Как и существование математиков, которые никак не могут понять сложение дробей до тех пор, пока не ознакомятся с интегралом Лебега-Стилтьеса.
Забавно, что это предложение буквально про меня
(ну за тем исключением, что я не математик). Понять, допустим, конструкцию интеграла Курцвейля-Хенстока для меня было проще, чем понять дроби. Конечно, я умел, допустим, приводить дроби к общему знаменателю на тот момент, когда изучал этот же интеграл. Но
понял дроби я уже после (буквально пару лет назад может быть). Я понимаю, что это выглядит не очень адекватно с моей стороны, как будто я вру или выпендриваюсь, но это так и есть. И у этого есть причина: на мой взгляд понятие дроби
сложное. Заучить механически правила с дробями в школе можно, но понять, почему они такие - это гораздо сложнее. Понятие дроби упирается в целый ряд довольно сложных конструкций.
1. Нужно знать, что такое фактормножество (потому что множество дробей - это буквально фактормножество подмножества упорядоченных пар целых по известному отношению эквивалентности).
2. Нужно осознавать понятие
формального символа. Для меня это тоже большая личная история: я давно научился понимать теоретико-множественные определения, а вот эти формальные штуки до меня долго не доходили (слава богу, что хоть сейчас дошли).
3. Надо понимать связь теоретико множественного определения с определением дроби как формального знака, их взаимную заменяемость, цели того и другого определения.
4. Нужно понимать мотивацию дробей: что мы хотим иметь алгебраическую систему, согласованную с неформальной практикой действий над частями целого. Раз алгебраическую систему - значит хотелось бы, чтобы она расширяла действия над уже существующими (исторически - натуральными, логически - целыми) числами, если такое возможно. Оказывается, что возможно. Тут в принципе надо обладать определенной математической культурой, чтобы понимать, что математика - это не данные свыше сакральные знания, а вполне себе собственноручно творимое детище, где человек может сам выбирать определения, сам менять их, и т.д. И что это нормально - искать определения под заданные цели.
5. Ввиду неоднозначности представления числа дробью, надо понимать что такое конгруэнция (корректность операции на фактормножестве, т.е. независимость от выбора представителя). А это идея универсальной алгебры.
6. Далее можно заметить, что расширить наши предыдущие числа (целые) можно многими способами, причем и свойства операций сохранятся, и согласованность с неформальной практикой будет (куски считать сможем). Поэтому дроби - это нечто большее. А именно, мы хотим
минимальное из всех таких расширений. "Экстремальное условие" на классах алгебраических систем. Как его формализовать? Да, теория категорий:
Плюс мне сама конструкция поля частных нравится - она универсальная. Давайте прикинем на уровне интуиции, что мы вообще хотим от поля частных? Довольно очевидно, что мы хотим в некотором смысле минимально расширить целостное кольцо до поля. Сделать что-то типа свободного поля. Но, во-первых, свободное поле было бы, если бы мы конструировали поле из голого множества. Во-вторых, свободных полей не бывает (здесь
я кратко обрисовал почему). Короче говоря, нам нужно не максимально свободное поле, а как бы свободное "по модулю кольцевой структуры" (точно так же как от группы Гротендика мы хотим не максимально свободную группу, а как бы свободную по модулю структуры подлежащего моноида). Уже из этих интуитивных соображений все понятно: нам нужен левый сопряженный функтор к забывающему
(последняя - категория целостных колец с мономорфизмами в качестве стрелок). Почему
, а не просто
? Очевидно: нам же вложение нужно, а не просто какая-то функция, т.е. наша универсальная стрелка должна быть мономорфизмом. Ну и плюс тот факт, что в
тупо нету универсальной стрелки из каждого кольца в поле.
В итоге, видно, что понятие дроби -
сложное. По-моему, гораздо сложнее всяких конструкций вещественных интегралов. Понять все это в школе - нереально.
(Оффтоп)
Хотя мне говорили в школе, какого черта я заканчиваю школу и так и не смог разобраться "даже" с дробями.
Да как в это поверить можно ?
учитывая, что векторы дети в школе в 8 классе проходят, см. учебники Погорелова, а еще лучше Атанасяна ? Или у вас была "интеллектуальная биография" очень уж, просто экстремально, необычная, или вы лукавите.
Да я не учился в школе практически вот и все. Это можно назвать "интеллектуальная биография"?
Да, у нас были векторы в школе, я попытался вникнуть, ничего не понял и просто забил, списывал с гдз. Хорошо, что учительница понимающая оказалась, вывела тройку.
