по времени), в котором неизвестной величиной является смещение вдоль оси стержня, зависящее от координаты и времени, граничные и начальные условия. Представляешь неизвестную функцию двух переменных в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной и проводишь разделение граничных условий. После чего подставляешь это произведение в исходное уравнение и получаешь два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Все эти граничные и начальные условия даются для того, чтобы ты мог найти константы, появляющиеся при решении ОДУ (одна находится из условия ортонормированности функций). Две ты получаешь из граничных условий по пространственным переменным и из квадрата нормы, после чего представляешь неизвестную функцию через произведение в явном виде и, используя начальные условия, находишь остальные две константы. Что касается таких задач: если концы закреплены, то
,
(в общем виде носит название задачи с закрепленными границами); если не действуют силы на концах, то
,
(задача со свободной границей). Поскольку уравнение второго порядка относительно времени, то требуется два начальных условия: начальное отклонение
и начальная скорость (производная по времени от смещения, которая тут равна нулю)
. Решение получаете в виде ряда.