Сохранение энергии в ОТО, гравитационные волны и черные дыры

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1649902 писал(а):

Ух ты, надо же! Оказывается, якобиан нужно добавлять в форму объёма при замене координат. Кто бы мог подумать..

Это замечание вы переадресууйте камераду epros. Это же он предложил тспользовать форму объем в виде.

epros в сообщении #1649443 писал(а):

В третьих, формы объёма не зависят от метрики (да, да, удивлены?), так что $\sqrt{-g}$ в ней неуместен.

А ятолько взял и воспользовался его рекомендацией.

И это вестимо только начало пути. Хотелось бые еще его мнение выслушать а с каким универсальным времениподобным он вектором будет сворачивать форму 4-объема, дабы универсальную (которая инвариантна при замене координат ака группе диффеорморфизмов) форму 3-объема. - камерад Epros .. Ну дабы энергию посчитать по сечению ПВ... Из пустого в поржнее переливаем

[epros]

realeugene в сообщении #1649805 писал(а):

Часы сломаются.

Кажется, одну свою ошибку вы, наконец-то, поняли?

Да, вот здесь:

epros в сообщении #1649416 писал(а):

Каким образом $e^{\underline{0}}_i=(\sqrt{g_{00}},0,0,0)$ может оказаться нормированным?

я здорово погорячился, позволив рассматривать выражение, полученное для синхронных координат, в общем случае.

В общем случае, конечно, надо поступать так: Берём вектор $dx^i$, направленный вдоль координаты $x^0$, т.е. такой, что $dx^1=dx^2=dx^3=0$, и пытаемся на него ортогонально спроектировать произвольный вектор $dy^i$. Ортогонально - это значит рассматриваем скалярное произведение $g_{ij} dx^i dy^j$, а спроектировать, значит, что это скалярное произведение нужно поделить на длину вектора $dx^i$. Длина вектора $|dx|=\sqrt{g_{00}} dx^0$, так что проекция окажется равной $\frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}} dy^j$. Обозначив множитель перед $dy^i$ как $e^{\underline{0}}_i$, получим, что свёртка произвольного вектора с этим (нулевым) ковектором тетрады даёт его ортогональную проекцию на ось времени. Итак, нулевой ковектор тетрады на самом деле в общем случае имеет такие координаты: $(\sqrt{g_{00}},\frac{g_{01}}{\sqrt{g_{00}}},\frac{g_{02}}{\sqrt{g_{00}}},\frac{g_{03}}{\sqrt{g_{00}}})$.

realeugene в сообщении #1649881 писал(а):

Вы же не предлагаете измерять длину резиновым метром?

А причём тут резиновый метр? Тело отсчёта может расширяться или сжиматься, но это не означает, что вместе с ним расширяются или сжимаются линейки (которые на самом деле - радары с часами).

realeugene в сообщении #1649881 писал(а):

Не понимаю вас. Вы таки настаиваете на применимость этой метрики к конечной гиперповерхности? Я готов применять эту метрику только к бесконечно малой окрестности события.

Так метрика и определяет расстояния только в бесконечно малой окрестности. Конечные расстояния получаются интегрированием бесконечно малых расстояний по конечной кривой.

pppppppo_98 в сообщении #1649900 писал(а):

А учит она следующему что форма объема в полярных координатах $ r dr\wedge d\varphi$

Это Вы привели форму объёма к скаляру: квадратному метру, каковой является сущностью неизменной, то бишь независимой от выбора координат. Но если у Вас нет метрики, т.е. Вы не понимаете смысла переменных $r$ и $\varphi$, то Вы этого сделать не сможете. Однако некая область на скатерти, граница которой определяется заданным в этих переменных уравнением, по-прежнему существует. И количество крошек хлеба, которые лежат на скатерти внутри этой области, мы по-прежнему посчитать можем.

Мы делаем это так: Сначала разбиваем всю область на маленькие кусочки, так что в каких-то есть только одна крошка хлеба, а в каких-то нет ни одной. Если в кусочке нет крошки хлеба, то мы говорим: "Плотность крошек хлеба в этом месте равна нулю". А если в кусочке обнаруживается крошка хлеба, то мы говорим: "Плотность крошек хлеба в этом месте равна $\frac{1}{dV}$", где $dV$ - объём кусочка, измеренный в чём угодно, т.е. за неимением квадратных метров, можно хоть в $dr$ на $d\varphi$. Интеграл по этой области представляет собой сумму произведений плотностей на ту же самую форму объёма, измеренную в том же "неизвестно чём". Поскольку произведение снова возвращает нас к скалярам, т.е. к не зависящим ни от чего количествам крошек, можно не беспокоиться о единицах измерения объёмов и спокойно заниматься подсчётами крошек.

