Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[yk2ru]

Вроде автор определяет такие множества:
$L(k,d)=\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3, H \} $
$E(k)=L(k,1)=\{ x, y, z, z_3, m, m_3, h \} $

[shwedka]

yk2ru
Я вполне согласна с Вашей формулировкой. Но Автор пытается писать по-другому. Да еще величину $H$ определить не может.

[yk2ru]

Зачем только включать в $E(k)$ $m$ и $h$, если они от $k$ не зависят.
При разных $k$ значения $x, y, z, z_3, m_3$ будут разные, но не $m$ и $h$. Можно ведь рассматривать эти числа сами по себе.

[shwedka]

yk2ru
Да он сам не знает, чего хочет. Долго выпрашивал степени, кроме тройки, получил, потом отказался.

[Brukvalub]

shwedka в сообщении #166232 писал(а):

yk2ru
Да он сам не знает, чего хочет. Долго выпрашивал степени, кроме тройки, получил, потом отказался.

Как говорил Вини-Пух: "Кажется, пчелы начали что-то подозревать"

[Семен]

shwedka писал(а):

Я вполне согласна с Вашей формулировкой

yk2ru писал(а):

Зачем только включать в ....

С учётом Ваших замечаний направляю §1, §2, §3. Изъял общее понятие "Предыдущий ряд". Может быть задержка с ответами, т.к. сломался компъютер.

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано:
$Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, где $ X, Y, 2 \le n $ – натуральные числа. (1)
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b), Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3 $,
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$ (2) .
Определим число $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z \in\ N, (Y <X \} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z \in\ J, (Y \le X)\} $.
Oпределяем число $ M=(Z-X) $.
Отсюда: $ Z=(M+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ (5a)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь целое решение $ M $, которое должно быть делителем числа
$ Y^2 $. Запишем его в виде $ M=Y/k $, где $ k $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень $ M $ уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ M=Y/k$, но число $ k $ уже иррационально.

Далее, мы рассмотрим уравнение
$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2b). Положим $ M_3=(Z_3-X) $. После возведения в куб, получаем:
$ M_3^3+3*X*M_3^2$+3*X^2*M_3-Y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с целыми коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются целыми. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ M_3 $ должно быть делителем числа $ Y^3 $. Если, действительно, такой целый корень $ M_3 $ существует, то обозначим
$ M_3=Y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
Примечания:
В множестве S:
1. $ 0<M< Y $, $ 0<M_3< Y $.
2. Для выполнения условия $ Y \le X $, $ k $ должeн быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $.
3. Для выполнения условия $ Y \le X $, $ k_3 $ должeн быть:
$ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.

§2 Для $ (X, Y)\in\ S $, определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $,
$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $, (2.1)
где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, y $ базой для пары $ X, Y $. В множестве S:
1. $ y \le x $.
2. $ 0<m_3< y/2 $.
3. Для выполнения условия $ y \le x $, $ k $ должeн быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $.
4. Для выполнения условия $ y \le x $, $ k_3 $
должeн быть:
$ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.
Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и $ k $ и $ k_3 $ остаются базовыми.
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовoй пары $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через
$ E(k) $, множество $ E(k, 1)=\{x, y, z, z_3, m_3, m, h \} $. Это множество (БР) состоит из чисел x, y, z, z_3, m_3 , построенных по фиксированному k, и из чисел m=2, h=1, не зависящих от k.
При заданных $ k $ и $ d $, множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $, множество $ L(k, d)=\{X, Y, Z, Z_3, M, M_3, H \} $, где все элёменты определены выше, а H - наиболъшее натуралъное число, менъшее M.
Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это
подмножества множества, которое будем называть «блок подобных рядов» (БПР)
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_3=m_3*d $,$ Z=z*d $, $ Z_3=z_3*d $,
$ M=Z-X $, $ M_3=Z_3-X $, $z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $, $ m_3=(z_3-x), m*k=m_3*k_3=y $. $ d $ – действительное число.


