Что такое понимать математику

[drzewo]

alesha_popovich в сообщении #1671129 писал(а):

Понимать математику это значит уметь применять её для решения практических задач.

Ландау с Вами согласился бы. Только что-то мне подсказывает, что из его <<теор.минимума>> Вы бы ни одной задачи не решили. Да и из его учебника тоже:)

[Anton_Peplov]

Утундрий в сообщении #1671115 писал(а):

Anton_Peplov
Вам туда точно не надо.

Лет семь назад заглянул в первые главы учебника по теории категорий уважаемого george66. Язык как язык, не лишенный изящества. Наверное, в каких-то (не знакомых мне) областях математики необходимый и полезный. Но уж точно не для понимания того, что такое дроби. Построение рациональных чисел я проходил по пролетарским Ильину и Позняку, мне хватило.

EminentVictorians
Я сам люблю вот такие вещи:

Slav-27 в сообщении #1562408 писал(а):

$\mathbb R$ и $\mathbb C$ -- это единственные полные связные локально компактные хаусдорфовы топологические поля. (Понятие полноты имеет смысл для любой топологической абелевой группы, определяется как обычно через последовательности Коши.)

Это следствие 3 фактов:
Топология любого локально компактного хаусдорфова топологического поля индуцируется некоторым вещественнозначным нормированием (Warner, Topological rings, теорема 16.3).
Любое ультраметрическое пространство (это где усиленное неравенство треугольника вместо обычного) вполне несвязно; в частности, любое поле с топологией, индуцированной неархимедовым нормированием.
Любое поле, полное относительно (вещественнозначного) архимедова нормирования, изоморфно $\mathbb R$ или $\mathbb C$ как топологическое поле -- теорема Островского (одна из).

UPD. Это верно даже если не требовать полноты (Понтрягин, Непрерывные группы, § 27).

Они очень красивы, правда. И основания люблю, множества там всякие, теоремы Геделя, алгоритмы. Они меня завораживают. Но глядя на Ваше понимание понимания, мне иногда хочется спросить: "А это абсолютно корректное аксиоматическое построение каждой запятой сейчас с нами в одной комнате?"

[drzewo]

(Оффтоп)

Anton_Peplov
кстати, очень советовал бы Вам прочитать

Anton_Peplov в сообщении #1671138 писал(а):

Понтрягин, Непрерывные группы

если Вы еще не...

[Anton_Peplov]

(drzewo)

Пока не читал. Спасибо, возьму на заметку.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1671138 писал(а):

Я сам люблю вот такие вещи:

Да, мне тоже такое нравится. Единственное, после знакомства с полем Леви-Чивита я стал более скептически смотреть на связность (в топологии линейного порядка) для линейно упорядоченных полей. Без неё непривычно, но у меня складывается такое впечатление, что это просто следствие зацикленности на $\mathbb R$. Там настолько шикарная теория, что все эти аргументы в духе "там же не работает теорема Больцано-Коши" - вообще не беспокоят.

[alesha_popovich]

drzewo в сообщении #1671136 писал(а):

Ландау с Вами согласился бы. Только что-то мне подсказывает, что из его <<теор.минимума>> Вы бы ни одной задачи не решили. Да и из его учебника тоже:)

Скорее всего не решил бы, да. Я не профессиональный математик и не физик, так что мне его теорминимум нужен как зайцу стоп-сигнал. Это как раз то, о чём я и говорю. Если мне в моей деятельности нужна какая-то математика, а такое бывает, то я изучаю именно её, именно в том объёме, который нужен. А не упарываюсь в абстрактные теорминимумы.

[drzewo]

alesha_popovich в сообщении #1671170 писал(а):

Скорее всего не решил бы, да. Я не профессиональный математик и не физик, так что мне его теорминимум нужен как зайцу стоп-сигнал. Это как раз то, о чём я и говорю. Если мне в моей деятельности нужна какая-то математика, а такое бывает, то я изучаю именно её, именно в том объёме, который нужен. А не упарываюсь в абстрактные теорминимумы.

Замечательно. Только не надо генерализировать свой частный опыт.

