shwedka писал(а):
…не пойдем дальше, пока на будет приведено в порядок опубликованное
yk2ru писал(а):
… Для показателя два я не стал бы использовать индекс…
Считая, что учёл все замечания, за исключением слова «постоянны», отправляю §1,§2 и §3, с добавлением 6-ти строчек. Прошу быть внимательными, т.к. во все §§ внесены коррективы.
В начале §1 вместо: «Для каждого элемента из множества S определяем число
![$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/6/8764f3e2451ea4352ca481563e312bbf82.png)
(2а)», написал: «Определим число
![$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/6/8764f3e2451ea4352ca481563e312bbf82.png)
(2а)», ввёл множества: «БР, ПР, БПР» и пр.
Много было правок, поэтому не убеждён, что нет опечаток.
Надеюсь, что Вы мне позволите продолжить док-во.
Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано:
![$Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $ $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/9/7295ab9631d063bbe486d2fa971daa5582.png)
, где
![$ X, Y, 2 \le n $ $ X, Y, 2 \le n $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/c/97c2c7e9c9d8d8c662d688fd69ded00682.png)
– натуральные числа. (1)
![$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/6/8764f3e2451ea4352ca481563e312bbf82.png)
(1a),
![$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/1/011e0ae01cea487088e5713f814bb82c82.png)
(1b), Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел
![$ X, Y, Z_3 $ $ X, Y, Z_3 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/d/9ddab4b96343d146b5cb0ed08ee5fa6282.png)
,
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
![$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$ $ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/6/4669d249f44837172fd02194021d986b82.png)
(2) .
Определим число
![$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/6/8764f3e2451ea4352ca481563e312bbf82.png)
(2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
В. Бессистемное Множество (БСМ)
![$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z \in\ J, (Y \le X)\} $ $\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z \in\ J, (Y \le X)\} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/9/2d9243a0497a2069ea8b50cb679edd8c82.png)
.
Oпределяем число
![$ M=(Z-X) $ $ M=(Z-X) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/4/1b47ee41c0d5f0497fc8e73d59cb46a182.png)
.
Отсюда:
![$ Z=(M+X) $ $ Z=(M+X) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/b/f4bac7c389de8fe416fc2efc2a6352df82.png)
. (3a)
Из (2a) и (3a):
![$ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/1/1517a47404fce7875a69ce011e1dd21082.png)
. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень
![$ 2 $ $ 2 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/2/b52fbbaad3234af1a994ef482b40a08882.png)
, получаем уравнение:
![$ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ $ M^2+2*X*M-Y^2=0 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/1/f310218b8f3360e7eb1bc4dd930548fc82.png)
(5a)
Если пара
![$ (X, Y) $ $ (X, Y) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/b/15bbea69f716be40fcef0b329dbbd32182.png)
принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь целое решение
![$ M $ $ M $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/9/2f9aa7288ba4ce360cf5a17caef9c92982.png)
, которое должно быть делителем числа
![$ Y^2 $ $ Y^2 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/4/9342f604431906ba5e94152ceb74910382.png)
. Запишем его в виде
![$ M=Y/k $ $ M=Y/k $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/1/3d103c83fa4dff7dd8d2731dbe914c2f82.png)
, где
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
- рациональное число.
Если пара
![$ (X, Y) $ $ (X, Y) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/b/15bbea69f716be40fcef0b329dbbd32182.png)
принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень
![$ M $ $ M $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/9/2f9aa7288ba4ce360cf5a17caef9c92982.png)
уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде
![$ M=Y/k$ $ M=Y/k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/6/b56a6eb3045c956ec9e40d7d2818b46282.png)
, но число
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
уже иррационально.
