Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[yk2ru]

Семен писал(а):

yk2ru писал(а):

Все пары из блока подобных пар имеют одну базу, которая зависит от $ k_2 $. Каждому значению $ k_2 $ сопоставим свой блок подобных пар. Говорить, что $ k_2 $ - "постоянное число для рассматриваемого БЛОКа ПОДОБНЫХ пар" излишне.
Слова "постоянные числа" и "постоянно" нужно убирать из текста.

Вы правы. Но слова «постоянные числа" и "постоянно" предлагается в §3 не убирать из текста, а заменить на: «зафиксированнoе число», «зафиксированные числа», «зафиксировано». Дело в том, что $ k_2_c =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $ – особенное число. Оно – объективно.

На мой взгляд это также излишне. Достаточно просто сказать, что для такого вот случая блока подобных пар, в которых $X=Y$, число $k_2_c = 2.414… $. И всё. Вместо префикса "с" я посоветовал бы использовать знак "=" сверху, как советовала раньше shwedka. Это и означало бы случай $X=Y$.

[arqady]

То, что происходит в этой ветке - настоящее виртуальное потрясающее зрелище!
Похожие вещи происходят в реальной жизни, когда некоторые женщины паркуют машину. Мог бы конкретизировать ещё, но боюсь помешать.
Семен, shwedka, Brukvalub, yk2ru, пожалуйста, не останавливайтесь!

[shwedka]

Семен в сообщении #165031 писал(а):

Я хочу в начале док-ва, после слова «Дано:» добавить: $Z_n=\sqrt[n]{X^n+Y^n}$, где $ X, Y, n $– натуральные числа.

Попробуйте, но не злоупотребляйте. По-прежнему, доказательство Вы проводите для $n=3$.
Пример злоупотребления:

Семен в сообщении #147068 писал(а):

Дополнительно к ранее сказанному: $ k_2 $ является одним из многих $ k_n $. Если $ k_n $ - рац. число, то $ k_2 $ тоже должно быть рац. числом.

Семен в сообщении #165031 писал(а):

множество элементов, составленных из базовых пар $ (x, y) $

С этим можно согласиться только после слов:

Элементами, составленными из базовых пар будем называть....

Семен в сообщении #165031 писал(а):

В §3 не обозначать $ (x, y), (X, Y) $ c индексом «с», что не имеет особого значения для §3. Зато, в следующем параграфе, не будет необходимости всё время оговариваться, что эти $ (x_c, X_c) $ те же числа, что и
$ (x, X ) $

Возражаю. Отсутствие разницы в обозначениях ведет к путанице.

Я своих студентов и аспирантов учу: если написанное можно понять неправильно, значит, написано плохо. Математический текст должен быть написан так, чтобы неправильно понять его было невозможно.
А до следующего параграфа еще надо дожить.

[yk2ru]

Если кратко о том, что пока из доказательства приёмлемо:
Даны два уравнения, которые отличаются друг от друга лишь показателем степени, соответственно два и три.
Определено множество $S$ пар натуральных чисел $(X, Y)$, которое определённым образом можно разделить на системное и бессистемное множество.
Фактически можно определить другое множество Т (обозначу так) пар чисел $(k, d)$. Для показателя два я не стал бы использовать индекс, только для показателей три и выше ($k, k_3, k_4 ...$).
Любую пару $(X, Y)$ из множества $S$ можно получить из пары $(k, d)$ множества Т при помощи определённого(ых) преобразования/формул.
Если взять определённое значение $k$, то все полученные пары $(X, Y)$ образуют множество, которое автором названо "блоком подобных пар", т.е. каждому $k$ сопоставим свой блок подобных пар.
Если взять значение $d$ равным единице, то полученная пара чисел $(X, Y)$ называется базовой для всего блока подобных пар и обозначается $(x, y)$.

[shwedka]

yk2ru
Я с этим согласна. Но автор пытается использовать дальше понятия, которые не хочет определять. Это не годится.
Семен, не пойдем дальше, пока на будет приведено в порядок опубликованное.

[Семен]

shwedka писал(а):

…не пойдем дальше, пока на будет приведено в порядок опубликованное

yk2ru писал(а):

… Для показателя два я не стал бы использовать индекс…

Считая, что учёл все замечания, за исключением слова «постоянны», отправляю §1,§2 и §3, с добавлением 6-ти строчек. Прошу быть внимательными, т.к. во все §§ внесены коррективы.
В начале §1 вместо: «Для каждого элемента из множества S определяем число
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)», написал: «Определим число $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)», ввёл множества: «БР, ПР, БПР» и пр.
Много было правок, поэтому не убеждён, что нет опечаток.
Надеюсь, что Вы мне позволите продолжить док-во.


Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано:
$Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, где $ X, Y, 2 \le n $ – натуральные числа. (1)
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b), Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3 $,
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$ (2) .
Определим число $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z \in\ N, (Y <X \} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z \in\ J, (Y \le X)\} $.
Oпределяем число $ M=(Z-X) $.
Отсюда: $ Z=(M+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ (5a)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь целое решение $ M $, которое должно быть делителем числа
$ Y^2 $. Запишем его в виде $ M=Y/k $, где $ k $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень $ M $ уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ M=Y/k$, но число $ k $ уже иррационально.

Далее, мы рассмотрим уравнение
$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2b). Положим $ M_3=(Z_3-X) $. После возведения в куб, получаем:
$ M_3^3+3*X*M_3^2$+3*X^2*M_3-Y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с целыми коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются целыми. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ M_3 $ должно быть делителем числа $ Y^3 $. Если, действительно, такой целый корень $ M_3 $ существует, то обозначим
$ M_3=Y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
Примечания:
В множестве S:
1. $ 0<M< Y $, $ 0<M_3< Y $.
2. Для выполнения условия $ Y \le X $, $ k $ должeн быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $.
3. Для выполнения условия $ Y \le X $, $ k_3 $ должeн быть:
$ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.

§2 Для $ (X, Y)\in\ S $, определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $,
$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $, (2.1)
где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, y $ базой для пары $ X, Y $. В множестве S:
1. $ y \le x $.
2. $ 0<m_3< y/2 $.
3. Для выполнения условия $ y \le x $, $ k $ должeн быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $.
4. Для выполнения условия $ y \le x $, $ k_3 $
должeн быть:
$ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.
Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и $ k $ и $ k_3 $ остаются базовыми.
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовых пар $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через $ E(k) $, множество $ E(k)\{(x, y) | x, y, z, z_3,…,z_n \} $.
Элементами БР будем называть: $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $, $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $,…, $z_n=$\sqrt[n]{x^n+y^n}$ $.
При заданных $ k $ и $ d $, множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $, множество $ L(k)\{(X, Y) | X, Y, Z, Z_3,…, Z_n \} $.
Элементами ПР будем называть: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $, $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $,…, $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это
подмножества множества, которое будем называть «блок подобных рядов» (БПР)
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_3=m_3*d $,$ Z=z*d $, $ Z_3=z_3*d $,
$ M=Z-X $, $ M_3=Z_3-X $, $z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $, $ m_3=(z_3-x) $. $ d $ – действительное число.


§3. Рассмотрим подобную пару (Y=X) .
Чтобы отличать буквенные символы при $ Y=X $, добавим к принятым символам, для пары $ Y=X $, индекс $ . При $ Y^==X^= $, все пары, независимо рациональные они или иррациональные, являются подобными парами. Bсе вместе они образуют только один БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все эти подобные пары с одним
$ k^= $, то есть с одной и той же базой. Это $ k^= =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $.
Базовая пара этого БЛОКа: $ x^== y^== k^2^=-1=2* k^==4.828… $ – иррациональные числа. В базовом ряду: $ m^==2 $, $ m_3^==1.255… $ – иррациональнoе числo, $ z^==m^=+x^==6.828… $ – иррациональнoе числo, $ z_3^==m_3^=+x^==6.083… $ – иррациональнoе числo, $ k_3^==Y/m_3^= = 3.84... $.
$ (m^==2)/(m_3^==1.255…)=1.5936… $ – иррациональнoе числo.
Примечание: Все цифровые значения, указанные выше, до §3, постоянны.
В БР, где d=1, кроме $ m^==2 $, есть ещё одно натуральное число. Оно равно $ 1 $. Обозначим его $ h^= $.
Тогда: $ h^==1 $. Здесь, $ m_3^= > h^= $
Для произвольного $ d $ обозначим через $ H^= $ наибольшее натуральное число, меньшее $ d*m^= $. Если $ H^= $, при этом, будет равно натуральному числу $ M^= $, предыдущего ПР, то значит, что в этом ПР нет $ H^= $.
В ПР, где d=2, $ Z^= =(m^= +x^=)+(m^= +x^=) $. Здесь: $X^==2*x^==2*4.828…$, $ M^= =m^=*d=4 $, $ H^==3 $, $ M_3^= =m_3^= *2=2.51… $. $ Z_3^= =X+m_3^= $. Уже при d=2, $ M_3^==2.51…$ меньше $ H^= $. Здесь, между числами: $ M^= =4 $ и $ M_3^= =2.51… $ имеется одно натуральное число -
$ H^==3 $.
В сравнении с ПР, где $ d=2 $, в ПР, где d=3:
$ M^= $ увеличилось на $ 2 $ и стало равным:
$ M^= =6 $. $ H^= $ увеличилось на $ 2 $ и стало равным: $ H^= =5 $. $ M_3^= $ увеличилось на $ 1.55… $ и стало равным: $ M_3^= =3.765… $.
При этом, разница между $ M^= $ и $ M_3^= $, и между $ H^= $ и $ M_3^= $, по сравнению с предыдущей парой, увеличилась.
С увеличением $ d $, разница между $ M^= $ и $ M_3^= $, и разница между $ H^= $ и $ M_3^= $ будет увеличиваться.
Предположим, что в следующем ПР, где $ 3<d<4 $, будет подобная пара, в которой $ Y^==X^= $ - натуральные числa. В этом случае:
$ 3<d<4 $ будет иррациональным числом.
$ 6<M^=<8 $ - иррациональным числом, $ 6<H^= < M^= $, $ 3,765...<M^=_3<5.02… $, что даже меньше числа $ M^= = 6 $, предыдущего ПР. Т. е. $ M^=_3 $, и в этом случае, не будет рациональным числом ПР, где $ 3<d<4 $.

