Плоскости умножения в комплексном пространстве

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1562353 писал(а):

Это достойно цитатника

Понравилось.

alcoholist в сообщении #1562355 писал(а):

В этом выражении замаскировано почитаемое вами соотношение $x^2=-1$, так что можете считать, что это то же самое.

Вот и хорошо (но потом все же попытаюсь разобраться).

EminentVictorians в сообщении #1562356 писал(а):

то оно не было бы полем $\mathbb C$

Именно это я и хотел сказать.

EminentVictorians в сообщении #1562356 писал(а):

Ну давайте так. Вам сказали, что эта штука изоморфна $\mathbb C$. Как думаете, там есть элемент, квадрат которого равен $(-1)$?

Конечно, есть. Так мне этого и нужно!

EminentVictorians в сообщении #1562356 писал(а):

Вам в этой теме продемонстрировали гору разных определений комплексных чисел. С теоретико-множественной точки зрения они могут быть разными множествами. И $i$ в них будут разные. Но какая разница то? Все модели изоморфны между собой.

Именно так я и понимаю, спасибо за подтверждение!

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562344 писал(а):

А, кстати, как это сделать?

Есть стандартная процедура добавления к полю корня многочлена, который над этим полем еще не факторизуется. Собственно один из вариантов - это взять кольцо многочленов над полем и пофакторизовать его по идеалу, порожденному этим многочленом, если многочлен был неприводим - то получится поле, и в нём уже будет корень нашего многочлена.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562344 писал(а):

В каких, например?

Да хотя бы в $\mathbb Z_5$: $2^2 = 2\cdot 2 = 4 =_5 -1$.

Вообще, вы говорите о поле комплексных чисел, или об определении этого поля? Изучать, как именно устроено определение, обычно не очень интересно, важно лишь какой объект оно определяет. И что в точности представляет из себя та или иная алгебраическая структура как множество - тоже редко важно.

EminentVictorians в сообщении #1562341 писал(а):

поэтому вся цепочка по включению алгебраически независимых подмножеств происходит над $\mathbb Q$

Да, это я что-то затупил.
Но кстати забавно с полнотой - получается что у $\mathbb C$ есть куча подполей, изоморфных ему самому, но, естественно, неполных. Что приводит к вопросу - как определить полноту для произвольного (пусть алгебраически замкнутого и нулевой характеристики) поля? Рациональные числа мы там найдем, а вот как выделить положительные, чтобы говорить о малости - непонятно.

[Slav-27]

mihaild в сообщении #1562391 писал(а):

как определить полноту для произвольного... поля? Рациональные числа мы там найдем, а вот как выделить положительные, чтобы говорить о малости - непонятно.

Надо изучать топологические поля, в частности, любое поле, снабжённое нормированием, имеет естественную структуру топологического поля.
Например, любое поле, полное относительно архимедова нормирования, изоморфно $\mathbb R$ или $\mathbb C$ как топологическое поле.

[mihaild]

Не, если есть дополнительная структура, позволяющая говорить о топологии, то всё понятно. Но куда нормирование действовать будет, если мы вещественные числа не хотим упоминать?

[Slav-27]

Можно сказать, что в произвольное архимедово упорядоченное поле (всё равно все они a posteriori вкладываются в $\mathbb R$).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562391 писал(а):

Есть стандартная процедура добавления к полю корня многочлена, который над этим полем еще не факторизуется. Собственно один из вариантов - это взять кольцо многочленов над полем и пофакторизовать его по идеалу, порожденному этим многочленом, если многочлен был неприводим - то получится поле, и в нём уже будет корень нашего многочлена.

К этому я надеюсь вернуться позже.

mihaild в сообщении #1562391 писал(а):

Да хотя бы в $\mathbb Z_5$: $2^2 = 2\cdot 2 = 4 =_5 -1$.

Интересно!

mihaild в сообщении #1562391 писал(а):

Вообще, вы говорите о поле комплексных чисел, или об определении этого поля?

О поле комплексных чисел. Но, мне кажется, что знание определения не помешает, хотя, конечно, если выбирать, то я бы выбрал понимание того, как устроено поле.

