Но, помнится, в какой-то статье Бурбаки делили все математические структуры на три типа
Откопал-таки. Это была статья Бурбаки "Архитектура математики".
Кратное содержание:
1. Удовлетвориться тем, что разные области математики связаны между собой общим методом (дедуктивной логикой), не есть хорошо. Скажем, у физики и биологии тоже общий метод (экспериментальный), но мы же не говорим, что это одна и та же наука.
2. Бурбаки называют три типа основных (они же порождающие) структур: алгебраические, топологические и порядка.
3. Интуицию математика, который работает со структурой, подкармливает образ того объекта, из которого структура выделена. Скажем, про элементы абстрактного евклидова пространства со скалярным произведением нуль говорят, что они «перпендикулярны».
4. Виды математических дисциплин:
а) теория порождающих структур как она есть (теория произвольных топологических пространств, произвольных отношений порядка и теории не вложенных друг друга алгебраических структур).
б) подструктуры порождающих структур, полученные введением дополнительных аксиом (абелевы группы, хаусдорфовы пространства, линейные порядки и т.д.)
в) сложные структуры: задано более одной порождающей структуры, и разные порождающие структуры связаны между собой дополнительными аксиомами. Это, скажем, топологические группы.
г) собственно частные теории, где речь идет об объектах, не все свойства которых задаются заданными структурами. Это анализ, дифгем, алгем, теория чисел и т.д.
Как отмечают сами авторы, в жизни все несколько сложнее, т.к. частная теория может быть использована для построения абстрактных структур. Например, нельзя определить линейно связное пространство, не обратившись к отрезку [0, 1].
год и получил красивую картинку:
