Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[Семен]

yk2ru писал(а):

Семен в сообщении #163534 писал(а):
Эти $ z_2 $ и $ z_3 $
и есть элементы, принадлежащие множеству базовая пара.

yk2ru писал(а):

Множество содержит только два числа $ z_2 $ и $ z_3 $? Название для множества слишком уж вычурное - "множество базовая пара".

Я полагаю, что надо оставить прежнее название множеств: базовый ряд БР, подобный ряд ПР, блок подобных рядов БПР. Т.к. рассматривается вариант с показателями степени 2 и 3, да ещё при y=x, то Вы правы. А когда показателей степени будет множество, то, даже при y=x, множеству БР будет принадлежать множество элементов.
Только собрался отослать это сообщение, в это время пришло сообщение от shwedka(и).
Хотел задержать отправку, но пока решил оставить, как есть. Подумаю, как исполнить рекомендацию shwedka(и).

[shwedka]

Семен в сообщении #164008 писал(а):

А когда показателей степени будет множество, то, даже при y=x, множеству БР будет принадлежать множество элементов

Не надо много показателей. Сейчас рассматриваем случай показателя три. ТОЛЬКО!!!!

[yk2ru]

Откзажитесь от множеств вообще, и от рядов/последовательностей в том числе. Кроме трёх определённых множеств - далее только числа пусть будут. Зачем ещё придумывать какие то множества? Никаких множества показателей нет, у вас показатель закреплён, исходите из этого.

[Семен]

shwedka писал(а):

Не надо много показателей. Сейчас рассматриваем случай показателя три. ТОЛЬКО!!!!

yk2ru писал(а):

Откзажитесь от множеств вообще, и от рядов/последовательностей в том числе. Кроме трёх определённых множеств - далее только числа пусть будут. Зачем ещё придумывать какие то множества? Никаких множества показателей нет, у вас показатель закреплён, исходите из этого.

Исключил из §3: «множество базовая пара» и «множество подобная пара»

[shwedka]

Публикуйте согласованное плюс десять строк

[Семен]

shwedka писал(а):

Поправьте первые 10 строк в новом параграфе и их покажите. Не спешите. Уточните, что означают повторяемые слова, что что-то постоянно. Не зависит от чего-то??

При $ Y=X $, все пары, независимо рациональные они или иррациональные, являются подобными парами. Bсе вместе они образуют только один - разъединственный БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все эти подобные пары с одним - разъединственным $ k_2 $, то есть с одной и той же базой. Это $ k_2 =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $. Это фиксированное, постоянное и объективное число для рассматриваемого БЛОКа ПОДОБНЫХ пар.
Утверждать, что $ k_2 =2.414… $, это одно и тоже, что утверждать, что $ 2=2 $. Если $ k_2 $ - постоянное число, то и базовая пара $ ((y=2*k_2=4.828…), (x=k_2^2-1=4.828…)) $, и $z_ 2=k_2^2+1=6.828… $,
и $ m_2=z_2 -x=2$, и $ z_3= $\sqrt[3]{4.828...^3+4.828...^3} $=6.083... $, и
$ m_3=z_3-x=1.255…$, и $ (m_2=2)/(m_3=1.255…)=1.5936…$, и $ k_3=Y/m_3 = 3.84... $ - постоянные и объективные числa.
Что нужно поправить в 1-х 10-ти строках я не вижу. Уточните, пож.
Только что получил сообщение:

shwedka писал(а):

Публикуйте согласованное плюс десять строк

Т.к. я уже подготовил ответ на предыдущее сообщение, то ниже публикую 10 строк из §3, которых касается это сообщение. Если не будет замечаний или ответа, то завтра отправлю §1,§2 и первые 10 строк §3.

§3. Рассмотрим подобную пару (Y=X) .
Такие пары, независимо от численного значения $ Y=X $ включены в один
БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все пары этого БЛОКа с одним и тем же
$ k_2=1/($\sqrt[]{2}$ - 1)$, имеют одну базовую пару $ x = y= k_2^2-1=2* k_2=4.828… $ – иррациональные числа. Это число постоянно. Здесь: $ m_2=2 $, $ m_3=1.255… $ – иррациональнoе числo – постоянно, $ z_2=m_2+x=6.828… $ – иррациональнoе числo. Это числo постоянно.
$ z_3=m_3+x=6.083… $ – иррациональнoе числo. Это числo постоянно.
$ (m_2=2)/(m_3=1.255…)=1.5936… $ – иррациональнoе числo. Это отношение постоянно.

[shwedka]

Не обязательно повторять все время, что какие-то числа постоянны. В остальном, первые 10 строчек, на мой взгляд, терпимы. Но подумайте об обозначениях. Может быть, придумать значок, который станет отличать то, что вычисляется для Х равного У, от других случаев. Вот, скажем знак равенства сверху.
$m_3^=$, печатается m_3^=

или $m_3^\circ$ , печатается m_3^\circ

А остальные, при $X\ne Y$, будут без значка. Тогда и ясно будет, что те, кто с ноликом, объективны, постоянны, что хотите. И не будут с непостоянными путаться.
Большое дело-- обозначения.

[Семен]

shwedka писал(а):

Не обязательно повторять все время, что какие-то числа постоянны. В остальном, первые 10 строчек, на мой взгляд, терпимы. Но подумайте об обозначениях.

Отправляю сообщение с §1, §2 и часть §3(откорректированные, с учётом замечаний, первые 10 строчек и дополнительно 11строчек. Принял индекс $ , т.к. $ c $ - 1-ая буква в слове «constanta»

shwedka и yk2ru ожидаю замечания.

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b), Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел $ X, Y, Z_3 $,
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$ (2) .
Для каждого элемента из множества S определяем число
$Z_2=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z_2 \in\ N, (Y <X \} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z_2 \in\ J, (Y \le X)\} $.
Oпределяем число $ M_2=(Z_2-X) $.
Отсюда: $ Z_2=(M_2+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (M_2+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ M_2^2+2*X*M_2-Y^2=0 $ (5a)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь целое решение $ M_2 $, которое должно быть делителем числа
$ Y^2 $. Запишем его в виде $ M_2=Y/k_2 $, где $ k_2 $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень $ M_2 $ уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ M_2=Y/k_2 $, но число $ k_2 $ уже иррационально.

Далее, мы рассмотрим уравнение
$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2b). Положим $ M_3=(Z_3-X) $. После возведения в куб, получаем:
$ M_3^3+3*X*M_3^2$+3*X^2*M_3-Y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с целыми коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются целыми. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ M_3 $ должно быть делителем числа $ Y^3 $. Если, действительно, такой целый корень $ M_3 $ существует, то обозначим
$ M_3=Y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
Примечания:
В множестве S:
1. $ 0<M_2< Y $, $ 0<M_3< Y $.
2. Для выполнения условия $ Y \le X $, $ k_2 $ должeн быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k_2 $.
3. Для выполнения условия $ Y \le X $, $ k_3 $ должeн быть:
$ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.

§2 Для $ (X, Y)\in\ S $, определим:
$ x=x(k_2)=k_2^2-1, y=y(k_2)=2*k_2 $,
$ z_2=z_2(k_2)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k_2^2+1 $, (2.1)
где $ k_2 $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, y $ базой для пары $ X, Y $. В множестве S:
1. $ y \le x $.
2. $ 0<m_3< y/2 $.
3. Для выполнения условия $ y \le x $, $ k_2 $ должeн быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k_2 $.
4. Для выполнения условия $ y \le x $, $ k_3 $
должeн быть:
$ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.
Все пары с одним и тем же $ k_2 $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар. «в котором и $ k_2 $ и $ k_3 $ остаются базовыми».
Отметим, что число $ m_2=z_2-x $ равно 2 для любого $ k_2 $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M_2=m_2*d $, $ M_3=m_3*d $,$ Z_2=z_2*d $, $ Z_3=z_3*d $,
$ M_2=Z_2-X $, $ M_3=Z_3-X $, $z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $, $ m_3=(z_3-x) $. $ d $ – действительное число.