§3. Рассмотрим подобную пару (Y=X) .
Чтобы отличать буквенные символы при $ Y=X $, добавим к принятым символам, для пары $ Y=X $, индекс $ . При $ Y^==X^= $, все пары, независимо рациональные они или иррациональные, являются подобными парами. Bсе вместе они образуют только один БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все эти подобные пары с одним $ k^= $, то есть с одной и той же базой. Это $ k^= =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $.
Базовая пара этого БЛОКа: $ x^== y^== k^2^=-1=2* k^==4.828… $ – иррациональные числа. В базовом ряду: $ m^==2 $, $ m_3^==1.255… $ – иррациональнoе числo, $ z^==m^=+x^==6.828… $ – иррациональнoе числo, $ z_3^==m_3^=+x^==6.083… $ – иррациональнoе числo, $ k_3^==Y/m_3^= = 3.84... $.
$ (m^==2)/(m_3^==1.255…)=1.5936… $ – иррациональнoе числo.
Примечание: Все цифровые значения, указанные выше, до §3, постоянны.
В БР, кроме $ m^==2 $, есть ещё одно натуральное число,
$ h^==1 $. $ m_3^= > h^= $
В ПР, где d=2, $ Z^= =(m^= +x^=)+(m^= +x^=) $. Здесь: $X^==2*x^==2*4.828…$, $ M^= =m^=*d=4 $, $ H^==3 $, $ M_3^= =m_3^= *2=2.51… $. $ Z_3^= =X+m_3^= $. Уже при d=2, $ M_3^==2.51…$ меньше $ H^= $. Здесь, между числами: $ M^= =4 $ и $ M_3^= =2.51… $ имеется одно натуральное число -
$ H^==3 $.
В сравнении с ПР, где $ d=2 $, в ПР, где d=3:
$ M^= $ увеличилось на $ 2 $ и стало равным:
$ M^= =6 $. $ H^= $ увеличилось на $ 2 $ и стало равным: $ H^= =5 $. $ M_3^= $ увеличилось на $ 1.55… $ и стало равным: $ M_3^= =3.765… $.
При этом, разница между $ M^= $ и $ M_3^= $, и между $ H^= $ и $ M_3^= $, по сравнению с предыдущим ПР, где d=3,увеличилась.
С увеличением $ d $, разница между $ M^= $ и $ M_3^= $, и разница между $ H^= $ и $ M_3^= $ будет увеличиваться.
Предположим, что в следующем ПР, где $ 3<d<4 $, будет подобная пара, в которой $ Y^==X^= $ - натуральные числa. В этом случае:
$ 3<d<4 $ будет иррациональнoe число,
$ 6<M^=<8 $ - иррациональнoe число, $ 6<H^= < M^= $, $ 3,765...<M^=_3<5.02… $, что меньше числа $ M^== 6 $, предыдущего ПР, где $ d=3 $. Т. е. $ M^=_3 $, и в этом случае, не будет рациональным числом ПР, где $ 3<d<4 $.

[Алексей К.]

Семен писал(а):

При $ Y^==X^= $, все пары, ...

Красота-то какая! А так $Y^{||}={}^{||}X$ было бы ещё красивше...

[yk2ru]

Алексей К. писал(а):

Семен писал(а):

При $ Y^==X^= $, все пары, ...

Красота-то какая! А так $Y^{||}={}^{||}X$ было бы ещё красивше...

Ну в данном случае индексы можно было не использовать.
С использованием разных математических символов у автора имеются проблемы, не всегда правильно он это делает.

[Brukvalub]

yk2ru в сообщении #166711 писал(а):

С использованием разных математических символов у автора имеются проблемы, не всегда правильно он это делает.

Зато в остальном автор безупречен - отточенные формулировки, эффектные преобразования, остроумные и нетривиальные переходы, а, главное, он почти у цели!

[TOTAL]

Brukvalub писал(а):

Зато в остальном автор безупречен - отточенные формулировки, эффектные преобразования, остроумные и нетривиальные переходы, а, главное, он почти у цели!

Никто не знает где он сейчас. shwedka держит его на таком длинном поводке, что сейчас он уже скорее всего где-то на другой планете. Да ещё беда неожиданно подкралась в виде поломанного бортового компьютера. Сможет ли наш герой хоть когда-нибудь вернуться на Землю?

Семен писал(а):

Может быть задержка с ответами, т.к. сломался компъютер.

Прошу прощения, сломался у него, как видим, несколько другой прибор. Компьютера у него не было с самого начала, а без компьютера против Фермы с заряженным холостыми патронами биномом Ньютона ох как тяжело!