[realeugene]

epros в сообщении #1649776 писал(а):

Так что то, что кинетическая энергия, приобретённая падающей пылинкой (которая равна разности её гравитационных потенциалов), как-то соответствует величине красного смещения, не должно нас особо удивлять.

Вопрос был про полную энергию пылинки. Утверждение: если её пересчитать через красное смещение в бесконечность, она сохраняется.

Если сохраняется пересчитанная полная энергия пылинки, то, очевидно, сохраняется и пересчитанная полная энергия всего пылевого облака со сталкивающимися пылинками. Которое нелокально, и при пересчёте её нужно интегрировать с поправкой красного смещения под интегралом, чтобы получить сохраняющуюся величину. Во внешней стационарной метрике Шварцшильда, но хоть до горизонта событий.

-- 14.08.2024, 12:05 --

epros в сообщении #1649940 писал(а):

Так метрика и определяет расстояния только в бесконечно малой окрестности. Конечные расстояния получаются интегрированием бесконечно малых расстояний по конечной кривой.

В ЛЛ2 в следующем параграфе сразу после формулы (84.7) написано, что в общем случае такое интегрирование бессмысленно.

-- 14.08.2024, 12:11 --

epros в сообщении #1649940 писал(а):

А причём тут резиновый метр? Тело отсчёта может расширяться или сжиматься, но это не означает, что вместе с ним расширяются или сжимаются линейки (которые на самом деле - радары с часами).

Но это резиновое тело отсчёта у вас конечного размера? Такая желешка, в котором нарисованы координаты в попугаях и разбросаны песочные часы? Чем это отличается от просто некоторой системы кривых координат?

-- 14.08.2024, 12:22 --

epros в сообщении #1649940 писал(а):

Итак, нулевой ковектор тетрады на самом деле в общем случае имеет такие координаты: $(\sqrt{g_{00}},\frac{g_{01}}{\sqrt{g_{00}}},\frac{g_{02}}{\sqrt{g_{00}}},\frac{g_{03}}{\sqrt{g_{00}}})$.

Но это значит, что гиперповерхность $x^0=\operatorname{const}$ не является синхронной с точки зрения покоящегося в начале координат наблюдателя, и измерять ему вдоль неё расстояния - это то же самое, что измерять длину поезда между станциями прибытия и отправления. Линейка же в виде локатора использует не одну трёхмерную гиперповерхность, а целую пару световых конусов, и жаловаться, что она выдаёт расстояния сидящему в начале координат наблюдателю как интервал не в этой гиперплоскости, а в синхронной, странно.

-- 14.08.2024, 12:29 --

epros в сообщении #1649940 писал(а):

Сначала разбиваем всю область на маленькие кусочки, так что в каких-то есть только одна крошка хлеба, а в каких-то нет ни одной.

Но это возможно только для конечного числа крошек.

[epros]

realeugene в сообщении #1649941 писал(а):

Если сохраняется пересчитанная полная энергия пылинки, то, очевидно, сохраняется и пересчитанная полная энергия всего пылевого облака со сталкивающимися пылинками. Которое нелокально, и при пересчёте её нужно интегрировать с поправкой красного смещения под интегралом, чтобы получить сохраняющуюся величину. Во внешней стационарной метрике Шварцшильда, но хоть до горизонта событий.

А какой во всём этом смысл? Можно точно так же пересчитать энергию летающей в космосе пылинки через фиолетовое смещение к той, которая была бы, если бы она упала на Землю.

realeugene в сообщении #1649941 писал(а):

В ЛЛ2 в следующем параграфе сразу после формулы (84.7) написано, что в общем случае такое интегрирование бессмысленно.

Конечно же в "общем случае" бессмысленно складывать расстояние между точками $A$ и $B$, которое было вчера, с расстоянием между точками $B$ и $C$, которое будет завтра. Но если есть система отсчёта, то всё приобретает смысл соответственно смыслу того, что и зачем мы хотим отсчитывать.

realeugene в сообщении #1649941 писал(а):

Но это резиновое тело отсчёта у вас конечного размера? Такая желешка, в котором нарисованы координаты в попугаях и разбросаны песочные часы? Чем это отличается от просто некоторой системы кривых координат?