[yk2ru]

Семен в сообщении #165606 писал(а):

При заданном $k$, множество элементов, составленных из базовых пар $(x, y)$, будем называть «множество базовый ряд

Разве при заданном $k$ имеем много базовых пар $(x, y)$, а не одну лишь всего? Наверное тут должно быть "составленное из базовой пары $(x, y)$".

[shwedka]

Семен
Зря Вы стали добавлять. к имеющемуся есть претензии.

Семен в сообщении #165606 писал(а):

множество $ E(k)\{(x, y) | x, y, z, z_3,…,z_n \} $.

уже злоупотребляете обозначениями. Что такое $n$ здесь?? фиксированное число? -- тогда какое? А если Вам нужно, чтообы ряд состоял из бесконечного числа членов, со всеми возможными целыми $n$ ,
то надо писать по-другому
$ E(k)=\{ x, y, z, z_3, z_4,\dots \} $.

Семен в сообщении #165606 писал(а):

В БР, где d=1, кроме $ m^==2 $, есть ещё одно натуральное число. Оно равно $ 1 $.

Посмотрите на определение БР
$ E(k)\{(x, y) | x, y, z, z_3,…,z_n \} $
Я не вижу здесь числа $ m^==2 $ И единицы тоже не вижу.

Семен в сообщении #165606 писал(а):

Если $ H^= $, при этом, будет равно натуральному числу $ M^= $, предыдущего ПР,

Понятие предыдущего ПР не определено. И $ M^= $ не всегда натуральное число/

[yk2ru]

Семен писал(а):

... Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$ (2) .
...
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовых пар $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через $ E(k) $, множество $ E(k)\{(x, y) | x, y, z, z_3,…,z_n \} $.

Как то по разному записываются множества:
В первом случае слева от вертикальной черты записываются элементы, из которых множество состоит, а справа - налагаемые условия.
Во втором случае элементы множества уже записываются справа и зачем то слева помещены $(x, y)$, хотя они и справа есть по отдельности.
Или это не важно, лишь бы было понятно, о чём речь идёт.

[shwedka]

yk2ru
Конечно, за порядком в обозначениях множеств нужно тоже следить.

[Семен]

shwedka писал(а):

1.

yk2ru писал(а):

Наверное тут должно быть "составленное из базовой пары

Вы правы. Я был невнимателен.
2.

shwedka писал(а):

А если Вам нужно, чтообы ряд состоял из бесконечного числа членов, со всеми возможными целыми $ n $,
то надо писать по-другому. $ E(k)=\{(x, y) | x, y, z, z_3, z_4…, \} $.

Чтобы не нарушать договорённости напишу так:
«$ E(k)\{(x, y) | x, y, z, z_3, \} $.»
3.

shwedka писал(а):

Семен в сообщении #165606 писал(а):

В БР, где d=1, кроме $ m^==2 $, есть ещё одно натуральное число. Оно равно $ 1 $.