§3. Рассмотрим подобную пару (Y=X) .
Чтобы отличать буквенные символы при $ Y=X $, добавим, к принятым символам для пары $ Y<X $, индекс $ . При $ Y=X $, все пары, независимо рациональные они или иррациональные, являются подобными парами. Bсе вместе они образуют только один БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все эти подобные пары с одним
$ k_2 $, то есть с одной и той же базой. Это $ k_2 =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $, постоянное число для рассматриваемого БЛОКа ПОДОБНЫХ пар.
Базовая пара этого БЛОКа: $ x = y= k_2^2-1=2* k_2=4.828… $ – иррациональные числа. В этой базовой паре: $ m_2_c=2 $, $ m_3_c=1.255… $ – иррациональнoе числo, $ z_2_c=m_2_c+x=6.828… $ – иррациональнoе числo,
$ z_3_c=m_3_c+x=6.083… $ – иррациональнoе числo, $ k_3=Y/m_3_c = 3.84... $ - постоянные числa.
$ (m_2_c=2)/(m_3_c=1.255…)=1.5936… $ – иррациональнoе числo. Это отношение постоянно.

В базовой паре, где d=1, кроме $ m_2_c=2 $, есть ещё одно натуральное число. Оно равно $ 1 $. Обозначим его $ m_d_c $.
Тогда: $ m_ d_c =1 $. Здесь, $ m_3_c > m_ d_c $
В подобной паре, где d=2, $ Z_2_c =(m_2_c +x)+(m_2_c +x) $. Здесь: $ M_2_c =m_2_c *d=4 $, $ M_d_c =3 $, $ M_3_c =m_3_c *2=2.51… $. $ Z_3_c =X+m_ 3_c $. Уже при d=2, $ M_3_c $ меньше $ M_d_c $.
Здесь, между числами: $ M_2_c =4 $ и $ M_3_c =2.51… $ имеется одно натуральное число - $ M_d_c =(Z_d_c -X)=($\sqrt[h]{X^h+X^h}-X)=X*($\sqrt[h]{2}-1) $ $. Здесь, $ 2<h<3 $, $X=2*x=2*4.828…$, $ Z_d_c $ – натуральное число, при дробном показателе степени.
В сравнении с подобной парой, где $ d=2 $, в подобной паре, где d=3:
$ M_2_c $ увеличилось на $ 2 $ и стало равным:
$ M_2_c =6 $. $ M_d_c $ увеличилось на $ 2 $ и стало равным: $ M_d_c =5 $. $ M_3_c $ увеличилось на $ 1.55… $ и стало равным: $ M_3_c =3.765… $.
При этом, разница между $ M_2_c $ и $ M_3_c $, и между $ M_d_c $ и $ M_3_c $, по сравнению с предыдущей парой, увеличилась.

[shwedka]

Семен в сообщении #164474 писал(а):

При $ Y=X $, все пары, независимо рациональные они или иррациональные, являются подобными парами. Bсе вместе они образуют только один БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все эти подобные пары с одним
$ k_2 $, то есть с одной и той же базой. Это $ k_2 =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $, постоянное число для рассматриваемого БЛОКа ПОДОБНЫХ пар.
Базовая пара этого БЛОКа: $ x = y= k_2^2-1=2* k_2=4.828… $ – ир

Индекс 'с' не пропечатался. И советую, хотя не настаиваю, все же рисовать его сверху.

Семен в сообщении #164474 писал(а):

В базовой паре, где d=1, кроме $ m_2_c=2 $, есть ещё одно натуральное число.