У тела отсчёта с сопутствующими ему координатами есть только одно общее: Мировые линии $x^{\alpha}=\operatorname{const}$ совпадают с мировыми линиями малых частей тела отсчёта. Но у тела отсчёта может не быть координатной разметки, а в придачу к координатной сетке могут не выдаваться часы и линейки (тут нужна метрика).

[realeugene]

epros в сообщении #1649948 писал(а):

А какой во всём этом смысл? Можно точно так же пересчитать энергию летающей в космосе пылинки через фиолетовое смещение к той, которая была бы, если бы она упала на Землю.

Если что-то сохраняется, это всегда приятно. Смысл можно придумать. Явно смысла в этом больше, чем интегрирование отдельных компонент тензоров. С фиолетовым смещением сложно, так как поверхность Земли находится в разных местах на разной высоте, и это неприменимо к Солнцу.

-- 14.08.2024, 12:46 --

epros в сообщении #1649948 писал(а):

Но если есть система отсчёта, то всё приобретает смысл соответственно смыслу того, что и зачем мы хотим отсчитывать.

Вы системой отсчёта называете тетраду с галилеевой матрицей? Или что?

Если тетраду - то она избыточна. Достаточно напрявления её оси времени. Всё остальное делает метрика.

-- 14.08.2024, 12:50 --

epros в сообщении #1649948 писал(а):

У тела отсчёта с сопутствующими ему координатами есть только одно общее: Мировые линии $x^{\alpha}=\operatorname{const}$ совпадают с мировыми линиями малых частей тела отсчёта. Но у тела отсчёта может не быть координатной разметки, а в придачу к координатной сетке могут не выдаваться часы и линейки (тут нужна метрика).

Два грузика на пружинке соответствуют этому определению?

[epros]

realeugene в сообщении #1649941 писал(а):

Но это значит, что гиперповерхность $x^0=\operatorname{const}$ не является синхронной с точки зрения покоящегося в начале координат наблюдателя

Гиперповерхность $x^0=\operatorname{const}$ не является синхронной потому что координаты выбраны несинхронными, а не потому что мы тетраду построили.

realeugene в сообщении #1649941 писал(а):

измерять ему вдоль неё расстояния - это то же самое, что измерять длину поезда между станциями прибытия и отправления

Наоборот, измерение длины поезда как разности расстояний между станциями прибытия и отправления получится, если вместо расстояния мы возьмём интервал на гиперповерхности $x^0=\operatorname{const}$ для несинхронных координат. Но мы же измеряем длину поезда радарным методом, т.е. независимо о значения координаты времени на других станциях, а значит получим тот же результат, что при измерении длины поезда в ИСО.

realeugene в сообщении #1649941 писал(а):

Но это возможно только для конечного числа крошек.

Я не знаю, как измерять бесконечные количества.

realeugene в сообщении #1649949 писал(а):

Явно смысла в этом больше, чем интегрирование отдельных компонент тензоров.

Интегрирование "отдельных компонент" ведь не с потолка берётся (и не только в НСО, но и в ИСО тоже). Какие-то компоненты могут отрезаться, потому что они ортогональны той форме 3-мерного объёма, по которой мы хотим проинтегрировать, какие-то другие, потому что мы хотим посчитать только энергию, а значит проецируем вектор энергии-импульса на ось времени.

realeugene в сообщении #1649949 писал(а):

Если тетраду - то она избыточна. Достаточно напрявления её оси времени. Всё остальное делает метрика.

Что избыточно, тем можете не пользоваться. Но иногда может понадобиться.

realeugene в сообщении #1649949 писал(а):

Два грузика на пружинке соответствуют этому определению?

Определению тела отсчёта? Это зависит от того, что Вы собрались отсчитывать. Если что-то, что находится там, где грузиков нет, то придётся доопределять.

[realeugene]

epros в сообщении #1649955 писал(а):

Гиперповерхность $x^0=\operatorname{const}$ не является синхронной потому что координаты выбраны несинхронными, а не потому что мы тетраду построили.