Далее, мы рассмотрим уравнение
![$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ $Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/e/a6e259f020f7a13982d4041399687f7382.png)
(2b). Положим
![$ M_3=(Z_3-X) $ $ M_3=(Z_3-X) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/4/f24cd08e4f7f829def3bb7e7ffe6a00782.png)
. После возведения в куб, получаем:
![$ M_3^3+3*X*M_3^2$+3*X^2*M_3-Y^3=0$ $ M_3^3+3*X*M_3^2$+3*X^2*M_3-Y^3=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/1/c516bf6c1db753ed648946389fbec66d82.png)
(5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с целыми коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются целыми. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть
![$ M_3 $ $ M_3 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/4/354b7f2bc2c3ef609e4bbe80dea5835182.png)
должно быть делителем числа
![$ Y^3 $ $ Y^3 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/b/d3b02e0f506509e57cf9807c987c1a1682.png)
. Если, действительно, такой целый корень
![$ M_3 $ $ M_3 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/4/354b7f2bc2c3ef609e4bbe80dea5835182.png)
существует, то обозначим
![$ M_3=Y/k_3 $ $ M_3=Y/k_3 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/c/0cccd4e1c2d18658e04c4658ba2a117482.png)
, где
![$ k_3$ $ k_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/6/6161e05793dbe26ac1443e67887e84bb82.png)
некоторое рациональное число.
Примечания:
В множестве S:
1.
![$ 0<M< Y $ $ 0<M< Y $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/7/7a7fc09e9e6bb8b702a8d098e673d1db82.png)
,
![$ 0<M_3< Y $ $ 0<M_3< Y $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/2/252c9f597f2130bbfa6ce0e5d375fa6982.png)
.
2. Для выполнения условия
![$ Y \le X $ $ Y \le X $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/9/ed9c273da5f28792c3d496d5817cd35d82.png)
,
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
должeн быть:
![$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $ $ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/e/e0ee464fe9f690ef7509f164beadcb9a82.png)
.
3. Для выполнения условия
![$ Y \le X $ $ Y \le X $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/9/ed9c273da5f28792c3d496d5817cd35d82.png)
,
![$ k_3 $ $ k_3 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/1/ad12852e1beaefaedf910b6367a4064082.png)
должeн быть:
![$ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $ $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/7/0e7777404f87c2209a8847137ead5b8f82.png)
.
§2 Для
![$ (X, Y)\in\ S $ $ (X, Y)\in\ S $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/4/fc445ffcb6e7d81743c2a3e1ca2b067d82.png)
, определим:
![$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $ $ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/c/3fcf75a58f22f84aa5dbd2a35e3ffda382.png)
,
![$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $ $ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/3/a13aa92b89757833844b8f6395269ace82.png)
, (2.1)
где
![$ k $ $ k $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/7/3175179aa8e7842fc15eb1be879960cc82.png)
определено в §1.
Будем называть пару
![$ x, y $ $ x, y $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/d/a9d3e184c12a39f96c569ea7ed40a92d82.png)
базой для пары
![$ X, Y $ $ X, Y $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/6/d5620aca702fa1ad98b39cb6c93b3a2682.png)
. В множестве S:
1.
![$ y \le x $ $ y \le x $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/9/8c9f10bb261151ccb0c84a367060ef0282.png)
.
2.
![$ 0<m_3< y/2 $ $ 0<m_3< y/2 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/a/0ead2ab66687b0e4d98a2031d27b823882.png)
.
3. Для выполнения условия
![$ y \le x $ $ y \le x $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/3/ff35ac99098d2c69c526d5f40f9a9dc782.png)
,
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
должeн быть:
![$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $ $ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/e/e0ee464fe9f690ef7509f164beadcb9a82.png)
.
4. Для выполнения условия
![$ y \le x $ $ y \le x $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/3/ff35ac99098d2c69c526d5f40f9a9dc782.png)
,
должeн быть:
![$ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $ $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/7/0e7777404f87c2209a8847137ead5b8f82.png)
.
Все пары с одним и тем же
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и
![$ k $ $ k $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/7/3175179aa8e7842fc15eb1be879960cc82.png)
и
![$ k_3 $ $ k_3 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/1/ad12852e1beaefaedf910b6367a4064082.png)
остаются базовыми.
При заданном
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
, множество элементов, составленных из базовых пар
![$ (x, y) $ $ (x, y) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/9/c195cd8912f414ba9af73b2c2aafd2ed82.png)
, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через
![$ E(k) $ $ E(k) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/a/40a7842bbf81fae41b362222003671d082.png)
, множество
![$ E(k)\{(x, y) | x, y, z, z_3,…,z_n \} $ $ E(k)\{(x, y) | x, y, z, z_3,…,z_n \} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/4/234c18970c94f788da5637c609b9fdc182.png)
.
