Что такое понимать математику

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1671138 писал(а):

Но уж точно не для понимания того, что такое дроби.

Не углубляясь в бесконечную рекурсию на предмет того, каково должно быть понимание "понимания" в общем случае, а ограничившись частным случаем - каково должно быть понимание дробей - хочу заметить, что если для понимания дробей человек вынужден привлекать фактормножества, формальные символы и конгруэнции, то с его пониманием "понимания" что-то не так.

По моему скромному мнению понимание дробей должно заключаться в первую очередь в том, чтобы понимать, зачем они нужны в жизни простых людей, каково их применение. Т.е. как только мы осознаём, что они нужны для выражения количеств, которые не всегда выражаются целыми числами, так у нас уже появляется какое-то понимание. Дальше его нужно только слегка раскрыть:
1) Раз это количества, значит на них должны быть определены отношения равенства и порядка, а также арифметические операции.
2) Раз они расширяют целые количества, значит целые числа при необходимости тоже должны выражаться дробями.

Далее мы должны только принять, какая именно запись дроби нас устроит (пара из числителя и знаменателя), а также какие именно операции и отношения и каким образом должны быть определены (тут и появляются приведение к общему знаменателю и всё прочее). Это всё - абсолютно уровень начальной школы. Что же к этому добавляют всякие фактормножества (да и любые другие множества), алгебры и конгруэнции? А добавляют они к этому только понимание того, что существуют какие-то более общие вещи, чем дроби. Т.е. мы начинаем существенным образом включать в понимание дробей также понимание кучи вещей, кои дробями не являются. В этом я и вижу дефект такого понимания "понимания".

Вспомнил сейчас пример из своей юности. В школьные годы я заинтересовался смыслом уравнений Максвелла, так что для начала захотел выяснить, что же такое дивергенция. К сожалению, нашёл я это в вузовском учебнике по матанализу Кудрявцева, второй том. Там было такое определение:
$\operatorname{div} \vec{a} = \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}$.

Я подумал: "Что эта фигня вообще значит и откуда она взялась"? Нет, смысл каждого отдельного символа я понял, я не понял какой смысл в том, чтобы определять такую специфическую комбинацию из производных координат векторов. Я даже добрался тогда до теоремы Гаусса, но она мне как-то не зашла. Типа, ну, есть какое-то странное свойство у интеграла от такой странной комбинации производных, и что?

Настоящее понимание у меня появилось уже в вузе, когда нам в курсе общей физики (а не матанализа!) определили дивегенцию как предел отношения потока через поверхость к объёму, охватываемому этой поверхностью. Я тогда сразу подумал: "Ага, так вот для чего на самом деле нужна эта штука". Ну и, конечно, когда потом из этого определения вывели ту формулу дивергенции, которую я нашёл у Кудрявцева, я был полностью удовлетворён.

[Sender]

мат-ламер в сообщении #1671175 писал(а):

Журналистка брала интервью у математика. Призналась, что в детстве у неё очень хорошо шла математика. Но когда дошли до отрицательных чисел, что-то сломалось. Она не смогла их себе "представить".

Как сейчас помню: когда нам в школе давали отрицательные числа, учительница произнесла что-то вроде: "Градусник за окном у всех есть?" В те времена зимы были не чета нынешним, так что отрицательные числа можно было не только представить, но и вполне отчётливо ощутить.

[epros]

О, прочитал сейчас сообщение мат-ламер и обнаружил, что моё мнение абсолютно противоположно. См. выше пример про дивергенцию.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1671183 писал(а):

Я зашёл в тему, чтобы поделиться собственным опытом

Ну, так я и имел в виду: когда в Вашем восприятии производная - не скорость? Не хотите говорить - не надо. Какие могут быть обиды. Только имело ли смысл вообще высказываться, если собственные слова Вы отказываетесь комментировать? В любом случае, дело Ваше, конечно.

dgwuqtj в сообщении #1671184 писал(а):

Производная из ТФКП, например...

Не уловил. В ТФКП производная определяется ровно так же, как в классическом матанализе. Чем не скорость? Лишь тем, что двухкомпонентна?