Именно. Во всех тетрадах (с галилеевой матрицей) с выбранным направлением мировой линии будет одна и та же синхронная гиперповерхность.

epros в сообщении #1649955 писал(а):

Но мы же измеряем длину поезда радарным методом, т.е. независимо о значения координаты времени на других станциях, а значит получим тот же результат, что при измерении длины поезда в ИСО.

Именно, время вообще не фигурирует, значит, в семействе гиперповерхностей выбираем одну синхронную, измеряем вдоль неё расстояние, а всем остальным просто приписываем это расстояние, забыв про координату времени и про линейки, покоящиеся в этих гиперпллоскостях.

Простой тест. Как это будет выглядеть в пространстве Минковского, искорёженном координатным преобразованием Галилея $x=x'+Vt$?

epros в сообщении #1649955 писал(а):

Я не знаю, как измерять бесконечные количества.

Введя на множестве меру?

epros в сообщении #1649955 писал(а):

Что избыточно, тем можете не пользоваться. Но иногда может понадобиться.

Всегда можно достроить.

-- 14.08.2024, 14:35 --

epros в сообщении #1649955 писал(а):

Интегрирование "отдельных компонент" ведь не с потолка берётся (и не только в НСО, но и в ИСО тоже). Какие-то компоненты могут отрезаться, потому что они ортогональны той форме 3-мерного объёма, по которой мы хотим проинтегрировать, какие-то другие, потому что мы хотим посчитать только энергию, а значит проецируем вектор энергии-импульса на ось времени.

ОК, когда свёрткой с чем-нибудь более или менее призвольным из тензоров получены скаляры, их сумма дальше не зависит от преобразований координат. Но это не значит, что она осмысленна. Тем более, что не зависят от координат и любая их взвесь, и любые функции от этой пары скаляров.

Как осмысленно интегрировать энергию? В ньютоновской механике интегрируется полная энергия материи, и к ней добавляется потенциальная энергия гравполя, пропорциональная потенциалу гравполя, умноженному на массу, которая постоянна. В Шварцшильде с таким интегралом очевидные сложности как с определением понятия "масса" для распределённой материи, так и с несохранением такой суммы. Зато если проинтегрировать полную энергию материи в стационарных координатах, но с поправкой на красное смещение в бесконечность, получается (вероятно) сохраняющаяся величина. В ньютоновском пределе, очевидно, равная полной энергии материи с учётом потенциальной энергии в гравитационном поле. Почему эту величину не считать полной энергией материи в Шварцшильде?

[realeugene]

epros в сообщении #1649948 писал(а):

Можно точно так же пересчитать энергию летающей в космосе пылинки через фиолетовое смещение к той, которая была бы, если бы она упала на Землю.

Кстати, это будет соответствовать изменению нулевого уровня потенциальной энергии в ньютоновкой гравитации. Просто нулевой уровень не аддитивный, а мультипликативный.

Хе-хе, в двух достаточно далеких Шварцшильдах эта пересчитанная на красное смещение энергия сохраняется. Не сохраняется ли она в любом стационарном гравполе? Нет ли случайно такого в учебниках?

Собственно, да. В произвольном стационарном гравполе кидаем из бесконечности кирпич и антикирпич, аннигилируем их в произвольной точке, ловим гамма-кванты, восстанавливаем кирпич с антикирпичом обратно. Если таким образом посчитанная энергия не сохраняется - мы построили вечный двигатель.

[epros]

realeugene в сообщении #1649959 писал(а):

Во всех тетрадах (с галилеевой матрицей) с выбранным направлением мировой линии будет одна и та же синхронная гиперповерхность.

В тетрадах нет гиперповерхностей, это векторы. И $e^{\underline{0}}_i$, определённый в несинхронных координатах, не ортогонален $dx^i$, для которых $dx^0=0$, т.е. лежащим на гиперповерхности $x^0=\operatorname{const}$.

realeugene в сообщении #1649959 писал(а):

в семействе гиперповерхностей выбираем одну синхронную

Ещё раз: Выбрать синхронную гиперповерхность можно только локально. А это значит то же самое, что сразу применить формулу (84,7) из ЛЛ2.

realeugene в сообщении #1649959 писал(а):

Как это будет выглядеть в пространстве Минковского, искорёженным координатным преобразованием Галилея $x=x'+Vt$?

