Так правильно считаем работу?

[drzewo]

chislo_avogadro в сообщении #1667831 писал(а):

Имелось виду, что сравниваются величины разной размерности, что уже было замечено
.

Понятно. Ну, что тут скажешь. Если бы я стал Вам что-то доказывать, это даже как-то смешно выглядело бы, неудобно;)

[Combat Zone]

chislo_avogadro в сообщении #1667829 писал(а):

Непонятно уже то, что при сравнении (**) и (*) сравниваются работа и мощность.

chislo_avogadro в сообщении #1667831 писал(а):

Да, наврал. Имелось виду, что сравниваются величины разной размерности, что уже было замечено
.

Там работа и там работа. Это один и тот же интеграл, в случае $\mathbf {F=F(r)}$. И размерность одна, не умеет работа измеряться тут в Джоулях, а тут нет. И вторая запись действительно лучше, поскольку инвариантна относительно параметризации пути.

[Cos(x-pi/2)]

chislo_avogadro, не побоюсь быть смешным ("дедушка старый, ему всё равно" (с), и загляните, пожалуйста, в ЛС), попробую пояснить:

Под знаком интеграла в $(*)$ стоит скалярное произведение вектора силы и вектора скорости, обозначенное cкобками с запятой между векторными сомножителями и умноженное на $dt,$ то есть: $(\boldsymbol{F},\boldsymbol{\dot r})dt.$

Под знаком интеграла в $(**)$ стоит скалярное произведение $(\boldsymbol{F},d\boldsymbol{r})$, в котором можно для сравнения по размерности с $(*)$ записать $d\boldsymbol{r}$ c учётом зависимости $\boldsymbol{r}$ от $t$ так: $d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{\dot r}dt.$ Так что: $(\boldsymbol{F},d\boldsymbol{r})=(\boldsymbol{F},\boldsymbol{\dot r})dt.$ Оба выражения имеют размерность энергии или, что то же самое, работы.

P.S.
Combat Zone уже пояснил.

[Combat Zone]

Да вроде ничего нового, уже drzewo и без меня с самого начала говорил.
Но может, если повторить, это убедительнее?

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Корень затруднения чисто синтаксический. В записи

drzewo в сообщении #1667642 писал(а):

$$A=\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F\big(t,\boldsymbol r(t),\boldsymbol{\dot r}(t)\big),\boldsymbol{\dot r}(t)\Big)dt.\qquad(*)$$

терм $(\alpha, \beta)$ используется рядом в двух разных смыслах: как аргументы функции нескольких переменных и как скалярное произведение. Я тоже не с первого взгляда сообразил. Не мне учить drzewo писать формулы, но все же осмелюсь заметить, что, возможно, стоило как-то графически выделить скалярное произведение.

[schoolboy]

Прошу у всех прощения, первоисточником (post1667655.html#p1667655) про размерности была моя глупость: много скобок, много значков, аберрация моего плохого зрения. Конечно, с размерностями все правильно, причем, действительно, формула $(*)$ в теоретической механике хорошо подходит для того, чтобы быть определением работы .

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1667706 писал(а):

Похоже мое сообщение осталось непонятым. А, ладно:)

Видимо, так и есть

drzewo в сообщении #1667706 писал(а):

От того, что Вы интеграл от дифференциальной формы будете считать по определению, его свойства не поменяются

В дифференциальных формах не копенгаген, к сожалению
Но раз уж Вы видите проблемы с (**) при подсчете "по определению" (через интегральные суммы), всё таки прошу разъяснить, в чем эти проблемы заключаются. С моей точки зрения (*) и (**) эквивалентны.

(*) мы можем переписать так, с учетом, что $\boldsymbol r(t),\boldsymbol{\dot r}(t)$ - функции от времени:

$$A=\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F\big(t,\boldsymbol r(t),\boldsymbol{\dot r}(t)\big),\boldsymbol{\dot r}(t)\Big)dt = \int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F\big(t) ,\boldsymbol{\dot r}(t)\Big)dt $$

Так как $\boldsymbol r(t)$ непрерывна и дифференцируема, то $L$ можно разбить на счетное количество участков $L_i$, где
а) либо $\boldsymbol{\dot r}(t) = 0$. Здесь работа равна нулю.
б) $\boldsymbol{\dot r}(t) \ne 0$ и (на данном $L_i$) можно ввести обратную функцию $t = t(\boldsymbol r)$