Непонятно. Базовая пара это, по Вашему определению, пара $(x_c,y_c)=(4.82.., 482...)$. Здесь я целых чисел не вижу. И $ m_2_c=2 $ НЕ ВХОДИТ в базовую пару.. Дайте определение этого натурального числа $ m_d_c$.



Обозначение $ m_d_c $. неудачное. Можно подумать, что это число зависит от $d$, в то время, как оно, по Вашим словам. постоянное. Придумайте другую букву.
Определение числа $ M_d_c =3 $ не дано.Если, в соответствии с соглашением, $ M_d_c =d m_d_c$, то оно должно равняться 2.

[yk2ru]

Семен писал(а):

Все пары с одним и тем же $ k_2 $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар.
...
§3.
...
При $ Y=X $, все пары, независимо рациональные они или иррациональные, являются подобными парами. Bсе вместе они образуют только один БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все эти подобные пары с одним
$ k_2 $, то есть с одной и той же базой. Это $ k_2 =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $, постоянное число для рассматриваемого БЛОКа ПОДОБНЫХ пар.

Все пары из блока подобных пар имеют одну базу, которая зависит от $k_2$. Каждому значению $k_2$ сопоставим свой блок подобных пар. Говорить, что $k_2$ - "постоянное число для рассматриваемого БЛОКа ПОДОБНЫХ пар" излишне.
Слова "постоянные числа" и "постоянно" нужно убирать из текста.

[Семен]

shwedka писал(а):

Семен в сообщении #164474 писал(а):

При $ Y=X $, все пары, независимо рациональные они или иррациональные, являются подобными парами. Bсе вместе они образуют только один БЛОК ПОДОБНЫХ пар. Все эти подобные пары с одним
$ k_2 $, то есть с одной и той же базой. Это $ k_2_c =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $, постоянное число для рассматриваемого БЛОКа ПОДОБНЫХ пар.
Базовая пара этого БЛОКа: $x_c=y_c= k^2_2-1=2*k_2=4.828 $– ир

shwedka писал(а):

Индекс 'с' не пропечатался. И советую, хотя не настаиваю, все же рисовать его сверху.

Индекс 'с', если его печатать вверху, то можно подумать, что это показатель степени.
Обозначения, предложенные Вами, при возведении числа в степень тоже, на мой взгляд, могут ввести в заблуждение. Оставим, как есть?

shwedka писал(а):

Непонятно. Базовая пара это, по Вашему определению, пара $( x_c, y_c) =(4.82…, 4.82…)$. Здесь я целых чисел не вижу. И $ m_2_c=2 $ НЕ ВХОДИТ в базовую пару.

Здесь целых чисел действительно нет. $ m_2_c $ является частью элемента, полученного из базовой пары $ (x_c, y_c) $. А именно:
$ m_2_c $ = $z_2_c -x =$\sqrt[]{x_c ^2+y_c ^2}-x= $ $ (k^2_2_c+1)-(k^2_c-1)=2 $.
Предлагаю вместо: «В базовой паре», («В подобной паре») - написать: «В элементах, полученных из базовых пар(подобных пар), где d=… », далее, как в тексте. Ваше мнение?

shwedka писал(а):

Дайте определение этого натурального числа .

Если бы в начале док-ва было такое ур-ние, $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, а затем оговорено, что сначала рассмотрим док-во для n=3, то сейчас этот вопрос бы не возник. Но я сам виноват, что не настоял на этом. Кстати, это не поздно исправить и сейчас.
Но это, может быть это и к лучшему, глубже вникнем в суть док-ва.
В §3 написано: «В базовой паре, где d=1, кроме $ m_2_c=2 $, есть ещё одно натуральное число. Оно равно $ 1 $. Обозначим его $ m_d_c $.»
Подобое написано и для d=2, и для d=3. Если Вы пишете, что это не определение, значит это так и есть. Объясните,пож., почему?

shwedka писал(а):

Обозначение $ m_d_c $ неудачное. Можно подумать, что это число зависит от $ d $, в то время, как оно, по Вашим словам. постоянное. Придумайте другую букву.