[alesha_popovich]

drzewo в сообщении #1671173 писал(а):

Замечательно. Только не надо генерализировать свой частный опыт.

Не вижу, где бы я что генерализовал. По крайней мере, не больше, чем вы или другие участники этой темы.

[мат-ламер]

drzewo в сообщении #1671173 писал(а):

Только не надо генерализировать свой частный опыт.

В этой теме как раз интересно почитать не абстрактные определения из Википедии, а частный опыт конкретного форумчанина. Но как-то ЗУ стесняются им делиться. Видимо боятся показаться глупыми. Не побоюсь этого и расскажу о своём опыте, хотя он сильно специфичен и примитивен. Тут на форуме в постах про понимание спрашивают такие интересные вещи, о которых я даже никогда не задумывался. Например, спрашивают про геометрический смысл определителя. А почему вообще у него должен быть геометрический смысл? Да, иногда определитель может быть интерпретирован как ориентированный объём. Но отнюдь не всегда. Решая линейную систему малого порядка, не думаешь про ориентированный объём. Никогда не задумывался про мотивацию определения для определителя. Может это вообще удобный значок для сокращения письма (а может и нет). Никогда не думал про мотивировки и других определений. Например про правило умножение матриц. Воспринимал их, как нечто, данное свыше. Математика во многих своих понятиях - это язык для описания природы. Вот природа устроена так, а не иначе. Почему я должен интересоваться мотивировкой этого устройства? Вот пример:

peg59 в сообщении #1670967 писал(а):

А в алгебрах Ли волшебным образом возникает операция коммутации. Почему именно она эквивалент произведения?

Потому что природа так устроена. Возьмём трёхмерные вектора в нашем пространстве и операцию векторного произведения. И тут естественно возникают и определители и алгебры Ли.

Никогда представлял себе производную как скорость какого-то процесса. Да, в определённых ситуациях это скорость, но отнюдь не всегда. Представлял себе производную (дифференциал), как некоторое линейное отображение, которое аппроксимирует исходное.

Никогда не представлял себе интеграл, как некую площадь. Да, его можно в некоторых ситуациях использовать для определения площади. Но возьмём определённый интеграл от функции $f(x)=x-1$ в пределах от $0$ до $2$ . Он равен нулю. И где тут объект нулевой площади?

Никогда не представлял себе, что число - это некоторые объекты, предназначенные для измерения чего-то. Представлял себе число, как некие абстрактные объекты с некими абстрактными правилами действий над ними. Тут как заходил ТС, который не мог понять суть комплексных чисел именно потому, что в его понятиях число должно чего-то измерять.

Никогда не представлял себе комплексное число как сумму $a+b\sqrt{-1}$. Комплексное число представлял как единый объект, который может быть интерпретирован как парой действительных чисел (хотя можно и некоей матрицей, к примеру) с неким набором действий над ними.

Никогда не думал над смыслом отрицательных чисел и как его можно представить себе в голове. Вспоминаю ролик на Ютубе. Журналистка брала интервью у математика. Призналась, что в детстве у неё очень хорошо шла математика. Но когда дошли до отрицательных чисел, что-то сломалось. Она не смогла их себе "представить". И дальше всё пошло наперекосяк (касательно математики и физики).

Вероятно тут лежит ответ на вопрос, почему некоторые отнюдь неглупые люди абсолютно неспособны к математике. Они пытаются новые математические понятия осмыслить и представить их себе. То есть связать их с теми понятиями, которые уже есть в голове. (Всё согласно определению из Википедии, которое приводилось в этой теме). Но бывает, что новые понятия настолько новы, что со старыми никак не связываются. Ну и что? Не надо делать из этого проблемы. Надо просто эти понятия принять и поверить, что всё со временем уляжется в голове. А если не уляжется, то значит и не надо.