Еще раз о том, что

mihaild в сообщении #1562196 писал(а):

с точки зрения комплексного пространства нет никаких "плоскостей".

В комплексном пространстве $V$ произведения вектора $\textbf a$ на всевозможные комплексные числа образует подпространство $V_\textbf a,$ которое Вы не хотите признавать плоскостью. При умножении этого же вектора на всевозможные чисто вещественные числа (которые также являются комплексными) образуется вещественная прямая. Вы не считаете ее подпространством подпространства $V_\textbf a?$ Если считаете, то не является ли все же подпространство $V_\textbf a,$ плоскостью?

[alcoholist]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562402 писал(а):

В комплексном пространстве $V$ произведения вектора $\textbf a$ на всевозможные комплексные числа образует подпространство $V_\textbf a$

назовите это вещественно-двумерное подпространство плоскостью, или просто комплексной прямой -- суть от этого не изменится

[Vladimir Pliassov]

alcoholist в сообщении #1562404 писал(а):

назовите это вещественно-двумерное подпространство плоскостью, или просто комплексной прямой -- суть от этого не изменится

Но эта комплексная прямая, очевидно, имеет подпространством вещественную прямую. Как его назвать? Это должно быть что-то между одномерным и нулевым подпространством пространства $V$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562402 писал(а):

При умножении этого же вектора на всевозможные чисто вещественные числа (которые также являются комплексными) образуется вещественная прямая.

А при умножении на рациональные числа - рациональная прямая. При умножении на алгебраические - алгебраическая. И т.д., у $\mathbb C$ много подполей.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562402 писал(а):

Вы не считаете ее подпространством подпространства $V_\textbf a?$

Не считаю, конечно. Векторное пространство - пространство над конкретным полем. И подпространство должно быть замкнуто относительно умножения на элементы поля, а не какого-то случайного его подполя.
Аналогичный вопрос: вы рациональные числа подпространством вещественной прямой считаете?

[Slav-27]

Я понял, что при аксиоматическом определении $\mathbb C$ как топологического поля можно вообще не говорить о нормированиях. $\mathbb R$ и $\mathbb C$ -- это единственные полные связные локально компактные хаусдорфовы топологические поля. (Понятие полноты имеет смысл для любой топологической абелевой группы, определяется как обычно через последовательности Коши.)

Это следствие 3 фактов:

• Топология любого локально компактного хаусдорфова топологического поля индуцируется некоторым вещественнозначным нормированием (Warner, Topological rings, теорема 16.3).
• Любое ультраметрическое пространство (это где усиленное неравенство треугольника вместо обычного) вполне несвязно; в частности, любое поле с топологией, индуцированной неархимедовым нормированием.
• Любое поле, полное относительно (вещественнозначного) архимедова нормирования, изоморфно $\mathbb R$ или $\mathbb C$ как топологическое поле -- теорема Островского (одна из).

UPD. Это верно даже если не требовать полноты (Понтрягин, Непрерывные группы, § 27).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562406 писал(а):

Не считаю, конечно. Векторное пространство - пространство над конкретным полем. И подпространство должно быть замкнуто относительно умножения на элементы поля, а не какого-то случайного его подполя.

Вы меня убедили.

Slav-27 в сообщении #1562408 писал(а):

Аналогичный вопрос: вы рациональные числа подпространством вещественной прямой считаете?

Нет.

[Vladimir Pliassov]

I.

mihaild в сообщении #1562406 писал(а):

Векторное пространство - пространство над конкретным полем. И подпространство должно быть замкнуто относительно умножения на элементы поля, а не какого-то случайного его подполя.

По-моему, это очень важная мысль. От нее у меня как-то уложилось в голове, что векторы (точки, по Александрову), то есть элементы абелевой группы, одни и те же (абелева группа порядка $2n$ одна и та же -- о том, что такое в моем представлении порядок группы, см .ниже), но при этом в вещественном пространстве каждый элемент абелевой группы сопоставляется $2n$ числам, а в комплексном -- $n$ числам (то есть можно смотреть так просто).