Это уже было. Предлагавшийся Вам к расчёту объёма вращающийся тор, в координатах его покоя, являет собой пример координат, которые "искорёжены преобразованием Галилея". Ибо переход во вращающиеся координаты происходит без замены координаты времени лабораторной ИСО. Вот, например:

epros в сообщении #496170 писал(а):

Итак, записываем метрику в ИСО, но в цилиндрических пространственных координатах:

$ds^2 = dt^2 - r^2 d \tilde{\varphi}^2 - dx^2 - dr^2$

Переходим во вращающуюся СО, выполнив замену:

$\tilde{\varphi} = \varphi + \Omega t$

Получим следующую метрику:

$ds^2 = dt^2 - r^2 (d \varphi + \Omega dt)^2 - dx^2 - dr^2$
$= (1- r^2 \Omega^2) dt^2 - 2 r^2 \Omega dt d \varphi - r^2 d \varphi^2 - dx^2 - dr^2$

Т.е. видим, что $g_{t t} = (1- r^2 \Omega^2)$, $g_{t \varphi} = - r^2 \Omega$, $g_{\varphi \varphi} = - r^2$.
Отсюда по Вашей формуле имеем:

$\gamma_{\varphi \varphi} = r^2 + \frac{r^4 \Omega^2}{1- r^2 \Omega^2} = \frac{r^2}{1- r^2 \Omega^2}$

Интегрируя выражение $\sqrt{\gamma_{\varphi \varphi}}$ по $d \varphi$ от $0$ до $2 \pi$, получаем длину означенной окружности:

$\frac{2 \pi r}{\sqrt{1- r^2 \Omega^2}}$

Что, вообще говоря, больше, чем $2 \pi r$.

Упоминавшаяся здесь "Ваша формула", насколько я помню, и есть та самая формула (84,7) из ЛЛ2, коя выражает расстояния, измеренные радарным способом.

realeugene в сообщении #1649959 писал(а):

Введя на множестве меру?

А что такое мера? Конечное количество чего-либо.

realeugene в сообщении #1649959 писал(а):

Всегда можно достроить.

Кстати, множеством различных способов.

[realeugene]

epros в сообщении #1649978 писал(а):

В тетрадах нет гиперповерхностей, это векторы. И $e^{\underline{0}}_i$, определённый в несинхронных координатах, не ортогонален $dx^i$, для которых $dx^0=0$, т.е. лежащим на гиперповерхности $x^0=\operatorname{const}$.

Тетрада с галилеевой матрицей (давайте дальше говорить только про такие) задаёт локальную гиперповерхность, натянутую на пространственные реперы. По определению тетрады, эта гиперповерхность ортогональная нулевому реперу. Значит, все тетрады с одной мировой линией задают одну пространственную гиперповерхность.

epros в сообщении #1649978 писал(а):

Ещё раз: Выбрать синхронную гиперповерхность можно только локально. А это значит то же самое, что сразу применить формулу (84,7) из ЛЛ2.

Ну да. И тетрада задаёт её только локально. А в общем случае интегрировать расстояние бессмысленно, как написано в ЛЛ2. Кроме некоторых явно выделенных случаев.

epros в сообщении #1649978 писал(а):

Это уже было. Предлагавшийся Вам к расчёту объёма вращающийся тор

Не-не, не надо пока что тора. Я писал про СТО и пространство Минковского с преобразованием Галилея. Пусть даже $V<c$. Ваша теория, ведь, должна быть к нему применима? К каким именно шагам приводят ваши расчёты? Не к тем ли, за которые в школе поставят двойку?

epros в сообщении #1649978 писал(а):

Вот, например:

Спасибо, это чуть позже. Нужно сопоставить шаги с обычным Минковским с преобразованием Галилея.

epros в сообщении #1649978 писал(а):

А что такое мера? Конечное количество чего-либо.

Мера - это действительнозначная положительная функция на подмножествах заданного множества с некоторыми свойствами, рассматриваемыми в теории меры и позволяющие её интегрировать. Это не "конечное количество" в смысле натурального числа.

epros в сообщении #1649978 писал(а):

Кстати, множеством различных способов.

С точностью до вращений пространственного ортонормированного базиса этот способ один. В частности, от выбора реперов не зависит получаемая пространственная метрика как функция на парах точек.