Dedekind в сообщении #1671185 писал(а):

Вполне легко представить. Отрицательные числа начались в 6-м классе, стало непонятно, забила на математику, что вылилось в неумение решать задачи по физике, когда та началась в 7-м. Ну и дальше как снежный ком.

А, ну если так рассуждать, то отрицательные числа помешали затем и знакомству с химией, наверно, и с информатикой, а ещё успешной сдаче ЕГЭ по любым предметам, получению золотой медали, красного диплома и, наконец, премии Филдса. Они помешали построению успешной карьеры бизнесвумен, пришлось стать журналисткой...

(Оффтоп)

Вспомнилось из "Ералаша": "Ты не виноват! Во всём виноват Антон Палыч Чехов! Не выйдет, Табуреткин! За свои поступки (тук-тук-тук по столу) каждый человек (тук-тук-тук!) должен отвечать сам! (тук-трах-бабах!)"

[Dedekind]

Mihr в сообщении #1671190 писал(а):

а ещё успешной сдаче ЕГЭ по любым предметам

Почему по любым? По тем, где нужна математика. Но есть ведь множество других направлений человеческой деятельности, где можно стать успешным и без отрицательных чисел с дробями и интегралами. Та же журналистика. И потом, почему "пришлось"? Профессия ничем не хуже химика или математика:)

[Mihr]

Dedekind в сообщении #1671191 писал(а):

Почему по любым?

Потому что удар по самолюбию ("я не такая способная, как до сих пор считала"), отсюда депрессия и т.д.
Не обязательно должно было сложиться именно так, конечно. Просто собственные неудачи можно "объяснить" и так, если вдруг захочется.
В общем, неубедительно - вот всё, что я хотел сказать.

[Dedekind]

Mihr в сообщении #1671192 писал(а):

В общем, неубедительно - вот всё, что я хотел сказать.

Понятно. Ну, я с таким сталкивался не раз (и на своем, и на чужом опыте), поэтому для меня звучит вполне убедительно:)

[EminentVictorians]

epros, ну вот в школе я сколько учителей не спрашивал, так никто и не ответил, чтобы я понять смог. Я спрашивал примерно: "Дробь - это что? Мне нужно существительное. Чтобы я хоть от чего-то начал отталкиваться". Что-то отвечали, но я не мог понять (хотя хотел; мне было немного стремно, что все типа понимают, а я нет). Сейчас-то я, конечно, понял, что ответа и не могло быть, потому что, как я уже сказал, понятие дроби - сложное. Но если все так просто, как Вы говорите, ну ответьте тогда - что такое дробь.

[drzewo]

(Оффтоп)

peg59 в сообщении #1670967 писал(а):

А в алгебрах Ли волшебным образом возникает операция коммутации. Почему именно она эквивалент произведения?

она не эквивалент произведения, она энфинитезимальный эквивалент коммутатора в группе Ли. А сложение в алгебре Ли -- это скорее инфинитезимальный эквивалент умножения в группе. Конечно, все это очень неформально. Вот например есть композиция ортогональных операторов, а есть сложение угловых скоростей.

peg59 в сообщении #1670967 писал(а):

что базисные векторы это операторы $\partial / \partial x_i$

меня устроило то, что эти операторы преобразуются при замене координат так как положено преобразовываться базисным векторам

[dgwuqtj]

EminentVictorians
Странно, что про натуральные числа у вас вопросов нет. Их определить ещё сложнее, чем дроби.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1671202 писал(а):

Но если все так просто, как Вы говорите, ну ответьте тогда - что такое дробь.

Объект, состоящий из целочисленных числителя и знаменателя. Неужели Вам в начальной школе такого не говорили?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1671213 писал(а):

Объект, состоящий из целочисленных числителя и знаменателя.

Объект? Это что?

(Оффтоп)

dgwuqtj в сообщении #1671210 писал(а):

Странно, что про натуральные числа у вас вопросов нет. Их определить ещё сложнее, чем дроби.

Я их и не понимал в школе.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians
А что такое половинка яблока, Вы в школе понимали?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1671214 писал(а):

Объект? Это что?

Это что угодно.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1671218 писал(а):

А что такое половинка яблока, Вы в школе понимали?

Да, это понимал.

epros в сообщении #1671219 писал(а):

Это что угодно.

Т.е. дробь - это что угодно?