И здесь не имеет значения, что комплексные числа конструируются из вещественных, имеет значение, что поле $\mathbb C$ имеет больше возможностей, чем поле $\mathbb R$.

При этом, подобно тому, как в вещественном пространстве каждый вектор лежит в единственной вещественной прямой, и эта прямая является прямой его умножения, в комплексном пространстве каждый вектор лежит в единственной комплексной прямой (двумерной, с вещественной точки зрения), и эта комплексная прямая является прямой его умножения (с вещественной точки зрения, плоскостью его умножения).

(Хотя каждый вектор, с вещественной точки зрения, находится в бесконечном множестве плоскостей, только одна из них является плоскостью его умножения на комплексные числа, то есть только одна из них является комплексной прямой, в которой он лежит.)

II.

Теперь хотелось бы разобраться, какова, в самом деле, роль умножения на числа в линейном пространстве. То есть что оно делает и чего не делает, ведь многое делается и без него, например, еще до введения умножения на числа можно определять размерность пространства, деление на подпространства (одним, двумя или большим числом способов, см. ниже) и, вероятно, что-то еще. А числа нужны только для того, чтобы отобразить одни векторы в другие перед тем, как их складывать.

Это отображение можно совершать умножением на вещественные числа, а можно отображением на комплексные числа, и в том и в другом случае, в общем, достигается одна и та же цель -- из уже имеющихся векторов выбрать те, которые будут складываться.

То есть хотелось бы уяснить, что в линейном пространстве делает умножение векторов на числа, а что делает сама абелева группа.

1.

Возьмем абелеву группу $V$. Будем называть ее аддитивной с прицелом на то, что затем она будет рассматриваться как аддитивная абелева группа линейного пространства.

Для наглядности можно рассматривать группу направленных отрезков (однако без представления, что отрезок может получаться умножением некоторого отрезка на число).

Группа $V$ имеет нулевую подгруппу, назовем ее подгруппой нулевого порядка и обозначим $V^0$.

Будем называть подгруппу $V^1$ группы $V$, состоящую только из себя самой и нулевой подгруппы, подгруппой первого порядка, подгруппу $V^2$, состоящую из себя самой, всех своих подгрупп первого порядка и подгруппы нулевого порядка, подгруппой второго порядка и так далее.

(У меня здесь рекуррентное определение, но, может быть, можно найти другое?)

Пусть в группе $V$ элементы каждой подгруппы первого порядка находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами $\mathbb R.$

Любые две несовпадающие подгруппы первого порядка $V^1_1$ и $V^1_2$ пересекаются только в одной точке (элементы будем называть также точками) и порождают некоторую подгруппу второго порядка $V^2$ в том смысле, что для любого элемента $c\in V^2$ найдутся такие элементы $a\in V^1_1$ и $b\in V^1_2$, что $c=a+b$, причем элементы $a$ и $b$ единственны (то есть $V^2$ представляет собой прямую сумму $V^1_1$ и $V^1_2$ ).

Если подгруппа $V^1$ первого порядка не лежит в подгруппе $V^2$ второго порядка (не является ее подгруппой), то они пересекается только в одной, нулевой точке и порождают некоторую подгруппу третьего порядка $V^3$.

Две подгруппы второго порядка $V^2_1$ и $V^2_2$ могут пересекаться либо в прямой (назовем так подгруппу первого порядка), и тогда они порождают подгруппу $V^3$ третьего порядка, либо только в нулевой точке, и тогда они порождают подгруппу $V^4$ четвертого порядка, представляя собой его прямую сумму.

И так далее.

Дальше изложение пойдет по двум вариантам.

1 вариант (с прицелом на умножение на вещественные числа).

Будем называть подгруппы первого порядка линейно независимыми, если они представляют собой слагаемые прямой суммы.

Любые $n$ линейно независимых подгрупп первого порядка группы $V$ $n$-ого порядка будем называть базисом группы $V$. Соответственно, эти $n$ линейно независимых подгрупп первого порядка будем называть базисными.