-- 14.08.2024, 15:52 --

realeugene в сообщении #1649974 писал(а):

Хе-хе, в двух достаточно далеких Шварцшильдах эта пересчитанная на красное смещение энергия сохраняется. Не сохраняется ли она в любом стационарном гравполе? Нет ли случайно такого в учебниках?

Есть. Почти. В ЛЛ2 это формулы (100.23) и (105.23) Не сводятся ли они в стационарном поле, разумеется, к интегралу энергии по пространству с поправкой на гравитационное красное смещение?

В рассуждении про кирпич и антикирпич есть одна явная дырка: ничего не говорится про их суммарный импульс.

[epros]

realeugene в сообщении #1649981 писал(а):

Тетрада с галилеевой матрицей (давайте дальше говорить только про такие) задаёт локальную гиперповерхность, натянутую на пространственные реперы.

Тут ключевое слово "локальную". Конечной гиперповерхности, ортогональной семейству мировых линий точек тела отсчёта, не существует.

realeugene в сообщении #1649981 писал(а):

Кроме некоторых явно выделенных случаев.

К каковым относится случай явно выделенной системы отсчёта в рассматриваемой области пространства-времени.

realeugene в сообщении #1649981 писал(а):

Не-не, не надо пока что тора. Я писал про СТО и пространство Минковского с преобразованием Галилея. Пусть даже $V<c$.

Там пространство Минковского и преобразования Галилея между переменными $t$ и $\varphi$ в локальной области на торе.

realeugene в сообщении #1649981 писал(а):

Это не "конечное количество" в смысле натурального числа.

Действительные числа тоже выражают конечные количества.

realeugene в сообщении #1649981 писал(а):

С точностью до вращений пространственного ортонормированного базиса этот способ один.

Вот от вращений пространственных компонентов тетрады и может зависеть весь смысл расчётов (вплоть до его отсутствия). Но да, на расчёты энергии это не повлияет.

realeugene в сообщении #1649981 писал(а):

В рассуждении про кирпич и антикирпич есть одна явная дырка: ничего не говорится про их суммарный импульс.

В каких рассуждениях и почему дырка?

[realeugene]

epros в сообщении #1650001 писал(а):

Тут ключевое слово "локальную". Конечной гиперповерхности, ортогональной семейству геодезических, не существует.

В общем случае, не существует, да.

epros в сообщении #1650001 писал(а):

Там пространство Минковского и преобразования Галилея между переменными $t$ и $\varphi$ в локальной области на торе.

Не, пространство Минковского определено не через угловую координату. Рассмотрите как исходное обычное школьное пространство Минковского из СТО с галилеевой метрикой.

epros в сообщении #1650001 писал(а):

Действительные числа тоже выражают конечные количества.

"Конечные" в смысле "ограниченные", но не в смысле "конечные множества". Вы же считаете отдельные крошки натуральными числами, и ваш метод проходит только если и их конечное множество. Иначе вы не сможете разбить пространство на конечное количество областей ненулевого объёма, в каждой из которых не более одной крошки.

epros в сообщении #1650001 писал(а):

Вот от вращений пространственных компонентов тетрады и может зависеть весь смысл расчётов (вплоть до его отсутствия). Но да, на расчёты энергии это не повлияет.

Может быть в каких-то экзотических случаях что-то и зависит, когда реперы тетрады как-то выделены. Но на обсуждаемую пространственную метрику это вращение не влияет ровно никак.

epros в сообщении #1650001 писал(а):

В каких рассуждениях и почему дырка?

В моих интуитивных рассуждениях. Впрочем, в формуле (105.23) всё портит только давление, а без давления внутри материи в стационарных синхронных координатах локальная энергия при интегрировании полной энергии умножается на красное смещение.

[epros]

realeugene в сообщении #1650008 писал(а):

Не, пространство Минковского определено не через угловую координату.

Пространство Минковского - это вообще не про координаты. А угловая координата где-то на далёкой окружности превращается во вполне себе метры дуги.

realeugene в сообщении #1650008 писал(а):

"Конечные" в смысле "ограниченные", но не в смысле "конечные множества". Вы же считаете отдельные крошки натуральными числами, и ваш метод проходит только если и их конечное множество. Иначе вы не сможете разбить пространство на конечное количество областей ненулевого объёма, в каждой из которых не более одной крошки.