[shwedka]

Семен в сообщении #166698 писал(а):

В ПР, где d=2,

Вот, ввели такие хорошие обозначения. Почему же ими не пользуетесь??
чтобы всегда было понятно, о каком d идет речь, пишите

В $L(k^=,2)$

и все совершенно однозначно

Цитата:

В сравнении с ПР, где $ d=2 $, в ПР, где d=3:

В $L(k^=,3)$, в сравнение с $L(k^=,2)$

Цитата:

При этом, разница между $ M^= $ и $ M_3^= $, и между $ H^= $ и $ M_3^= $, по сравнению с предыдущим ПР, где d=3,увеличилась.

При этом в $L(k^=,3)$, по сравнению с $L(k^=,2)$, разница между $ M^= $ и $ M_3^= $, и между $ H^= $ и $ M_3^= $ увеличилась.

Семен в сообщении #166698 писал(а):

С увеличением $ d $, разница между $ M^= $ и $ M_3^= $, и разница между $ H^= $ и $ M_3^= $ будет увеличиваться.

А здесь непонятно. Написано здесь только о целых $ d $ или обо всех положительных. Определитесь.

Цитата:

в следующем ПР

Понятие следуючего ПР не определено.

Цитата:

где $ 3<d<4 $

Такой способ записи вызывает неопределенность. Что Вы хотели написать:
1. При некотором $ 3<d<4 $ ?
2. При некоторых $ 3<d<4 $ ?
3. При всех $ 3<d<4 $ ?
4. Что-то еще?

Определитесь и впредь пишите так, чтобы содержание однозначно определялось текстом.

Цитата:

Т. е. $ M^=_3 $, и в этом случае, не будет рациональным числом ПР, где $ 3<d<4 $.

Опять неоднозначно.

Не будет рациональным
1. ни при каком $ 3<d<4 $?
2. при некотором (некоторых ) $ 3<d<4 $?
3. При том $ d $, при котором
$ Y^==X^= $ - натуральные числa.?
4. Что-то другое?

Цитата:

предыдущего ПР

Понятие предыдущего ПР не определялось.

Цитата:

Т. е.

Нужно развернутое доказательство этого утверждения. Не видно, почему иррациональность следует из написанных неравенств.

[yk2ru]

Два числа $x$ и $y$, зависящих от $k$ называются базовой парой и записывается это так: $(x, y)$.
Соответственно 7 чисел (базовый ряд) $x, y, z, z_3, m, m_3$ и $h$, зависящих от $k$, должны бы записываться так: $(x, y, z, z_3, m, m_3, h)$.
А 7 чисел (подобный ряд) $X, Y, Z, Z_3, M, M_3$ и $H$, зависящих от $k$ и $d$, должны бы записываться так: $(X, Y, Z, Z_3, M, M_3, H)$.
Множество всех подобных рядов можно записать так: $L(k, d) = \{(X, Y, Z, Z_3, M, M_3, H)\}$. Но нужно добавить некие слова про область определения значений $k$ и $d$. Например в качестве $d$ может выступать любое действительное число или нет. Если любое, то можно написать так: $L(k, d) = \{(X, Y, Z, Z_3, M, M_3, H) | d \in\ D \}$
Если что не то предлагаю, можете поправить меня.

Добавлено спустя 8 минут 15 секунд:

Подобный ряд при определённых $k=k_0$ и $d=d_0$ тогда будет $L(k_0, d_0) = (X(k_0, d_0), Y(k_0, d_0), Z(k_0, d_0), Z_3(k_0, d_0), M(k_0, d_0), M_3(k_0, d_0), H(k_0, d_0))$

[shwedka]

yk2ru
мне кажется, такая детализация в обозначениях уже излишня. Возможно, зависимость от $d$ иногда еще нужно указывать, но от $k$ уже не требуется.

[yk2ru]

shwedka писал(а):

yk2ru
мне кажется, такая детализация в обозначениях уже излишня. Возможно, зависимость от $d$ иногда еще нужно указывать, но от $k$ уже не требуется.

Это замечание к последнему равенству?

[shwedka]

yk2ru в сообщении #166862 писал(а):

Это замечание к последнему равенству?

да, в основном.