Тогда для каждого участка $L_i$ можно записать:

$$A_i=\int_{r_i_1}^{r_i_2}\Big(\boldsymbol F\big(\boldsymbol r),d \boldsymbol{r}\Big)$$

И с учетом аддитивности интеграла:

$$A=\int_{L}^{}\Big(\boldsymbol F\big(\boldsymbol r),d \boldsymbol{r}\Big)$$

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1667891 писал(а):

Но раз уж Вы видите проблемы с (**)

Нет проблем с (**) и с (*) нет проблем.
Проблема вот с этим:

EUgeneUS в сообщении #1667621 писал(а):

А есть работа (силы) $A = \int\limits_{L}^{} \mathbf{F} d \mathbf{s}$.

EUgeneUS в сообщении #1667891 писал(а):

С моей точки зрения (*) и (**) эквивалентны.

Они эквивалентны только если $\boldsymbol F=\boldsymbol F(\boldsymbol r)$!

Объясню почему. Начнем со случая $\boldsymbol F=\boldsymbol F(\boldsymbol r)$.

Предположим, у наc есть кривая $L$ заданная параметрически: $\boldsymbol r=\boldsymbol r(s)$. Это кривая -- геометрическое место точек, ее можно параметризовать иначе: $\boldsymbol r=\boldsymbol r_*(t)$ -- будет та же самая кривая, разумеется параметры связаны: $s=s(t),\quad t=t(s),\quad \boldsymbol r(s(t))=\boldsymbol r_*(t).$.
А можно эту кривую задать как пересечение поверхностей. Важно понимать, что кривой наплевать на то как Вы ее зададите.
Криволинейный интеграл определяется следующим образом:

$$\int_L(\boldsymbol F,d\boldsymbol r):=\int_{s_1}^{s_2}\Big(\boldsymbol F(\boldsymbol r(s)),\frac{d\boldsymbol r(s)}{ds}\Big)ds.$$

Но это определение нуждается в проверке корректности: раз мы говорим, что это интеграл по кривой, а кривая не зависит от того, как мы ее параметризуем, то и интеграл не должен зависеть от того, как мы параметризуем кривую. Т.е. должно быть:

$$\int_{s_1}^{s_2}\Big(\boldsymbol F(\boldsymbol r(s)),\frac{d\boldsymbol r(s)}{ds}\Big)ds=\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F(\boldsymbol r_*(t)),\frac{d\boldsymbol r_*(t)}{dt}\Big)dt.$$

Но так и есть. По теореме о замене переменной в определенном интеграле:

$$\int_{s_1}^{s_2}\Big(\boldsymbol F(\boldsymbol r(s)),\frac{d\boldsymbol r(s)}{ds}\Big)ds= \int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F(\boldsymbol r(s(t))),\frac{d\boldsymbol r(s(t))}{ds}\Big)\frac{ds}{dt}dt=\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F(\boldsymbol r_*(t)),\frac{d\boldsymbol r_*(t)}{dt}\Big)dt,$$

действительно

$$\frac{d\boldsymbol r(s(t))}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{d\boldsymbol r_*(t)}{dt}.$$

Теперь для простоты будем считать, что $\boldsymbol F=\boldsymbol F(t,\boldsymbol r)$.
Вы по-прежнему пишите
$\int_L(\boldsymbol F,d\boldsymbol r)$, подразумевая, что

$$\int_L(\boldsymbol F,d\boldsymbol r):= \int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F(t,\boldsymbol r_*(t)),\frac{d}{dt}\boldsymbol{ r_*}(t)\Big)dt.$$

Но это не интеграл по кривой, этот интеграл зависит от параметризации:

$$\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F(t,\boldsymbol r_*(t)),\frac{d}{dt}\boldsymbol{ r_*}(t)\Big)dt\ne \int_{s_1}^{s_2}\Big(\boldsymbol F(s,\boldsymbol r(s)),\frac{d}{ds}\boldsymbol{ r}(s)\Big)ds$$

В данном случае запись $\int_L(\boldsymbol F,d\boldsymbol r)$ некорректна!