Смысл конечного количества явно не в том, чтобы его нельзя было записать конечным количеством знаков после запятой. Когда мы измеряем количество песка в килограммах, то вряд ли опускаемся до подсчёта отдельных песчинок, скорее принимаем абстракцию бесконечной делимости кучи песка. Тем не менее, сути конечности измеряемого количества песка это не меняет.

realeugene в сообщении #1650008 писал(а):

В моих интуитивных рассуждениях. Впрочем, в формуле (105.23) всё портит только давление, а без давления внутри материи в стационарных синхронных координатах локальная энергия при интегрировании полной энергии умножается на красное смещение.

Зря Вы выбираете из ЛЛ2 как раз то, что более всего притянуто за уши и вряд ли полезно.

[realeugene]

epros в сообщении #1650021 писал(а):

Пространство Минковского - это вообще не про координаты. А угловая координата где-то на далёкой окружности превращается во вполне себе метры дуги.

Не, в Википедии написано, что пространство Минковского про координаты. И в школе его изучают через преобразование Лоренца. В общем, я призываю рассмотреть ваш инструментарий на примере простого хорошо знакомого со школы пространства, прежде, чем переходить к вращающимя координатам.

epros в сообщении #1650021 писал(а):

Смысл конечного количества явно не в том, чтобы его нельзя было записать конечным количеством знаков после запятой. Когда мы измеряем количество песка в килограммах, то вряд ли опускаемся до подсчёта отдельных песчинок, скорее принимаем абстракцию бесконечной делимости кучи песка. Тем не менее, сути конечности измеряемого количества песка это не меняет.

Но вы-то предложили бить на области, в которых не более одной крошки? Этим вы сделали множество крошек дискретным. А дальше проблема в том, что в ограниченном пространстве их не может быть счётное количество. Только конечное.

Ваш троллинг слишком очевиден. Вы всё это прекрасно знаете сами.

epros в сообщении #1650021 писал(а):

Зря Вы выбираете из ЛЛ2 как раз то, что более всего притянуто за уши и вряд ли полезно.

Да ладно, формула в ЛЛ2 есть, она вполне соответствует интуитивному пониманию того, что энергия обратно пропорционально времени. Таким образом проинтегрированная энергия сохраняется. Что ещё нужно?

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1650026 писал(а):

Не, в Википедии написано, что пространство Минковского про координаты.

На заборе тоже много чо пишут... А там дрова лежат... Пространство Минковского это факторпространство группы Пуанкаре по группе Лоренца (по хорошему надо собственнные компоненты взять этих групп), а уж какие вы там координаты введете - фиолетово, математики любят линейные координаты, а геодезисты с астрономами и с угловыми неплохо справляются ... Группа движений Пуанкаре все равно будет задавать действия на этом пространстве и связанном с ним афинным пространством

epros в сообщении #1650021 писал(а):

угловая координата где-то на далёкой окружности превращается во вполне себе метры дуги.

хоть на далекой хоть на бесконечно близкой - не превращается ... физическая размерность не та

realeugene в сообщении #1650026 писал(а):

Этим вы сделали множество крошек дискретным. А дальше проблема в том, что в ограниченном пространстве их не может быть счётное количество. Только конечное.

Запросто - множество с накоплением... Епрос совсем негодный пример меры. Мы обсуждаем не количество крошек - а объем области, и его дифференциальную форму. И в его определении как ужо давно все убедились явная зависимость от координат, поелику при переходе к другим координатам появляется явная зависимость от координат (в виде детерминанта), ибо иначе объем области будет зависеть от выбранной системы координат. И тогда нужно объяснить чем одна из систем координат православнее других. Альберт то наш Эйнштейн сразу этот вопрос закрыл постулатом что все системы координат равноправны - это альфа и омега ОТО, которую мы тут собственно и обсуждаем, а не абстрактную теорию неметрических многообразий дифференциальной геометрии. И мне не понятно почему его вообще тянет в эти неметрические пространства. Мы с раннего детства (наверное лет с 3-5 у кого как) учимся мерять шагами расстояния, потом повляются линейки, а потом (у кого как) лазерные или ультразвуковые дальномеры, а у кого-то и интерферометры. Но все указанное меряет в реальности то что в сто потом назовут интервалами. А координаты это абстракцмя - некоторая (далеко не универсальная обработка) опытов с этими интервалами (при некотором предположении чо метрика возмущается за время измерения и в области измерения на малую величину - меньше приборной точности)