Понятно, что обращение с базисами абелевой группы следующее: берется по одному элементу из каждой базисной подгруппы и эти элементы складываются.

2 вариант (с прицелом на умножение на комплексные числа).

Будем называть подгруппы второго порядка линейно независимыми, если они представляют собой слагаемые прямой суммы.

При порядке группы $V$, равном $2n$, любые $n$ линейно независимых подгрупп второго порядка группы $V$ будем называть базисом группы $V$. Соответственно, эти $n$ линейно независимых подгрупп второго порядка будем называть базисными.

Размерностью группы назовем число ее базисных подгрупп. В соответствии с двумя вариантами определения базиса размерность группы может быть представлена в двух вариантах.

Независимо от того, какой базис применяется -- первого или второго варианта -- используя его, можно получить любой элемент группы $V$.

2.

Для первого варианта:

базисные прямые (то есть базисные подгруппы первого порядка) будем называть осями.

Таким образом, в $n$-мерной группе $V$ (в первом варианте!) имеется $n$ осей.

Для второго варианта:

любые две линейно независимые прямые $V^1_1, V^1_2$ (то есть любые две линейно независимые подгруппы первого порядка), лежащие в базисной подгруппе второго порядка, будем называть осями.

В одной из них, например, в $V^1_1$, после введения умножения на комплексные числа может лежать базисный вектор комплексного пространства.

После овеществления этого пространства в обеих осях $V^1_1, V^1_2$ могут лежать базисные векторы полученного вещественного пространства.

Таким образом, в $n$-мерной группе $V$ (во втором варианте!) имеется $2n$ осей.

Мне кажется, что употребление осей очень помогает пониманию линейных пространств -- вещественного и, особенно, комплексного, в частности, в его отношениях с соответствующими вещественными пространствами (при введении комплексной структуры это одно вещественное пространство, при комплексификации -- другое, с вдвое меньшим числом осей).

3.

Можно, как я понимаю, предложить еще несколько вариантов -- для кватернионов (с базисными подгруппами четвертого порядка), октав (с базисными подгруппами восьмого порядка) и т. д..

4.

Заметим, что для определения размерности (в двух вариантах) нам не понадобилось умножение элементов абелевой группы на числа. Соответственно, еще до введения умножения на числа у нас уже определились (в двух вариантах) подгруппы группы $V$, которые совпадают с подпространствами линейного пространства $\mathcal{V}$, которое можно построить на $V$ введением этого умножения.

Определены также совокупности подгрупп -- одномерных или двумерных, в зависимости от варианта (то есть от того, вещественным или комплексным будет пространство $\mathcal{V}$) -- в которых могут лежать базисные векторы пространства $\mathcal{V}$ после введения умножения (по одному базисному вектору в каждой подгруппе).

Еще одно.

После введения умножения в группе $V$ ее элементы начинают называться векторами, хотя их можно называть и элементами $V$.

Но я думаю, что и до введения умножения элементы группы $V$ могут называться векторами, так как можно считать, что они уже имеют направления. Например, можно считать, что элементы $a$ и $-a$ имеют противоположные направления (если помните, в группе $V$ элементы каждой подгруппы первого порядка были поставлены во взаимно однозначное соответствие элементам $\mathbb R.$).

Может быть, есть и еще что-то, что я забыл (или о чем не знаю), буду благодарен за дополнения.

5.

Если в линейном пространстве $\mathcal{V}$ линейную комбинацию $\textbf v=\alpha \textbf a+\beta \textbf b+\ldots+ \tau \textbf t$ представить в виде $\textbf v=\textbf a'+\textbf b'+\ldots+ \textbf t'$, где $\textbf a'=\alpha \textbf a, \textbf b'=\beta \textbf b, \ldots, \textbf t'=\tau \textbf t$, то получим одно только сложение векторов $\textbf a', \textbf b', \ldots, \textbf t'$ без умножения на числа, то есть сложение элементов $\textbf a', \textbf b', \ldots, \textbf t'$ группы $V$.