Я не писал в §3, что $ m_d_c $ - постоянное число.
$ m_d_c $ , $ m_d $ зависят от $ d $. При $ d=1 $, они равны $ 1 $. При $ d=2 $, $ M_d_c=3 $, $ M_d=3 $.
При $ d=3 $, $ M_d_c=5 $, $ M_d=5 $. И т.д.

shwedka писал(а):

Определение числа $ M_d_c=3 $ не дано.Если, в соответствии с соглашением, $ M_d_c=d*m_d_c $, то оно должно равняться 2.

С увеличением $ d$ на $ 1$, во вновь полученном множестве, возникают два дополнительных натуральных числа. Это: $ M_2_c $ и
$ M_d_c $. Вы абсолютно правы, что в соответствии с соглашением,
$ M_d_c =d*m_d_c $ должно здесь равняться 2.
Но дело в том, что $ M_d_c $, как и $ M_d $, с изменением числа
$ d $ составляют, каждый раз, часть совсем другого $ Z_d_c $ или $ Z_d $.
Прошу меня извинить, но чтобы было понятно я воспользуюсь показателем степени n.
Из любой базовой пары, $( x_c, y_c) $ или $( x, y) $, можно получить множество элементов $ z_n, z_n_c $. Предположив, что среди этих элементов
имеются и иррациональные и рациональные, мы, тем самым предполагаем, что среди них имеются рациональные $ m_n, m_n_c $. Вернёмся к «нашему» числу $ m_d_c =1 $. При $ d =2 $ оно и будет равно $ 2 $, но оно никакого отношения к подобной паре $ (2*x_c, 2*y_c) $ не имеет. А $ M_d_c =3 $, при
$ d =2 $, это $ m_d_c $, которое при базовой паре равняется
$ 1.5 $ и является частью совсем другого $ z_n_c $. Задача и состоит в том, чтобы доказать что это не при n=3 для пары натуральных чисел $ X, Y $.
PS – индекс «с» добавлю к $ x, y, k_2 $ в следующем сообщении.

[shwedka]

Семен

Я в который раз вас прошу,
прежде, чем Вы употребляете какие-то новые слова, дайте определение. Такое, которое любой читатель может понять единственным способом.

Семен в сообщении #164987 писал(а):

В элементах, полученных из базовых пар(подобных пар),

Покажите, где Вы дали определение, слова:

Будем впредь называть элементами, полученными из базовой пары...... Я искала, не нашла.

Семен в сообщении #164987 писал(а):

Подобое написано и для d=2, и для d=3. Если Вы пишете, что это не определение, значит это так и есть. Объясните,пож., почему?

Это не определение, потому что из того, что написано, совершенно неясно, что будет при $d=756.567$. Я, и любой другой, поймем совершенно одинаково и определенно слова

'для произвольного $d$ обозначим через $M_{dc}$ наибольшее целое число, меньшее $dm_{c}$. '
Это, возможно, не то, что Вы имеете в виду, но это точное определение. Все читающие поймут совершенно одинаково. Вот дайте такого же уровня определение числа $M_{dc}$ как Вы его понимаете.

Семен в сообщении #164987 писал(а):

во вновь полученном множестве

'множество' Вы не определили. См. мое заявление в начале.

Семен в сообщении #164987 писал(а):

Вы абсолютно правы, что в соответствии с соглашением,
$ M_d_c =d*m_d_c $ должно здесь равняться 2.
Но дело в том, что $ M_d_c $, как и $ M_d $, с изменением числа
$ d $ составляют, каждый раз, часть совсем другого $ Z_d_c $ или $ Z_d $.

Это высказывание совершенно непонятно. Что такое ''часть совсем другого $ Z_d_c $'' не определено.


