продольные колебания в стержне

[antoshka1303]

Левый конец стержня жестко закреплен, а правый в помент времени t _0 =0 растянули на U_0 и отпустили.Нужно рассчитать продольные колебания.Т.е. найти функцию U(z)

сначала решаем статическую задачу(нет зависимости отвремеми), потом динамическую(с зависимостью от времени)

[LynxGAV]

В чем заключается сложность?

Гран. условия готовы? Уравнение, описывающие продольные колебания стрежня, знаете?

Вы уже решали задачки по мат. физике в математическом разделе, давайте решим еще тут одну.
(Эта проще, тем более со знание метода разделения переменных.)

Картинки можете лить на http://**invalid link** и там же есть, как их прикреплять в форумах.

[LynxGAV]

antoshka1303 писал(а):

сначала решаем статическую задачу(нет зависимости отвремеми), потом динамическую(с зависимостью от времени)

Не поняла. В первую очередь ты хочешь решить задачу на продольные колебания стержня, один конец которого закреплен, а второй свободен. Начальное отклонение $U(z,0)=kz=U_0$. Начальные скорости равны нулю. Еще что-то не понятно?

[antoshka1303]

LynxGAV писал(а):

antoshka1303 писал(а):

сначала решаем статическую задачу(нет зависимости отвремеми), потом динамическую(с зависимостью от времени)

Не поняла. В первую очередь ты хочешь решить задачу на продольные колебания стержня, один конец которого закреплен, а второй свободен. Начальное отклонение $U(z,0)=kz=U_0$. Начальные скорости равны нулю. Еще что-то не понятно?

такой результат у меня получался:)

[antoshka1303]

LynxGAV писал(а):

В чем заключается сложность?

Гран. условия готовы? Уравнение, описывающие продольные колебания стрежня, знаете?

Вы уже решали задачки по мат. физике в математическом разделе, давайте решим еще тут одну.
(Эта проще, тем более со знание метода разделения переменных.)

Картинки можете лить на http://**invalid link** и там же есть, как их прикреплять в форумах.

не могу понять сам принцип решения такой задачи

[LynxGAV]

"Физическая" задача распространения продольных колебания стержня решается с помощью математического метода разделения переменных. У тебя есть уравнение гиперболического типа (второго порядка и по координате, и по времени), в котором неизвестной величиной является смещение вдоль оси стержня, зависящее от координаты и времени, граничные и начальные условия. Представляешь неизвестную функцию двух переменных в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной и проводишь разделение граничных условий. После чего подставляешь это произведение в исходное уравнение и получаешь два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Все эти граничные и начальные условия даются для того, чтобы ты мог найти константы, появляющиеся при решении ОДУ (одна находится из условия ортонормированности функций). Две ты получаешь из граничных условий по пространственным переменным и из квадрата нормы, после чего представляешь неизвестную функцию через произведение в явном виде и, используя начальные условия, находишь остальные две константы. Что касается таких задач: если концы закреплены, то $U(0,t) = 0$, $U(l,t) = 0$ (в общем виде носит название задачи с закрепленными границами); если не действуют силы на концах, то $U_z (0,t) = 0$, $U_z (l,t)=0$ (задача со свободной границей). Поскольку уравнение второго порядка относительно времени, то требуется два начальных условия: начальное отклонение $U(z,0)=kz$ и начальная скорость (производная по времени от смещения, которая тут равна нулю) $U_t (z,0)=0$. Решение получаете в виде ряда.

[LynxGAV]

antoshka1303 писал(а):

сначала решаем статическую задачу(нет зависимости отвремеми), потом динамическую(с зависимостью от времени)

Я только сейчас поняла, что вы хотели этими словами сказать. Ответ в предыдущем сообщении.

[antoshka1303]

LynxGAV писал(а):

"Физическая" задача распространения продольных колебания стержня решается с помощью математического метода разделения переменных. У тебя есть уравнение гиперболического типа (второго порядка и по координате, и по времени), в котором неизвестной величиной является смещение вдоль оси стержня, зависящее от координаты и времени, граничные и начальные условия. Представляешь неизвестную функцию двух переменных в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной и проводишь разделение граничных условий. После чего подставляешь это произведение в исходное уравнение и получаешь два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Все эти граничные и начальные условия даются для того, чтобы ты мог найти константы, появляющиеся при решении ОДУ (одна находится из условия ортонормированности функций). Две ты получаешь из граничных условий по пространственным переменным и из квадрата нормы, после чего представляешь неизвестную функцию через произведение в явном виде и, используя начальные условия, находишь остальные две константы. Что касается таких задач: если концы закреплены, то $U(0,t) = 0$, $U(l,t) = 0$ (в общем виде носит название задачи с закрепленными границами); если не действуют силы на концах, то $U_z (0,t) = 0$, $U_z (l,t)=0$ (задача со свободной границей). Поскольку уравнение второго порядка относительно времени, то требуется два начальных условия: начальное отклонение $U(z,0)=kz$ и начальная скорость (производная по времени от смещения, которая тут равна нулю) $U_t (z,0)=0$. Решение получаете в виде ряда.

как решать уранение методом Фурье разделения переменных я представляю, как составлять граничные условия???

[antoshka1303]

LynxGAV писал(а):

$U(0,t) = 0$, $U(l,t) = 0$ (в общем виде носит название задачи с закрепленными границами); если не действуют силы на концах, то $U_z (0,t) = 0$, $U_z (l,t)=0$ (задача со свободной границей).

У меня правый конец - свободный!!!!то есть его на U _0 растянули и отпустили, он начал колебаться

[antoshka1303]

LynxGAV писал(а):

В чем заключается сложность?
Картинки можете лить на http://**invalid link** и там же есть, как их прикреплять в форумах.

картинку залил,но все равно результат тотже

[LynxGAV]

Левый закрепленный, правый свободный, дано начальное отклонение и начальная скорость равна нулю. Еще вопросы?

Нажми цитировать:

[antoshka1303]

Нужно решить такое уравнение

$$ {1 \over {C^2 }}\mathop U\limits^{ \bullet \bullet } - U^{''} = 0 $$

сначала решаем статическую задачу, то есть при t=0

$$ U^{''} = 0 $$

Для нее граничные условия

$$ \eqalign{ & U(l) = U_0, & U(0) = 0 \cr} $$

ее решение

$$ U = U_S = {{U_0 z} \over l} $$

Теперь решаю динамическую задачу.для нее вот такие граничные условия???

$$ \eqalign{ & U(l,0) = U_0 z, \cr & U_t (l,0) = 0, \cr & U_z (0,t) = 0, \cr & U_z (l,t) = 0; \cr} $$

[LynxGAV]

Не правильно. Откуда ты это взял: статическая задача, динамическая задача? Задача у тебя одна. Открывай Самарского, Тихонова или жди до вечера (по моему времени).

[antoshka1303]

LynxGAV писал(а):

Не правильно. Откуда ты это взял: статическая задача, динамическая задача? Задача у тебя одна. Открывай Самарского, Тихонова или жди до вечера (по моему времени).

на какой стнанице тихонова,саморского открывать?

[antoshka1303]

а по поводу того, что

LynxGAV писал(а):

Откуда ты это взял: статическая задача, динамическая задача? Задача у тебя одна

нам так вроде на семинаре объясняли..
тогда решение будет сумма динамической и статической части