Элементами БР будем называть:
![$z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/8/bc833213fb7b5b661754a2226d38b95882.png)
,
![$z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/6/01663e5eff324a6529c7673dd39c390882.png)
,…,
![$z_n=$\sqrt[n]{x^n+y^n}$ $ $z_n=$\sqrt[n]{x^n+y^n}$ $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/4/d441d4ec0b3de226baed4689ce961c4082.png)
.
При заданных
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
и
![$ d $ $ d $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/9/26989973be70aab1e939fdccf30b5e1f82.png)
, множество элементов, составленных из подобных пар
![$ (X, Y) $ $ (X, Y) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/b/15bbea69f716be40fcef0b329dbbd32182.png)
, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через
![$ L(k, d) $ $ L(k, d) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/1/a11464176c7985d2a66aceb41f27610082.png)
, множество
![$ L(k)\{(X, Y) | X, Y, Z, Z_3,…, Z_n \} $ $ L(k)\{(X, Y) | X, Y, Z, Z_3,…, Z_n \} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/f/21f35c5c9a66f4c159daeb740468c00e82.png)
.
Элементами ПР будем называть:
![$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/6/8764f3e2451ea4352ca481563e312bbf82.png)
,
![$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/1/011e0ae01cea487088e5713f814bb82c82.png)
,…,
![$Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $ $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/9/7295ab9631d063bbe486d2fa971daa5582.png)
.
Подмножество
![$ E(k) $ $ E(k) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/a/40a7842bbf81fae41b362222003671d082.png)
и подмножество
![$ L(k, d) $ $ L(k, d) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/1/a11464176c7985d2a66aceb41f27610082.png)
– это
подмножества множества, которое будем называть «блок подобных рядов» (БПР)
Отметим, что число
![$ m=z-x $ $ m=z-x $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/a/eda14be3fe01f311031c091f3c2991b682.png)
равно 2 для любого
![$ k $ $ k $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/0513e5ea3aca37742a6d9d75796a34c982.png)
, то есть для любой базы.
![$ X=x*d $ $ X=x*d $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/f/2efcd5ffe174aded5e6fdcc77c5643fa82.png)
,
![$ Y=y*d $ $ Y=y*d $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/3/ec3483465f9da4701901e22d8042be1e82.png)
,
![$ M=m*d $ $ M=m*d $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/2/4a2869e3fe58e61150bbd856fb1c291a82.png)
,
![$ M_3=m_3*d $ $ M_3=m_3*d $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/9668c4d528712af144537ccf5d1ad14782.png)
,
![$ Z=z*d $ $ Z=z*d $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/0/9c0837b05aaed5b93a02344f9f30360a82.png)
,
![$ Z_3=z_3*d $ $ Z_3=z_3*d $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/3/3d39f440209475b4c6946880ffb43dd882.png)
,
![$ M=Z-X $ $ M=Z-X $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/9/e79f628d71e6a20f6a42a78af2fc814782.png)
,
![$ M_3=Z_3-X $ $ M_3=Z_3-X $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/f/c1f62577e2b7aa9eb50dd1c861e9f5af82.png)
,
![$z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ $z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/1/5c10c2efa7cb99f042b4f9aaafd61d7382.png)
,
![$ m_3=(z_3-x) $ $ m_3=(z_3-x) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9a66b3a9f0d4af039883b601c5fab4a82.png)
.
![$ d $ $ d $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/9/26989973be70aab1e939fdccf30b5e1f82.png)
– действительное число.
§3. Рассмотрим подобную пару (Y=X) .
Чтобы отличать буквенные символы при
![$ Y=X $ $ Y=X $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/051d87d96f9bdf44f85163ae5ca07f2682.png)
, добавим к принятым символам, для пары
![$ Y=X $ $ Y=X $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/1/051d87d96f9bdf44f85163ae5ca07f2682.png)
, индекс
![$ $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/8/ae8a32355d28fc0b2ff893cbdba987b382.png)
. При
![$ Y^==X^= $ $ Y^==X^= $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/2/6427605f3eeaf2b7288203f7cfbb7b2782.png)
, все пары, независимо рациональные они или иррациональные, являются подобными парами. Bсе вместе они образуют только один БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все эти подобные пары с одним
![$ k^= $ $ k^= $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/3/863ebcf5b291a51d4c67dca1f24015c082.png)
, то есть с одной и той же базой. Это
![$ k^= =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $ $ k^= =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/9/9f92134642be5b20ae1d5f32becfbd3382.png)
.