Если в следующий раз Вам захочется ко мне обратиться с вопросом, типа'shwedka требует определения, а чем я не определил?''
то сначала приведите из себя цитату, где Вы дали определение.

'

Семен в сообщении #164987 писал(а):

Вы абсолютно правы, что в соответствии с соглашением,
$ M_d_c =d*m_d_c $ должно здесь равняться 2.
Но дело в том, что

Не годится на второй странице менять обозначения, введенные на первой. ПОдумайтте о другом обозначениии. Например, вместо того, что Вы хотите обозначить $M_{dc$, пишите $H_{dc}$ или какую другую букву. Но $M$ уже занято.

Я честно, без подкола. В Вашем тексте отсутствует внятное определение чисел с индексом $d$. пока не определите, дальше не поедем.

[Семен]

yk2ru писал(а):

Все пары из блока подобных пар имеют одну базу, которая зависит от $ k_2 $. Каждому значению $ k_2 $ сопоставим свой блок подобных пар. Говорить, что $ k_2 $ - "постоянное число для рассматриваемого БЛОКа ПОДОБНЫХ пар" излишне.
Слова "постоянные числа" и "постоянно" нужно убирать из текста.

Вы правы. Но слова «постоянные числа" и "постоянно" предлагается в §3 не убирать из текста, а заменить на: «зафиксированнoе число», «зафиксированные числа», «зафиксировано». Дело в том, что $ k_2_c =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $ – особенное число. Оно – объективно.

[Brukvalub]

shwedka в сообщении #164996 писал(а):

Я в который раз вас прошу,
прежде, чем Вы употребляете какие-то новые слова, дайте определение.

Интересно, а Вы, shwedka, про Сизифа и осмысленность его труда раньше никогда не читали? На всякий случай, вот ссылочка: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%84

Семен в сообщении #165004 писал(а):

Дело в том, что $ k_2_c =1/($\sqrt[]{2}$ - 1)=2.414… $ – особенное число. Оно – объективно.

Шедевр! Наконец-то, благодаря Семену, ученым удалось найти объективное число!

[Семен]

В сообщении #165004

shwedka писал(а):

Если в следующий раз Вам захочется ко мне обратиться с вопросом, типа'shwedka требует определения, а чем я не определил?''
то сначала приведите из себя цитату, где Вы дали определение.

Прошу меня извинить. Я учту это замечание.

shwedka писал(а):

В Вашем тексте отсутствует внятное определение чисел с индексом $ d $. пока не определите, дальше не поедем.

Прежде, чем подготовить ответ на сообщение #165004, очень прошу сообщить Ваше мнение по следующим пунктам:
1. Я хочу в начале док-ва, после слова «Дано:» добавить: $Z_n=$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, где $ X, Y, n $ – натуральные числа. Далее, как в тексте.
2. Чтобы исключить недоразумение с множествами, предлагается включить в конце §2 , после фразы: «Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и $ k_2 $ и $ k_3 $ остаются базовыми», следующий текст:
«При заданном $ k_2 $, множество элементов, составленных из базовых пар $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд» и обозначать через $ E(k_2) $, множество $ E(k_2)\{(x, y) | x, y, z_2, z_3 \} $.
При заданных $ k_2 $ и $ d $, множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд» и обозначать через $ L(k_2, d) $, множество. $ L(k_2)\{(X, Y) | X, Y, Z_2, Z_3 \} $.

Подмножество $ E(k_2) $ и подмножество $ L(k_2, d) $ – это
подмножества множества, которое будем называть «блок подобных рядов» (БПР)»
». Далее, как в тексте.
3. В §3 не обозначать $ (x, y), (X, Y) $ c индексом «с», что не имеет особого значения для §3. Зато, в следующем параграфе, не будет необходимости всё время оговариваться, что эти $ (x_c, X_c) $ те же числа, что и
$ (x, X ) $.