-- 31.12.2024, 11:42 --

EUgeneUS в сообщении #1667891 писал(а):

) $\boldsymbol{\dot r}(t) \ne 0$ и (на данном $L_i$) можно ввести обратную функцию $t = t(\boldsymbol r)$

нельзя, перечитайте теорему об обратной функции

[realeugene]

drzewo в сообщении #1667906 писал(а):

Вы по-прежнему пишите
$\int_L(\boldsymbol F,d\boldsymbol r)$, подразумевая, что

$$\int_L(\boldsymbol F,d\boldsymbol r):= \int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F(t,\boldsymbol r_*(t)),\frac{d}{dt}\boldsymbol{ r_*}(t)\Big)dt.$$

С какой стати сила стала зависеть от времени независимо от положения на пути? Это нефизично. Хотите так писать - пририсуйте к силе свою звёздочку.

[Amw]

realeugene в сообщении #1667913 писал(а):

С какой стати сила стала зависеть от времени независимо от положения на пути? Это нефизично.

Почему нефизично? Сидит зеленый человечек и нажимает на педаль двигателя ( обеспечивающую эту силу) как ему заблагорассудится. А у ракеты есть ещё много разных двигателей, обеспечивающих ей произвольную траекторию. Но мы то хотим посчитать работу одного двигателя?

[realeugene]

Amw в сообщении #1667915 писал(а):

Почему нефизично?

Потому что так можно ещё положение звёзд на небе добавить в параметризацию, и заявить, что опять всё ломается. Когда считается интеграл силы вдоль пути, сила должна зависеть только от точек пути, или получится какая-то другая физическая задача.

[EUgeneUS]

realeugene
Понимаю Ваше возражение - у меня и самого примерно такие же. Но аргумент к "нефизичности" мимо.

Так как претензии к записи работы как интегралу по траектории (по кривой) в виде:

drzewo в сообщении #1667906 писал(а):

В данном случае запись $\int_L(\boldsymbol F,d\boldsymbol r)$ некорректна!

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1667918 писал(а):

Так как претензии к записи работы как интегралу по траектории (по кривой) в виде:

Это запись физической модели - расчёта работы силы вдоль траектории. В этой записи исходно нет времени. Фантазии про добавление в параметризацию времени некорректны, если они ломают физику.

-- 31.12.2024, 12:18 --

Сделите за руками:

1. Собеседник говорит, что такая запись означает интеграл по времени.
2. Собеседник добавляет в силу явную дополнительную зависимость от времени.
3. Собеседник говорит, что можно произвольно заменять параметр времени в траектории, при этом параметр времени в силе он оставляет прежним.
4. Собеседник закономерно получает другое значение интеграла.
5. Собеседник обвиняет в этом исходную запись, а не свои слишком смелые её преобразования.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1667906 писал(а):

разумеется параметры связаны: $s=s(t),\quad t=t(s),\quad \boldsymbol r(s(t))=\boldsymbol r_*(t).$

Раз уж заявили о существовании $t=t(s)$, то вопросы про существовании обратной функции вынесем за скобки.

drzewo в сообщении #1667906 писал(а):

Но это не интеграл по кривой, этот интеграл зависит от параметризации:

$$\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F(t,\boldsymbol r_*(t)),\frac{d}{dt}\boldsymbol{ r_*}(t)\Big)dt\ne \int_{s_1}^{s_2}\Big(\boldsymbol F(s,\boldsymbol r(s)),\frac{d}{ds}\boldsymbol{ r}(s)\Big)ds$$

Спасибо за разъяснение. Но извините, продолжаю не понимать, почему в этом случае теорема о замена переменной в определенном интеграле перестаёт работать, и интегралы справа и слева оказываются не равны. Может на (контр)примерах будет понятнее. Можете привести пример, когда возникает неравенство?

-- 31.12.2024, 12:36 --

realeugene в сообщении #1667919 писал(а):

3. Собеседник говорит, что можно произвольно заменять параметр времени в траектории, при этом параметр времени в силе он оставляет прежним.

Почему же оставляет прежним? Там тоже происходит замена $t \to t(s) \to s$.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1667922 писал(а):

Почему же оставляет прежним? Там тоже происходит замена $t \to t(s) \to s$.

Но у значка силы при такой замене не появляется звёздочка.