Базовая пара этого БЛОКа:
![$ x^== y^== k^2^=-1=2* k^==4.828… $ $ x^== y^== k^2^=-1=2* k^==4.828… $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/3/d4349ebbf66c4b3eff8c51bf4b91a1d582.png)
– иррациональные числа. В базовом ряду:
![$ m^==2 $ $ m^==2 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/f/77f0c4fe2ef9f091bca3bf634a7a4fca82.png)
,
![$ m_3^==1.255… $ $ m_3^==1.255… $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c72df6c951669545f2b3496845bfcd82.png)
– иррациональнoе числo,
![$ z^==m^=+x^==6.828… $ $ z^==m^=+x^==6.828… $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/6/be60008b919b8ea3fabef99db5594c3482.png)
– иррациональнoе числo,
![$ z_3^==m_3^=+x^==6.083… $ $ z_3^==m_3^=+x^==6.083… $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/9/719e3f1a3de7183c22e75d63d220899782.png)
– иррациональнoе числo,
![$ k_3^==Y/m_3^= = 3.84... $ $ k_3^==Y/m_3^= = 3.84... $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/0/b90ead37246965de54115c7bfc5fbb6682.png)
.
![$ (m^==2)/(m_3^==1.255…)=1.5936… $ $ (m^==2)/(m_3^==1.255…)=1.5936… $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb9f5551dabb1a3a9e21207135f205c882.png)
– иррациональнoе числo.
Примечание: Все цифровые значения, указанные выше, до §3, постоянны.
В БР, где d=1, кроме
![$ m^==2 $ $ m^==2 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/f/77f0c4fe2ef9f091bca3bf634a7a4fca82.png)
, есть ещё одно натуральное число. Оно равно
![$ 1 $ $ 1 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/8/57839dff3317ee4f9c8f18baf8d1e7e282.png)
. Обозначим его
![$ h^= $ $ h^= $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/b/efb8d6235e4699daf823d34f4f95985482.png)
.
Тогда:
![$ h^==1 $ $ h^==1 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/1/971de56fcfd74f13c48a64800e05495882.png)
. Здесь,
Для произвольного
![$ d $ $ d $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/9/26989973be70aab1e939fdccf30b5e1f82.png)
обозначим через
![$ H^= $ $ H^= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d81922ca0c0f089f72ff89fb6e59cd682.png)
наибольшее натуральное число, меньшее
![$ d*m^= $ $ d*m^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/b/f5b5a15ed3c0f872558b949eab34412582.png)
. Если
![$ H^= $ $ H^= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d81922ca0c0f089f72ff89fb6e59cd682.png)
, при этом, будет равно натуральному числу
![$ M^= $ $ M^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/0/bb0e84aaa9ef166ae91d75a80554dd6582.png)
, предыдущего ПР, то значит, что в этом ПР нет
![$ H^= $ $ H^= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d81922ca0c0f089f72ff89fb6e59cd682.png)
.
В ПР, где d=2,
![$ Z^= =(m^= +x^=)+(m^= +x^=) $ $ Z^= =(m^= +x^=)+(m^= +x^=) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/a/35a7e91a0ac3f2839792109c3b57d38982.png)
. Здесь:
![$X^==2*x^==2*4.828…$ $X^==2*x^==2*4.828…$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/9/139a29d1c9ef395b695f64457b341ccd82.png)
,
![$ M^= =m^=*d=4 $ $ M^= =m^=*d=4 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/e/4ce64442f9bc34e2b02a0aa0b6491b5e82.png)
,
![$ H^==3 $ $ H^==3 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/a/4aa4db6c2e71dcbf7aa343d9bd0e1c6d82.png)
,
![$ M_3^= =m_3^= *2=2.51… $ $ M_3^= =m_3^= *2=2.51… $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/8/29845eaea982cc47f507f54bddcc87cf82.png)
.
![$ Z_3^= =X+m_3^= $ $ Z_3^= =X+m_3^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/1/361db0a16a5f6b6d90ebc179c2d1d59582.png)
. Уже при d=2,
![$ M_3^==2.51…$ $ M_3^==2.51…$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/c/c9c164b7d62625a5b51dd8fd82dca39c82.png)
меньше
![$ H^= $ $ H^= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d81922ca0c0f089f72ff89fb6e59cd682.png)
. Здесь, между числами:
![$ M^= =4 $ $ M^= =4 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/d/31dfb82c0f3c9b168e990f0de0773c5482.png)
и
![$ M_3^= =2.51… $ $ M_3^= =2.51… $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/1/751c105d88467cdf81f2d9c083a6296b82.png)
имеется одно натуральное число -
![$ H^==3 $ $ H^==3 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/4/704ba0a0162959d96c32dc05f8f691fc82.png)
.