В то же время не согласен с позицией, что понять что-то - это значит научиться это применять (научиться с этим работать). При этом не обдумывая ничего и не задавая себе никаких вопросов (заткнись и считай!). Например, когда ввели в школе отрицательные числа, мне было непонятно, почему $(-1)(-1)=1$ ? Не удовлетворившись ответом учительницы, задал свой вопрос родителям. После их ответа (уже не помню какого) всё стало на свои места. То есть при изучении предмета вопросы себе задавать конечно нужно. Вот только вопрос - какие именно? Наверное тут и кроется секрет понимания математики - научиться задавать себе правильные вопросы.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1671175 писал(а):

Но возьмём определённый интеграл от функции $f(x)=x-1$ в пределах от $0$ до $2$ . Он равен нулю. И где тут объект нулевой площади?

Вообще-то, утверждение о том, что определённый интеграл совпадает по модулю с площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции и осью абсцисс, относится лишь к знакопостоянным функциям.

-- 23.01.2025, 09:37 --

мат-ламер в сообщении #1671175 писал(а):

Никогда представлял себе производную как скорость какого-то процесса. Да, в определённых ситуациях это скорость, но отнюдь не всегда.

Можно пример: когда производная - не скорость?

[Sender]

мат-ламер в сообщении #1671175 писал(а):

Тут как заходил ТС, который не мог понять суть комплексных чисел именно потому, что в его понятиях число должно чего-то измерять.

Комплексными числами вполне естественно измерять, к примеру, амплитуду и фазу электрического сигнала, взять тот же метод комплексных амплитуд.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1671175 писал(а):

Журналистка брала интервью у математика. Призналась, что в детстве у неё очень хорошо шла математика. Но когда дошли до отрицательных чисел, что-то сломалось. Она не смогла их себе "представить". И дальше всё пошло наперекосяк (касательно математики и физики).

Это какая-то нелепость. Отрицательные числа появляются в 6-м классе. Физика - в 7-м. Сказать о том, что знакомство с отрицательными числами стало вдруг мешать изучению физики (которое ещё не началось!) может лишь тот, у кого в голове всё смешалось, как в доме Облонских. (Или всё обломилось, как в доме Смешанских).

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1671178 писал(а):

Можно пример: когда производная - не скорость?

Извините, нет (без обид). Я зашёл в тему, чтобы поделиться собственным опытом, а не для того, чтобы что-то отстаивать и о чём-то спорить. Если у вас есть этот собственный опыт, то с интересом его выслушаю. Если вы зашли, чтобы доказать, что кто-то тут неправ, тоже выслушаю, но с уже меньшим интересом.

-- Чт янв 23, 2025 10:11:40 --

Sender в сообщении #1671179 писал(а):

Комплексными числами вполне естественно измерять, к примеру, амплитуду и фазу электрического сигнала, взять тот же метод комплексных амплитуд.

Понятное дело. Только не путайте понятия "можно", "естественно" и "обязательно". Комплексные числа не обязательно что-то должны измерять (как думал тот ТС). Хотя в ряде случаев вполне могут.

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

А как у вас? Сталкивались ли вы с проблемами "не понимаю, почему это определение именно такое" или "могу проследить доказательство по шагам, но не понимаю, что происходит"? Если да, то на каком материале? Как их решили?

Много раз такое было, обычно потом всё как-то вставало на свои места. С более абстрактными разделами мне помогло не столько решение задач, сколько наличие связей с другими областями математики. Скажем, я столкнулся с гомологической алгеброй в 1 семестре (чисто из интереса заглянул), по шагам все рассуждения были понятны, а смысл — нет. Потом уже, когда познакомился с алгебраической топологией, сразу появилась и мотивация, и приложения для алгебраической деятельности.

Ещё часто встречаются немотивированные доказательства (хотя формулировка понятна, и зачем это нужно — тоже понятно). В общих курсах таких практически нет, я думаю, из-за общего опыта преподавания. А в более современных разделах или ещё не придумали совсем простых доказательств, или таких в принципе не бывает... Приходится с этим мириться.

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1671178 писал(а):

Можно пример: когда производная - не скорость?

Производная из ТФКП, например...

[Dedekind]

Mihr в сообщении #1671182 писал(а):

знакомство с отрицательными числами стало вдруг мешать изучению физики (которое ещё не началось!

Вполне легко представить. Отрицательные числа начались в 6-м классе, стало непонятно, забила на математику, что вылилось в неумение решать задачи по физике, когда та началась в 7-м. Ну и дальше как снежный ком.