То есть умножение векторов на числа нужно для того, чтобы получить векторы, которые будут складываться. Если эти векторы уже известны, то нет необходимости в умножении векторов на числа -- можно обойтись одним только сложением в абелевой группе.

6.

После введения умножения.

Любой элемент $a$ группы $V$ ненулевого порядка может быть получен умножением на соответствующее вещественное число произвольного вектора $b\in V$, лежащего в той же прямой (то есть в той же подгруппе первого порядка), .

С умножением на комплексные числа дело обстоит сложнее.

Любой элемент $a$ группы $V$ порядка $2n$ может быть получен умножением на комплексное число произвольного элемента $c\in V$, лежащего в той же комплексной прямой, то есть в подгруппе второго порядка $V^2$, в которой определено умножение на комплексные числа как для элемента $a$,так и для элемента $c$.

(Если $a$ и $c$ лежат в одной и той же подгруппе $V'^2$ второго порядка, это еще не значит, что они лежат в одной и той же комплексной прямой, но если они лежат в одной и той же подгруппе $V'^2$ второго порядка, и подгруппа эта является комплексной прямой для $a$, то она является комплексной прямой и для $c$.)

(Подгруппу второго порядка группы назовем плоскостью.)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562562 писал(а):

Будем называть подгруппу $V^1$ группы $V$, состоящую только из себя самой и нулевой подгруппы

Что значит "подгруппа состоит из себя и нулевой подгруппы"? Подгруппы обычно не содержат себя в качестве элемента.
Или вы имеете в виду, что у группы нет подгрупп, кроме себя самой и нулевой? Так никто не гарантирует, что такая подгруппа есть (если исходная группа была нетривиальной и без кручения, то точно нет).
Или вы просто рассматриваете какое-то семейство подгрупп, и смотрите, как соотносятся подгруппы этого семейства?

Vladimir Pliassov в сообщении #1562562 писал(а):

и без него, например, еще до введения умножения на числа можно определять размерность пространства, деление на подпространства (одним, двумя или большим числом способов, см. ниже)

Боюсь наврать, но вроде бы если у поля $F$ есть поле $K$ такое что степень расширения $[F:K]$ бесконечна (т.е. размерность $F$ как векторного пространства над $K$ бесконечна), то аддитивные группы всех векторных пространств одинаковой мощности над $F$ одинаковы. В частности (и в этом я уже уверен), аддитивные группы всех пространств над $\mathbb R$ континуальной мощности (в частности всех $\mathbb R^n$) изоморфны.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562566 писал(а):

Или вы имеете в виду, что у группы нет подгрупп, кроме себя самой и нулевой?

Да, именно это. Конечно, я не имею в виду, что группа является своим элементом.

mihaild в сообщении #1562566 писал(а):

Или вы просто рассматриваете какое-то семейство подгрупп, и смотрите, как соотносятся подгруппы этого семейства?

Да, я там написал, что для наглядности можно рассматривать группу направленных отрезков (однако без представления, что отрезок может получаться умножением некоторого отрезка на число). И еще я написал : "Пусть в группе $V$ элементы каждой подгруппы первого порядка находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами $\mathbb R.$" И сам я рассматриваю абелеву группу на этом примере. Надеюсь, что это работает, хотя, как теперь подозреваю, и не для всех случаев.

А, ну вот и Вы говорите:

mihaild в сообщении #1562566 писал(а):

В частности (и в этом я уже уверен), аддитивные группы всех пространств над $\mathbb R$ континуальной мощности (в частности всех $\mathbb R^n$) изоморфны.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562567 писал(а):

Да, я там написал, что для наглядности можно рассматривать группу направленных отрезков

А тут нужно не для наглядности, а строгое определение. Можете точно выписать, какие структуры вы вводите? И что от них требуете, а какие свойства дальше выводите?
Рассмотрение подгруппы, у которой нет подгрупп, кроме тривиальной, в данном контексте не очень интересно, потому что уже у $\mathbb Z$ (и соответственно любой содержащей целые числа группы, например $(\mathbb R, +)$) таких подгрупп нет.