В сравнении с ПР, где
![$ d=2 $ $ d=2 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/b/30ba107e739ca466c038391eb6e40c0082.png)
, в ПР, где d=3:
![$ M^= $ $ M^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/0/bb0e84aaa9ef166ae91d75a80554dd6582.png)
увеличилось на
![$ 2 $ $ 2 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/2/b52fbbaad3234af1a994ef482b40a08882.png)
и стало равным:
![$ M^= =6 $ $ M^= =6 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/a/57a76567c84286678aebc115759fa9b582.png)
.
![$ H^= $ $ H^= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d81922ca0c0f089f72ff89fb6e59cd682.png)
увеличилось на
![$ 2 $ $ 2 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/2/b52fbbaad3234af1a994ef482b40a08882.png)
и стало равным:
![$ H^= =5 $ $ H^= =5 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/8/568457935e079bbed7e066655aabdc6b82.png)
.
![$ M_3^= $ $ M_3^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/9/769a850e143629620500f41e4e180be782.png)
увеличилось на
![$ 1.55… $ $ 1.55… $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/a/64af3dba311c2b1b523d3b2d0013fb3882.png)
и стало равным:
![$ M_3^= =3.765… $ $ M_3^= =3.765… $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/3/493551f89a566cc2a308c1ae1e68864382.png)
.
При этом, разница между
![$ M^= $ $ M^= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/e/56e5250113d4f6022c47b34b184a05ab82.png)
и
![$ M_3^= $ $ M_3^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/9/769a850e143629620500f41e4e180be782.png)
, и между
![$ H^= $ $ H^= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d81922ca0c0f089f72ff89fb6e59cd682.png)
и
![$ M_3^= $ $ M_3^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/9/769a850e143629620500f41e4e180be782.png)
, по сравнению с предыдущей парой, увеличилась.
С увеличением
![$ d $ $ d $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/9/26989973be70aab1e939fdccf30b5e1f82.png)
, разница между
![$ M^= $ $ M^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/0/bb0e84aaa9ef166ae91d75a80554dd6582.png)
и
![$ M_3^= $ $ M_3^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/9/769a850e143629620500f41e4e180be782.png)
, и разница между
![$ H^= $ $ H^= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d81922ca0c0f089f72ff89fb6e59cd682.png)
и
![$ M_3^= $ $ M_3^= $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/9/769a850e143629620500f41e4e180be782.png)
будет увеличиваться.
Предположим, что в следующем ПР, где
![$ 3<d<4 $ $ 3<d<4 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/1/621feb090370fa881124165a0e2932fe82.png)
, будет подобная пара, в которой
![$ Y^==X^= $ $ Y^==X^= $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/2/6427605f3eeaf2b7288203f7cfbb7b2782.png)
- натуральные числa. В этом случае:
![$ 3<d<4 $ $ 3<d<4 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/1/621feb090370fa881124165a0e2932fe82.png)
будет иррациональным числом.
![$ 6<M^=<8 $ $ 6<M^=<8 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/1/9917f3e7378f9594cddf5116b9a79b2d82.png)
- иррациональным числом,
![$ 6<H^= < M^= $ $ 6<H^= < M^= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/9/d4970bc3d951a1c8055500607718daf882.png)
,
![$ 3,765...<M^=_3<5.02… $ $ 3,765...<M^=_3<5.02… $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/d/f3d2b02ac34481e88513844ff77e3cca82.png)
, что даже меньше числа
![$ M^= = 6 $ $ M^= = 6 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/4/ca4d89f8a147ede1b302e6a96beb89de82.png)
, предыдущего ПР. Т. е.
![$ M^=_3 $ $ M^=_3 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/6/7b62ae4f70690dd6e2a35b45a7cd920482.png)
, и в этом случае, не будет рациональным числом ПР, где
![$ 3<d<4 $ $ 3<d<4 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/1/621feb090370fa881124165a0e2932fe82.png)
.