Посмотрите на определение БР
$ E(k)\{(x, y) | x, y, z, z_3, …,z_n \} $.
Я не вижу здесь числа $ m^==2 $ И единицы тоже не вижу.

Хотел же предварительно посоветоваться, да постеснялся.
Можно ли написать так, с учётом замечания yk2ru ?: «$ E(k)\{ x, y, z, z_3, m, m_3, h|m=2, h=1\} $?» А для ПР так: «$ E(k)\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3, H| M=d*m \} $?»
Если можно, то характеристики всех элементов перемещу из §3 в §2.

4.

shwedka писал(а):

Семен в сообщении #165606 писал(а):

Если $ H^= $, при этом, будет равно натуральному числу $ M^= $, предыдущего ПР,

Понятие предыдущего ПР не определено. И $ M^= $не всегда натуральное число/

Предыдущим ПР считать ПР, предшествующий рассматриваемому ПР. При этом элементы предыдущего ПР увеличены , по сравнению с базовыми в $ d $ раз. Здесь
$ d $ - натуральное число, поэтому в предыдущем ПР $ M^= =(m^=*d)$ - натуральное число.
5.

yk2ru писал(а):

Как то по разному записываются множества

В ответе shwedka (е), смотрите выше я написал: «Можно ли написать так, с учётом замечания yk2ru ?: «$ E(k)\{ x, y, z, z_3, m, m_3, h|m=2, h=1\} $?» А для ПР так: «$ E(k)\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3, H| M=d*m \} $?»

shwedka писал(а):

Зря Вы стали добавлять. к имеющемуся есть претензии.

Я не жду пощады. Хочу, чтобы всё было прозрачно. А результат какой получится, такой получится.
Не понимаю злобствующих и ехидничающих. Ведь для любого рядового члена Форума, то, что Вы делаете – это ШКОЛА!!! А разве это не так? СПАСИБО таким, как ВЫ и yk2ru!

[TOTAL]

Семен писал(а):

Не понимаю злобствующих и ехидничающих. Ведь для любого рядового члена Форума, то, что Вы делаете – это ШКОЛА!!! А разве это не так? СПАСИБО таким, как ВЫ и yk2ru!

То, что они делают, является ярким примером того, какой не должна быть школа.
За год их "усилий" Ваши бесцельные тексты стали ещё невразумительнее.
О теореме Ферма вся ваша компания забыла напрочь. Увы, но это правда!
Странным кажется то, что то, чем Вы занимаетесь, Вы предпочитаете делать прилюдно.

[Brukvalub]

TOTAL в сообщении #165969 писал(а):

Странным кажется то, что то, чем Вы занимаетесь, Вы предпочитаете делать прилюдно.

Почему же странно? Этот феномен давно известен в психиатрии, см.: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%B3%D0%B8%D0%B1%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D0%B7%D0%BC

[shwedka]

Семен в сообщении #165963 писал(а):

$ E(k)\{(x, y) | x, y, z, z_3, \} $.»

Семен,
Писать нужно так, чтобы было понятно. вы делаете непонятно. В Вашей записи невозможно понять, какие числа принадлежат множеству $ E(k)$. Каков смысл у запятой после z_3 ?

Семен в сообщении #165963 писал(а):

«$ E(k)\{ x, y, z, z_3, m, m_3, h|m=2, h=1\} $?

Никуда не годится.
Попробуйте сначала написать словами.
Может, тогда поймете сами.
Например.

Множество $ E(k)$ состоит из построенных по фиксированному $ k$ пяти чисел $x,y,z,z_3, m_3$, а также не зависящих от $ k$ чисел $m=2,h=1$.

Цитата:

$ E(k)\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3, H| M=d*m \} $

Не годится. Ранее это множество обозначалось $L(k,d)$
Напишите $L(k,d)=\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3, H \} $,
где все элементы, кроме последнего определены выше, а $H$- наибольшее целое число, меньшее $M_$.
Обратите внимание на знак равенства!!!

Цитата:

$ d $ - натуральное число, поэтому в предыдущем ПР $ M^= =(m^=*d)$ - натуральное число.

Вы всерьез собираетесь рассматривать только натуральные $ d $?
Это полностью противоречит всему написанному до и после.

СеменСоздается впечатление, что Вы совершенно не думаете, когда пишете.
Напишите, прочитайте, подумайте, исправьте...И без спешки.

[Батороев]

Семен писал(а):

Однако: «Собака лает, а караван идёт!»

А не по кругу ли караван движется? Больно длинный!
Да и песик, уж охрип!